2.2 平方根与立方根（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，先梳理算术平方根的概念及双重非负性，再延伸到平方根的定义、与算术平方根的区别联系及开平方运算，接着对比学习立方根的概念、性质及开立方运算，最后通过估算法比较大小形成知识闭环，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+达标检测”为框架，知识梳理层次分明，达标检测题目融合生活情境（如密码锁问题）和规律探究（如数值转换器），助力学生发展抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 平方根与立方根（知识梳理+达标检测） 知识点一算术平方根的概念及性质 1、算术平方根。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即=0。 2、被开方数的性质。 算术平方根是一个非负数，即≥0；a称为被开放数，也是非负数，即a≥0。我们可以说具有双重非负性。 知识点二平方根的概念及性质 1、一般地，如果一个数的平方等于a，即x²=a，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 2、算术平方根和平方根的区别与联系。 、 3、开平方。 求一个数的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。 知识点三立方根 1、立方根。 一般地，如果x3=a,那么x叫作a的立方根，也称为三次方根。 2、平方根与立方根的区别。 3、立方根的性质。 正数的立方根时正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 4、开立方。 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。 知识点四用估算法比较大小 1、用估算法确定无理数的大小。 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”（即两边无线逼近的方法）逐渐夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 2、用估算的方法比较数的大小。 用估算法比较两个数的大小时，若期中有无理数，则先通过分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体比较。 一、选择题 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：当时，，而4是有理数， 当时，，而2是有理数， 当时，，而是无理数，输出y， ∴输出的y的值是． 2．若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 【答案】D 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，的值，再结合直角三角形边长的不同情况分类讨论，利用勾股定理计算第三条边长即可． 【解答】∵ ，，且 ∴ ，，解得， 分两种情况讨论： 当为的斜边时，第三条边长为， 当，为的两条直角边时，第三条边长为， 综上，第三条边长为或． 3．如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案． 【解答】解：若的面积为，的面积为，由图可知， 正方形的边长要满足， 则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2． 4．已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 5．将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理得到原数列的统一规律，再根据排列规则确定所求数是原数列的第几项，代入规律计算即可． 【解答】解：将原数列统一改写为二次根式形式，可得原数列第个数为，为正整数， 观察排列规律可得：第行有个数， ∵前8行的数的总个数为 ， ∴第九行左起第3个数是原数列的第个数， 将代入规律得：． 6．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【解答】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 7．已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根以及立方根的性质得出的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， 则． 故选：C． 8．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【解答】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 二、填空题 9．将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 【答案】/6厘米 【分析】根据题意可知，正方体铁块的体积等于水位上升部分的圆柱体体积，利用正方体体积公式和圆柱体体积公式列方程求解即可得到底面半径． 【解答】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为. 由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为： . 水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为： . 根据题意可得方程： 化简方程得： ∴ 因为圆的半径为正数，因此． 10．小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 【答案】 【解答】解：∵已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数 ∴ ∴， ∴这个三位数密码是． 11．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 【答案】0或或 【分析】先由条件可得，且为整数，则，再分别讨论即可求解． 【解答】解：∵实数b是的平方根， ∴，， ∴，， ∴当a为非负整数时，， ∴，且为整数， ∴， 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 综上所述，b的值可以是0或或． 12．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 13．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【解答】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 14．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径，那么正方体的棱长为___．（π取3） 【答案】 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，然后根据立方根的意义求解正方体的棱长即可． 【解答】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入，得 ， ， ∴正方体的棱长为． 15．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 【答案】7 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的概念，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键．根据平方根的概念，两个平方根互为相反数，列方程求a的值，根据立方根的概念可求出b的值，然后计算的值，再求其算术平方根即可． 【解答】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 即 ， 解得 ， 的立方根为 ， ， 解得 ， ， 的算术平方根为7， 的算术平方根是7． 故答案为：7． 16．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 【答案】2或0 【分析】本题考查了无理数的有关运算； 根据的取值范围得出，，再根据平方根的性质求解即可． 【解答】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， ∴， ∴或0， 故答案为：2或0． 三、解答题 17．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解答】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 18．任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1． （1）无理数的整数部分是________； （2）实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分． 【答案】（1）2 （2）44 【分析】（1）首先估算得到，然后求解即可； （2）首先由算术平方根的非负性得到，得到，然后利用平方的非负性得到，，得，然后代入求出，进而求解即可． 【解答】（1）解：， ， 的整数部分是2， （2）解：，， ， ， ， ，， ， ∴得，则， 解得， ∵ ∴ 的算术平方根的整数部分是44． 19．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． （1）求a、b、m的值； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】（1） ，， （2） 【解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）可知，且， ∴， ∴，， ∴. 20．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． （1）物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ （2）比较物体在哪里自由下落得更快？ 【答案】（1） （2）物体在地球上自由下落得更快 【分析】（1）将代入，求出时间即可； （2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间，最后比较大小即可． 【解答】（1）解：在中，当时，， ， 解得（负值已舍去）． （2）解：设下降的距离都为，（）， 在中，， ， 解得（负值已舍去）． 在中，， ， 解得（负值已舍去）． ， 物体在地球上自由下落得更快． 21．图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】（1） （2）， （3）或 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 【解答】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得：， 故这个魔方的棱长为4； （2）解：棱长为4， 每个小立方体的棱长都是2， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）解：正方形的边长为，点A与2重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 22．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】（1） （2）3 （3），或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【解答】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 平方根与立方根（知识梳理+达标检测） 知识点一算术平方根的概念及性质 1、算术平方根。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即=0。 2、被开方数的性质。 算术平方根是一个非负数，即≥0；a称为被开放数，也是非负数，即a≥0。我们可以说具有双重非负性。 知识点二平方根的概念及性质 1、一般地，如果一个数的平方等于a，即x²=a，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 2、算术平方根和平方根的区别与联系。 、 3、开平方。 求一个数的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。 知识点三立方根 1、立方根。 一般地，如果x3=a,那么x叫作a的立方根，也称为三次方根。 2、平方根与立方根的区别。 3、立方根的性质。 正数的立方根时正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 4、开立方。 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。 知识点四用估算法比较大小 1、用估算法确定无理数的大小。 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”（即两边无线逼近的方法）逐渐夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 2、用估算的方法比较数的大小。 用估算法比较两个数的大小时，若期中有无理数，则先通过分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体比较。 一、选择题 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 2．若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 3．如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 4．已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 5．将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 6．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 7．已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 8．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 10．小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 11．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 12．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 13．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 14．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径，那么正方体的棱长为___．（π取3） 15．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 16．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 三、解答题 17．解方程： （1）； （2）． 18．任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1． （1）无理数的整数部分是________； （2）实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分． 19．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． （1）求a、b、m的值； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 20．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． （1）物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ （2）比较物体在哪里自由下落得更快？ 21．图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 22．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $