2.1 认识实数 讲义-2026-2027学年北师大版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

本讲义聚焦“认识实数”核心知识点，系统梳理无理数的“无限不循环”特征，实数按定义和符号性质的分类，实数的相反数、倒数、绝对值概念及运算律，以及实数与数轴的一一对应关系及大小比较，构建从概念引入到性质应用的学习支架。 该资料亮点在于知识梳理结合历史情境（如毕达哥拉斯学派与第一次数学危机），达标检测含几何直观题（数轴作图）、实际应用题（围场地面积比较）。通过历史情境培养数学眼光（抽象能力），几何问题发展空间观念，辨析题提升推理意识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 认识实数（知识梳理+达标检测） 知识点一无理数 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特征，比如：有特定意义的数，如圆周率π，或有特定结构的数，如0.1010010001......等： 2、无理数与有理数的和、差，结果都是无理数。 3、无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果是无理数。 知识点二实数的概念及分类 1、有理数和无理数统称为实数。 2、按定义分。 3、按符号性质分。 知识点三实数的相关概念、性质与运算 1、实数的相关概念。 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 2、实数的有关性质。 （1）两个互为相反数的数相加和是0。 （2）当a>0时，|a| =a；当 a <0 时，|a|=-a；当a =0 时，|a|=0。 3、实数的运算。 实数和有理数一样，可以进行加减乘除及乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。 知识点四实数与数轴的关系及比较实数的大小 1、每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，也就是说，实数和数轴上的点时一一对应的。 2、数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 3、正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 一、选择题 1．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 3．如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 5．下列各数：0.020020002…（每相邻两个2之间0的个数依次加1），，0，，，9，其中无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 二、填空题 7．若有理数a，b满足，则______． 8．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 9．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 10．的相反数是____________，绝对值是____________． 11．如图所示，以C为圆心，为半径的圆与数轴上交于点A，则点A所表示的数为a，则a的值为_______． 12．如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______．    三、解答题 13．用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 14．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． （1）求正方形的面积． （2）试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 15．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． （1）已知两个实数a，b，则． （2）两个无理数的和一定是无理数． 16．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 17．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． （3）已知： 其中是整数，且，求的相反数． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 认识实数（知识梳理+达标检测） 知识点一无理数 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特征，比如：有特定意义的数，如圆周率π，或有特定结构的数，如0.1010010001......等： 2、无理数与有理数的和、差，结果都是无理数。 3、无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果是无理数。 知识点二实数的概念及分类 1、有理数和无理数统称为实数。 2、按定义分。 3、按符号性质分。 知识点三实数的相关概念、性质与运算 1、实数的相关概念。 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 2、实数的有关性质。 （1）两个互为相反数的数相加和是0。 （2）当a>0时，|a| =a；当 a <0 时，|a|=-a；当a =0 时，|a|=0。 3、实数的运算。 实数和有理数一样，可以进行加减乘除及乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。 知识点四实数与数轴的关系及比较实数的大小 1、每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，也就是说，实数和数轴上的点时一一对应的。 2、数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 3、正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 一、选择题 1．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【解答】解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； B．选项是分数，属于有理数，不符合要求； C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求； D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求． 2．如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 3．如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出点到数表示的点的距离，进而求出点所表示的数即可. 【解答】解：由图可知：点到数表示的点的距离为， ∴点所表示的数为. 4．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，先估算无理数的范围，再比较所有数的大小即可得到结果． 【解答】解：∵，即， 计算各负数的绝对值：，，， 可得绝对值大小关系：， ∴原数大小关系为：， 因此最小的数是． 5．下列各数：0.020020002…（每相邻两个2之间0的个数依次加1），，0，，，9，其中无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数即可． 【解答】解：∵ （每相邻两个之间的个数依次加）是无限不循环小数，∴ 是无理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数； ∵是分数，∴ 是有理数； ∵ 是无限不循环小数，∴ 是无理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数. ∴ 无理数有个． 故选：C． 6．如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可． 【解答】解：如图， 设正方体的棱长为，则，， 中，由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， 即正方体的棱长在2与3之间， 故选：B． 二、填空题 7．若有理数a，b满足，则______． 【答案】81 【分析】根据有理数的概念和实数的运算法则分析计算． 【解答】解：∵，是有理数， ， ， ∴． 8．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 9．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【解答】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 10．的相反数是____________，绝对值是____________． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的定义即可得答案，实数的相反数与有理数的相反数相同，实数的绝对值与有理数的绝对值相同． 【解答】解：的相反数是， ∵， ∴绝对值是， 故答案为：，． 11．如图所示，以C为圆心，为半径的圆与数轴上交于点A，则点A所表示的数为a，则a的值为_______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数a的值． 【解答】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数． 12．如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______．    【答案】甲 【分析】根据勾股定理逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【解答】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形， 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得， ∴，即， ∴无法验证． 三、解答题 13．用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【解答】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 14．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． （1）求正方形的面积． （2）试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 【答案】（1）17 （2）无理数 【分析】本题考查了网格中图形面积的计算和无理数的定义，掌握割补法求面积以及无理数的概念是解题的关键． （1）用割补法，将正方形置于边长为5的大正方形中，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，得到正方形的面积 （2）由（1）的面积求出正方形的边长，再根据无理数的定义判断边长是否为无理数． 【解答】（1）解：正方形的面积可以通过计算一个边长为5的大正方形的面积减去四个直角三角形的面积得到． 大正方形面积为； 每个直角三角形的面积为 ； 四个直角三角形的总面积为 ； 所以，正方形的面积 ． （2）解：由（1）得正方形的边长为，是无理数， 所以正方形的边长是无理数． 15．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． （1）已知两个实数a，b，则． （2）两个无理数的和一定是无理数． 【答案】（1）不正确；举例见详解 （2）不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【解答】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 16．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】（1），或 （2） 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【解答】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 17．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． （3）已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）； （2） （3） 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 学科网（北京）股份有限公司 $