第12章 因式分解（暑假单元自测）新七年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版五四制初中数学第12章因式分解单元卷，覆盖公因式、公式法等全考点，通过“友谊数”“间倍数”等情境设计，融合换元法、配方法等解题策略，适配暑假巩固与能力提升，体现抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/18分|因式分解定义、公式应用|基础概念辨析，如第5题“友谊数”结合奇数平方差| |填空题|12题/24分|公因式、分解应用|第18题“间倍数”融入数论，考查分解整除性| |解答题|8题/58分|换元法、分组分解、纠错|26题“方差数”探究，体现模型意识；25题数形结合，培养几何直观|

第12章 因式分解 单元自测卷 【新教材，沪教版五四制】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 5．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 6．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．整式中各项的公因式是________． 8．因式分解：________． 9．若，则________． 10．因式分解：__________． 11．因式分解：_____． 12．若，，则________． 13．如果，那么括号内的整式是_____． 14．如果因式分解的结果为，那么_________． 15．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 16．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 17．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 18．一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．因式分解 (1) (2) (3) (4) 20．以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 21．已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 22．阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 23．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 24．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 25．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 26．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 因式分解 单元自测卷 【新教材，沪教版五四制】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 4．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 5．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 【答案】D 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， A．若，即，不为整数，不符合题意； B．若，即，不为奇数，不符合题意； C．若，即，不为整数，不符合题意； D．若，即，符合题意． 故选：D． 6．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．整式中各项的公因式是________． 【答案】 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. 8．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： . 故答案为 9．若，则________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 10．因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 11．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，，则________． 【答案】18 【详解】解： ， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：18． 13．如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 14．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 15．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 16．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 17．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 18．一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．因式分解 (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 20．以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【详解】解：小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 21．已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． 22．阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 23．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 24．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵时，， ∴时，的最小值为7． （2）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 25．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 26．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $