2.3有理数的乘方（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方、科学记数法、近似数三大核心知识点，构建从乘方定义、符号法则到混合运算，再到科学记数法表示与还原，最后到近似数精确度与取法的完整学习支架，衔接紧密。 资料通过“特别提醒”规避易错点，“随学随练”及时巩固，结合细胞分裂、七进制计数等实例，培养抽象能力与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 课标要点 乘方分清底数与指数，负数偶次幂为正、奇次幂为负，0 的正数次方都是 0。 科学记数法统一写成a×(1≤|a|<10)，大数 n 为整数位数减 1，小数 n 为负整数。 近似数关键看精确数位，四舍五入到哪一位就精确到哪一位，末尾 0 不可随意省略。 学习重难点 重点： 掌握乘方定义，能准确区分底数、指数，熟练计算正负有理数的乘方。 牢记科学记数法标准形式a×(1≤|a|<10)，正确确定大数、小数对应的n。 分清近似数的精确位数，会按指定数位对数字四舍五入取近似值。 难点： 区分-与的运算结果，容易混淆符号规律。 小于 1 的小数用科学记数法表示时，负指数n的数值容易算错。 判断带单位、科学记数形式近似数的精确数位，极易看错末尾数位。 知识点 有理数的乘方 1. 乘方的定义 求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；的奇次幂是，偶次幂是1。 3. 有理数乘方的运算步骤 第一步：确定幂的符号；第二步：计算底数绝对值的n次幂，得到最终结果。 4. 有理数的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如果有括号，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 特别提醒 · 不要混淆底数：比如的底数是3，表示，而(-3)^2的底数是，表示(-3)×(-3)=9，二者结果符号相反，计算前一定要先明确底数。 · 不要错算指数：比如，不要误算为，乘方是相同因数的乘积，不是底数乘以指数。 · 混合运算不要打乱顺序：很多同学会先算乘法再算乘方，比如，错误计算为(2×3)^2=36，正确顺序应该先算乘方再算乘法，结果是。 随学随练 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 2．（） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 4．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 5．计算： (1) (2) 知识点 科学记数法 1. 科学记数法的定义 把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。对于绝对值小于1的数，也可以用科学记数法表示为，其中1≤|a|<10，n是正整数。 2. 确定a和n的方法（绝对值大于10的数） a是将原数的小数点移动到最高数位的左边，得到的满足1≤|a|<10的数；n等于原数的整数位数减1，比如123000是6位整数，所以，表示为。 3. 确定a和n的方法（绝对值小于1的数） a同样是满足1≤|a|<10的数，n等于原数第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的那个零） 4. 科学记数法的还原 将还原为原数：当n为正整数时，把a的小数点向右移动n位，位数不够补0 特别提醒 · a的范围必须满足1≤|a|<10，不能出现这种错误形式，正确写法是。 · 带计数单位的数用科学记数法表示时，要先统一单位再改写，比如“3.6万”不要直接写成吗，实际3.6万=36000=3.6×是对的，但如果是“230亿”，要先写成23000000000再改写，错误写法是，正确结果是。 随学随练 1．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 2．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 3．云南简称“云”或“滇”，地处中国西南边陲，位于东经和北纬之间，北回归线横贯南部，总面积，占全国总面积的，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 4．下列四个数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 5．安徽省的总面积为万平方千米，约占中国国土面积的．将数据万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 知识点 近似数 1. 准确数与近似数 准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际非常接近但有一定偏差的数，大多是由于测量或统计无法得到准确值，或者不需要精确值的时候使用。 2. 精确度 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，通常有两种表述方式： （1）精确到哪一位：比如近似数1.23精确到百分位（也叫精确到0.01），1.23万精确到百位。 （2）保留几个有效数字：从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，比如0.0123有三个有效数字：1、2、3；1.023有四个有效数字：1、0、2、3。 3. 取近似数的方法 用四舍五入法取近似数，要求精确到哪一位，就对下一位的数字进行四舍五入；实际问题中也会用到进一法、去尾法，比如运货、乘车问题一般用进一法，截取材料一般用去尾法。 特别提醒 · 近似数末尾的0不能随意去掉，比如1.20精确到百分位，有3个有效数字，而1.2精确到十分位，只有2个有效数字，二者精确度不同，末尾的0不能省略。 · 带单位或者用科学记数法表示的近似数，判断精确度容易出错：比如，不能认为它精确到十分位，要还原成原数23000，2.3的末位3在原数的千位，所以它精确到千位；再比如1.23万，还原后是12300，末位3在百位，所以精确到百位。 · 有效数字计算的时候，前面的零不算，中间和后面的零要算，比如0.0102有效数字是3个，不是2个，中间的0要算进去。 随学随练 1．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 3．据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 4．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 5．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 拓展 乘方运算中的符号规律 有理数乘方的核心难点在于符号的判定，我们可以从底数的符号、指数的奇偶性两个维度展开深度探究，总结出更具一般性的规律： 1. 底数为非零有理数的符号规律：当底数a是正数时，无论指数n是正奇数还是正偶数，的结果一定为正，即正数的任何次幂都是正数；当底数a是负数时，结果的符号由指数n决定：若n为奇数，则为负；若n为偶数，则为正，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 进一步延伸可得到更简洁的结论：对于，当n为奇数时，；当n为偶数时，。这一规律本质是奇偶次幂对符号的筛选作用，也对应了有理数乘法中“几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定”的核心法则，乘方是相同因数乘法的简便运算，因此符号规律本质上是乘法符号法则的特例。 2. 特殊底数的乘方规律：①底数为1：1的任何次幂都等于1，即；②底数为(-1)：(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1，即； 3. 乘方增长的趋势规律：我们可以通过具体计算探究乘方的增长特性：计算可以发现，随着指数增大，乘方的结果会呈指数式爆炸增长：已经达到千位，超过了百万，超过了十亿，这种增长速度远远超过线性增长、多项式增长，这也是“复利增长”“细胞分裂”“病毒传播”等实际问题的数学模型。 活学活用 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 3．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 4．的值是 _______． 拓展 乘方在规律探究型题型中的应用 大量周期性、递增性规律都需要用乘方表示。比如观察数列2, 4, 8, 16...，第n项就是；观察数列1, 4, 9, 16...，第n项就是，乘方是描述指数级增长和平方类规律的核心工具。此外，在图形找规律中，每次图形的元素数量按照指数规律增加时，最终的通项公式必然包含乘方形式。 活学活用 1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 题型 有理数乘方的概念辨析 解题贴士 牢记乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，中，a叫做底数，n叫做指数。需要注意两种易错情况：一是负号的位置，（的底数是-a，指数是n；的底数是a，指数是n，表示的相反数；二是分数的乘方，的底数是整个分数，不要错把底数写成分子单独部分。 ▌例1 下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 ▌例2．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．计算的算式是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．的底数是________，读作________． ▌对点练1-3．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 题型 有理数乘方的计算 解题贴士 有第一步先确定底数和指数，第二步根据符号法则判断结果符号：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。计算时先定符号再算绝对值，混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序。记住常用的乘方结果：，，，就是1后面n个0，可以加快计算速度。 ▌例1 ．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 ▌例2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 ▌对点练1-1．下列式子，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．用分数表示：_______． ▌对点练1-3．比较大小： ________ ． 题型 乘方结果的符号判断 解题贴士 运牢牢把握符号判断口诀：“正不论，负看奇：奇负偶正”。也就是说只要底数是正数，不管指数是奇数还是偶数，结果一定是正；底数是负数的时候，指数是奇数结果为负，指数是偶数结果为正。如果结果是0，说明底数一定是0且指数为正整数。如果是含有字母的题，比如已知a是有理数，判断的符号，要想到平方的非负性：任何有理数的平方都是非负数，即，同理偶次幂都具有非负性。 ▌例1计算：（   ） A． B． C．0 D．2 ▌例2若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 ▌对点练1-2如果n是正整数，则_____ ． ▌对点练1-3______ 题型 含乘方的有理数运算 解题贴士 1.11.先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，多层括号从里往外算。 2. *2.乘方先判正负，负数偶次幂为正、奇次幂为负；乘除同号得正、异号得负。 4. 3.能凑整、约分优先简算，乘方算出结果后再统一做加减，分步计算减少出错。 ▌例1如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 ▌例2如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 ▌对点练1-1计算：___________． ▌对点练1-2计算： (1) (2)． ▌对点练1-3计算：． 题型 乘方的实际应用 解题贴士 牢找到每次变化的规律，一般对折一次厚度变为原来的2倍，对折n次就是原来厚度乘以；细胞每分裂一次数量翻倍，分裂n次就是原来数量乘以；如果是每次增长为原来的x倍，增长n次就是初始值乘以。衰 ▌例1 如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌例2《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练1-1我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． ▌对点练1-2将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． ▌对点练1-3有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 题型 用科学计数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 解科学计数法的标准形式是，要求，n是整数。对于大于10的数，n等于原数的整数位数减1：比如原数是123000，整数位数是6位，所以n=5，a是把原数的小数点移到第一个非零数字后面，得到1.23，所以结果是。注意a必须满足1≤|a|<10，不能写成12.3×10^4，这种写法不符合要求。如果原数是负数，直接保留负号，只对绝对值进行处理即可，比如-12000，科学计数法是。 ▌例12026年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数据“2631.5亿”用科学记数法表示为（     ） A． B．2.6315×1010 C．2.6315×1011 D． ▌例2稀有金属锂是一种重要的战略资源，广泛用于电池、医药、核工业、航空航天、新能源汽车等新兴领域，被称为“世纪新能源金属”和“促进世界进步的金属”，具有很高的经济和战略价值，玉溪市红塔区氧化锂资源量丰富，已探明氧化锂储量约为吨．用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-12025年7月19日国务院总理李强在西藏自治区林芝市米林水电站坝址按下启动键，全球最大的水电工程——雅鲁藏布江下游水电工程正式开工，该工程总投资元，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2湖北省土地总面积为18.59万平方千米．将数185900用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-32026年3月，在四川冕宁县牦牛坪矿区稀土矿资源储量核实勘查项目中，发现新增资源量为966.56万吨稀土氧化物，居全球在产稀土矿山资源储量世界第二．将数据966.56万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型 把科学计数法还原成原数 解题贴士 反向操作即可，如果n是正整数，就把a的小数点向右移动n位，去掉乘号和，位数不够补零；如果n是负整数，就把a的小数点向左移动|n|位，去掉乘号和，位数不够补零。比如，把3.21的小数点右移5位，得到321000；再比如，小数点左移3位，得到0.0021，还原后注意检查原数的整数位数或者零的个数是否正确。 ▌例1预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 ▌例2一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 ▌对点练1-1中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 ▌对点练1-2北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 题型 确定近似数的精确度 解题贴士 普通数字直接看最后一位在哪一位就是精确到哪一位，比如0.123，最后一位3在千分位，所以精确到千分位（也叫精确到0.001）。如果是带单位的近似数，或者科学计数法表示的近似数，要先还原成原数再看最后一位的位置：比如，还原后是12300，最后一位3在百位，所以精确到百位；3.2万还原后是32000，2在千位，所以精确到千位。不要直接看科学计数法里a的最后一位的小数位，必须还原后判断，这是最容易出错的地方。 ▌例1下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 ▌例2对856.783取近似值，正确的是（   ） A．856.79（精确到0.01） B．856.8（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） ▌对点练1-1近似数7.21精确到（   ） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 ▌对点练1-2下面说法中错误的是（   ） A．368万精确到个位 B．2.58精确到百分位 C．精确到十位 D．566精确到个位 ▌对点练1-3地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 题型 按要求取近似数 解题贴士 用四舍五入法，看要求精确度的下一位，大于等于5就进1，小于5就舍去。需要注意：如果进位后出现末尾是0的情况，不能随意去掉末尾的0，因为末尾的0代表精确度，比如把2.195精确到百分位，结果是2.20，这里的0不能去掉，去掉就变成精确到十分位了。如果是精确到十位及以上的大数，一般要用科学计数法表示结果，比如把12345精确到百位，结果是，不要写成12300，12300本身最后一位5在个位，会误认为精确到个位，用科学计数法就能明确表示精确度。 ▌例1用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． ▌例2长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1把20198四舍五入，使其精确到千位，所得的近似数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型 由近似数推断原数的取值范围 解题贴士 假设近似数是a，精确到某一位，那么原数x的范围是：a - 半个单位 ≤ x < a + 半个单位，举个例子，近似数1.23精确到百分位（0.01），半个单位就是0.005，所以范围是1.23 - 0.005 ≤ x < 1.23 + 0.005，也就是1.225 ≤ x < 1.235；再比如近似数3.2万，精确到千位，单位千的半个单位是0.05万，所以范围是3.15万 ≤ x < 3.25万. ▌例1近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． ▌例2某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-3已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 3．等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 4．我国目前已建成基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 6．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 7．规定一种运算：，则的值为__________． 8．如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： 11．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 12．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 13．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 14．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 15．现有某种浓度的瓶装葡萄糖溶液，每瓶中大约有滴葡萄糖溶液，每滴中大约有个葡萄糖分子．请问5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？ 素养提升 1．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 2．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 4．如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 5．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 6．若，为有理数，且，则______． 7．定义一种新运算：，则______． 8．计算： (1)； (2) 9．计算： 10．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 迁移创新 1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 2．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 课标要点 乘方分清底数与指数，负数偶次幂为正、奇次幂为负，0 的正数次方都是 0。 科学记数法统一写成a×(1≤|a|<10)，大数 n 为整数位数减 1，小数 n 为负整数。 近似数关键看精确数位，四舍五入到哪一位就精确到哪一位，末尾 0 不可随意省略。 学习重难点 重点： 掌握乘方定义，能准确区分底数、指数，熟练计算正负有理数的乘方。 牢记科学记数法标准形式a×(1≤|a|<10)，正确确定大数、小数对应的n。 分清近似数的精确位数，会按指定数位对数字四舍五入取近似值。 难点： 区分-与的运算结果，容易混淆符号规律。 小于 1 的小数用科学记数法表示时，负指数n的数值容易算错。 判断带单位、科学记数形式近似数的精确数位，极易看错末尾数位。 知识点 有理数的乘方 1. 乘方的定义 求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；的奇次幂是，偶次幂是1。 3. 有理数乘方的运算步骤 第一步：确定幂的符号；第二步：计算底数绝对值的n次幂，得到最终结果。 4. 有理数的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如果有括号，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 特别提醒 · 不要混淆底数：比如的底数是3，表示，而(-3)^2的底数是，表示(-3)×(-3)=9，二者结果符号相反，计算前一定要先明确底数。 · 不要错算指数：比如，不要误算为，乘方是相同因数的乘积，不是底数乘以指数。 · 混合运算不要打乱顺序：很多同学会先算乘法再算乘方，比如，错误计算为(2×3)^2=36，正确顺序应该先算乘方再算乘法，结果是。 随学随练 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 3．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 4．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号内的计算，再算乘方，接着进行乘法运算，最后进行加法运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 知识点 科学记数法 1. 科学记数法的定义 把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。对于绝对值小于1的数，也可以用科学记数法表示为，其中1≤|a|<10，n是正整数。 2. 确定a和n的方法（绝对值大于10的数） a是将原数的小数点移动到最高数位的左边，得到的满足1≤|a|<10的数；n等于原数的整数位数减1，比如123000是6位整数，所以，表示为。 3. 确定a和n的方法（绝对值小于1的数） a同样是满足1≤|a|<10的数，n等于原数第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的那个零） 4. 科学记数法的还原 将还原为原数：当n为正整数时，把a的小数点向右移动n位，位数不够补0 特别提醒 · a的范围必须满足1≤|a|<10，不能出现这种错误形式，正确写法是。 · 带计数单位的数用科学记数法表示时，要先统一单位再改写，比如“3.6万”不要直接写成吗，实际3.6万=36000=3.6×是对的，但如果是“230亿”，要先写成23000000000再改写，错误写法是，正确结果是。 随学随练 1．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 2．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 3．云南简称“云”或“滇”，地处中国西南边陲，位于东经和北纬之间，北回归线横贯南部，总面积，占全国总面积的，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 4．下列四个数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法表示的数的大小比较，先比较的指数，指数越大原数越大；指数相同时，比较系数，系数越大原数越大，即可得出结果． 【详解】解：∵用科学记数法表示的数比较大小时，越大则数越大，本题中A、B的，C、D的，， ∴ A、B均小于C、D，排除A、B； ∵C为，D为，两者相同，， ∴， 因此最大的数是． 5．安徽省的总面积为万平方千米，约占中国国土面积的．将数据万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万． 知识点 近似数 1. 准确数与近似数 准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际非常接近但有一定偏差的数，大多是由于测量或统计无法得到准确值，或者不需要精确值的时候使用。 2. 精确度 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，通常有两种表述方式： （1）精确到哪一位：比如近似数1.23精确到百分位（也叫精确到0.01），1.23万精确到百位。 （2）保留几个有效数字：从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，比如0.0123有三个有效数字：1、2、3；1.023有四个有效数字：1、0、2、3。 3. 取近似数的方法 用四舍五入法取近似数，要求精确到哪一位，就对下一位的数字进行四舍五入；实际问题中也会用到进一法、去尾法，比如运货、乘车问题一般用进一法，截取材料一般用去尾法。 特别提醒 · 近似数末尾的0不能随意去掉，比如1.20精确到百分位，有3个有效数字，而1.2精确到十分位，只有2个有效数字，二者精确度不同，末尾的0不能省略。 · 带单位或者用科学记数法表示的近似数，判断精确度容易出错：比如，不能认为它精确到十分位，要还原成原数23000，2.3的末位3在原数的千位，所以它精确到千位；再比如1.23万，还原后是12300，末位3在百位，所以精确到百位。 · 有效数字计算的时候，前面的零不算，中间和后面的零要算，比如0.0102有效数字是3个，不是2个，中间的0要算进去。 随学随练 1．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求． 【详解】由题意得，将数精确到百位为． 2．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 3．据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】本题考查增长率的应用，利用增长率问题公式计算，终值等于初始值乘以（1增长率）的次方，为增长年限，计算后保留三个有效数字，再写成科学记数法形式即可． 【详解】解：由题意得，十三五期间为2016年到2020年，以2016年生产总值为基数，到2020年末共增长4次， ∴到“十三五”末我市生产总值约为（亿元）． 4．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 5．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 拓展 乘方运算中的符号规律 有理数乘方的核心难点在于符号的判定，我们可以从底数的符号、指数的奇偶性两个维度展开深度探究，总结出更具一般性的规律： 1. 底数为非零有理数的符号规律：当底数a是正数时，无论指数n是正奇数还是正偶数，的结果一定为正，即正数的任何次幂都是正数；当底数a是负数时，结果的符号由指数n决定：若n为奇数，则为负；若n为偶数，则为正，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 进一步延伸可得到更简洁的结论：对于，当n为奇数时，；当n为偶数时，。这一规律本质是奇偶次幂对符号的筛选作用，也对应了有理数乘法中“几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定”的核心法则，乘方是相同因数乘法的简便运算，因此符号规律本质上是乘法符号法则的特例。 2. 特殊底数的乘方规律：①底数为1：1的任何次幂都等于1，即；②底数为(-1)：(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1，即； 3. 乘方增长的趋势规律：我们可以通过具体计算探究乘方的增长特性：计算可以发现，随着指数增大，乘方的结果会呈指数式爆炸增长：已经达到千位，超过了百万，超过了十亿，这种增长速度远远超过线性增长、多项式增长，这也是“复利增长”“细胞分裂”“病毒传播”等实际问题的数学模型。 活学活用 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 3．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 4．的值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的符号规律是解题的关键．根据乘方运算的符号规律得到每一项的结果，然后相加即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 拓展 乘方在规律探究型题型中的应用 大量周期性、递增性规律都需要用乘方表示。比如观察数列2, 4, 8, 16...，第n项就是；观察数列1, 4, 9, 16...，第n项就是，乘方是描述指数级增长和平方类规律的核心工具。此外，在图形找规律中，每次图形的元素数量按照指数规律增加时，最终的通项公式必然包含乘方形式。 活学活用 1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 题型 有理数乘方的概念辨析 解题贴士 牢记乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，中，a叫做底数，n叫做指数。需要注意两种易错情况：一是负号的位置，（的底数是-a，指数是n；的底数是a，指数是n，表示的相反数；二是分数的乘方，的底数是整个分数，不要错把底数写成分子单独部分。 ▌例1 下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵乘方中，是底数，是指数，表示个相乘， ∴对于，底数是2，指数是3，它表示3个2相乘，即， ∴选项A、C、D均错误，选项B正确． 故选：B． ▌例2．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数， ∴应记为， 故选：C． ▌对点练1-1．计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方和乘法的意义列式即可． 【详解】解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． ▌对点练1-2．的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． ▌对点练1-3．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 题型 有理数乘方的计算 解题贴士 有第一步先确定底数和指数，第二步根据符号法则判断结果符号：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。计算时先定符号再算绝对值，混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序。记住常用的乘方结果：，，，就是1后面n个0，可以加快计算速度。 ▌例1 ．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． ▌例2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． ▌对点练1-1．下列式子，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的运算法则分别计算各选项的结果，判断结果的正负，选出符合要求的选项即可 【详解】解：A、，结果为正数， B、，结果为负数， C、，结果为正数， D、，结果为正数， 综上，运算结果为负数的是B ▌对点练1-2．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． ▌对点练1-3．比较大小： ________ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义分别计算出两个幂的值，再比较所得结果的大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 题型 乘方结果的符号判断 解题贴士 运牢牢把握符号判断口诀：“正不论，负看奇：奇负偶正”。也就是说只要底数是正数，不管指数是奇数还是偶数，结果一定是正；底数是负数的时候，指数是奇数结果为负，指数是偶数结果为正。如果结果是0，说明底数一定是0且指数为正整数。如果是含有字母的题，比如已知a是有理数，判断的符号，要想到平方的非负性：任何有理数的平方都是非负数，即，同理偶次幂都具有非负性。 ▌例1计算：（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，根据乘方的意义先确定符号，再计算即可． 【详解】解：， 故选：C ▌例2若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C ▌对点练1-1在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． ▌对点练1-2如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． ▌对点练1-3______ 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型 含乘方的有理数运算 解题贴士 1.11.先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，多层括号从里往外算。 2. *2.乘方先判正负，负数偶次幂为正、奇次幂为负；乘除同号得正、异号得负。 4. 3.能凑整、约分优先简算，乘方算出结果后再统一做加减，分步计算减少出错。 ▌例1如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． ▌例2如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． ▌对点练1-1计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． ▌对点练1-2计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ▌对点练1-3计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 题型 乘方的实际应用 解题贴士 牢找到每次变化的规律，一般对折一次厚度变为原来的2倍，对折n次就是原来厚度乘以；细胞每分裂一次数量翻倍，分裂n次就是原来数量乘以；如果是每次增长为原来的x倍，增长n次就是初始值乘以。衰 ▌例1 如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． ▌例2《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． ▌对点练1-1我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． ▌对点练1-2将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） ▌对点练1-3有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 【详解】解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 题型 用科学计数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 解科学计数法的标准形式是，要求，n是整数。对于大于10的数，n等于原数的整数位数减1：比如原数是123000，整数位数是6位，所以n=5，a是把原数的小数点移到第一个非零数字后面，得到1.23，所以结果是。注意a必须满足1≤|a|<10，不能写成12.3×10^4，这种写法不符合要求。如果原数是负数，直接保留负号，只对绝对值进行处理即可，比如-12000，科学计数法是。 ▌例12026年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数据“2631.5亿”用科学记数法表示为（     ） A． B．2.6315×1010 C．2.6315×1011 D． 【答案】C 【详解】解：2631.5亿． ▌例2稀有金属锂是一种重要的战略资源，广泛用于电池、医药、核工业、航空航天、新能源汽车等新兴领域，被称为“世纪新能源金属”和“促进世界进步的金属”，具有很高的经济和战略价值，玉溪市红塔区氧化锂资源量丰富，已探明氧化锂储量约为吨．用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． ▌对点练1-12025年7月19日国务院总理李强在西藏自治区林芝市米林水电站坝址按下启动键，全球最大的水电工程——雅鲁藏布江下游水电工程正式开工，该工程总投资元，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定时，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：用科学记数法表示为． ▌对点练1-2湖北省土地总面积为18.59万平方千米．将数185900用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：科学记数法要求满足，将改写为符合要求的形式时，将小数点向左移动5位，可得，． ． ▌对点练1-32026年3月，在四川冕宁县牦牛坪矿区稀土矿资源储量核实勘查项目中，发现新增资源量为966.56万吨稀土氧化物，居全球在产稀土矿山资源储量世界第二．将数据966.56万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万． 题型 把科学计数法还原成原数 解题贴士 反向操作即可，如果n是正整数，就把a的小数点向右移动n位，去掉乘号和，位数不够补零；如果n是负整数，就把a的小数点向左移动|n|位，去掉乘号和，位数不够补零。比如，把3.21的小数点右移5位，得到321000；再比如，小数点左移3位，得到0.0021，还原后注意检查原数的整数位数或者零的个数是否正确。 ▌例1预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数还原，再换算为以亿为单位的数即可得到结果． 【详解】亿． ▌例2一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． ▌对点练1-1中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． ▌对点练1-2北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 题型 确定近似数的精确度 解题贴士 普通数字直接看最后一位在哪一位就是精确到哪一位，比如0.123，最后一位3在千分位，所以精确到千分位（也叫精确到0.001）。如果是带单位的近似数，或者科学计数法表示的近似数，要先还原成原数再看最后一位的位置：比如，还原后是12300，最后一位3在百位，所以精确到百位；3.2万还原后是32000，2在千位，所以精确到千位。不要直接看科学计数法里a的最后一位的小数位，必须还原后判断，这是最容易出错的地方。 ▌例1下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握判断近似数精确位数的方法是解题的关键．先将以“万”为单位的数还原，再根据末位数字所在的数位判断精确度，最后逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵万， ∴最后一个有效数字在百位， ∴万精确到百位，不是百分位，故A项错误； ∵万， ∴最后一个有效数字在十位， ∴万精确到十位，不是万位，故B项错误； ∵的末位数字在个位， ∴精确到个位，故C项正确； ∵的末位数字在千分位，的末位数字在百分位， ∴和的精确度不同，故D项错误， 故选：C． ▌例2对856.783取近似值，正确的是（   ） A．856.79（精确到0.01） B．856.8（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确度，根据近似数的精确度要求，对856.783进行四舍五入，判断各选项的正确性． 【详解】解：A项：∵精确到0.01，∴需看千分位，千分位数字为，∴百分位不变，应为856.78，但选项为856.79，故A错误； B项：∵精确到十分位，∴需看百分位，百分位数字为，∴十分位进1，应为856.8，与选项一致，故B正确； C项：∵精确到百位，∴需看十位，十位数字为，∴百位进1，，但选项为，故C错误； D项：∵精确到十位，∴需看个位，个位数字为，∴十位进1，，但选项为，故D错误， 故选：B． ▌对点练1-1近似数7.21精确到（   ） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 【答案】D 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握“近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定”是解题的关键．根据近似数的精确度定义，判断最后一位数字所在的数位，即可确定该近似数精确到的位置． 【详解】解：∵近似数的最后一位数字位于百分位， ∴它精确到百分位， 故选：． ▌对点练1-2下面说法中错误的是（   ） A．368万精确到个位 B．2.58精确到百分位 C．精确到十位 D．566精确到个位 【答案】A 【分析】本题考查数字的精确度概念，需根据每个数字的表示形式判断其精确到的数位． 【详解】A．“368万”精确到万位，而非个位，∴说法错误． B．2.58有两位小数，精确到百分位，∴说法正确． C．，该数有两个有效数字，最后一个有效数字7在十位上，因此该数精确到十位，∴说法正确． D．566是整数，精确到个位，∴说法正确． 故选：A． ▌对点练1-3地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 【答案】C 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 题型 按要求取近似数 解题贴士 用四舍五入法，看要求精确度的下一位，大于等于5就进1，小于5就舍去。需要注意：如果进位后出现末尾是0的情况，不能随意去掉末尾的0，因为末尾的0代表精确度，比如把2.195精确到百分位，结果是2.20，这里的0不能去掉，去掉就变成精确到十分位了。如果是精确到十位及以上的大数，一般要用科学计数法表示结果，比如把12345精确到百位，结果是，不要写成12300，12300本身最后一位5在个位，会误认为精确到个位，用科学计数法就能明确表示精确度。 ▌例1用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到即保留两位小数，需观察第三位小数(千分位)的数字，根据“四舍五入”的原则判断是否向百分位进位． 【详解】解：要将精确到，即保留两位小数，需看千分位上的数字4． ∵， ∴舍去千分位及后面的所有数字，得到近似数； 故选：A． ▌例2长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求近似数． 依据四舍五入规则，将数精确到（即十分位），通过观察百分位数字进行取舍即可． 【详解】解：∵的百分位数字为2，且， ∴根据四舍五入规则，舍去百分位及后续数位的数字，得到结果为． 故选：B． ▌对点练1-1把20198四舍五入，使其精确到千位，所得的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求近似数，科学记数法，四舍五入精确到千位，根据百位数字小于5需舍去，然后得到近似数为20000，即． 【详解】解：∵20198的百位数字是1，， ∴四舍五入时舍去，千位数字0不变， ∴近似数为20000，即． 故选：A． ▌对点练1-2DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【详解】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． ▌对点练1-3用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】精确到即保留五位小数，需看第六位小数进行四舍五入即可． 【详解】解：数字的第五位小数为，第六位小数为， ∵， ∴第五位小数需进位，变为，即为． 故选：． 题型 由近似数推断原数的取值范围 解题贴士 假设近似数是a，精确到某一位，那么原数x的范围是：a - 半个单位 ≤ x < a + 半个单位，举个例子，近似数1.23精确到百分位（0.01），半个单位就是0.005，所以范围是1.23 - 0.005 ≤ x < 1.23 + 0.005，也就是1.225 ≤ x < 1.235；再比如近似数3.2万，精确到千位，单位千的半个单位是0.05万，所以范围是3.15万 ≤ x < 3.25万. ▌例1近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． ▌例2某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． ▌对点练1-1近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． ▌对点练1-2某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入是解题的关键． 先根据四舍五入确定实际直径x应满足的取值范围，然后再判断即可． 【详解】解：∵ 近似值是通过四舍五入到小数点后一位得到的，   ∴ 实际直径x应满足．   ∴C选项不可能，符合题意． 故选：C． ▌对点练1-3已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据近似数推断取值范围，当舍去千分位得到时，则它的最大值小于；当的千分位进1得到时，则它的最小值是；据此即可求解； 【详解】解：当舍去千分位得到时，则它的最大值小于； 当的千分位进1得到时，则它的最小值是. ∴所以的取值范围是：， 又因为是一个三位小数， 所以的取值范围是， 故选：D 基础通关 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 3．等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 4．我国目前已建成基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数的绝对值大于等于，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：160万， ∴将化为时，小数点向左移动了位， 即， ∴160万用科学记数法表示为． 5．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 6．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】B 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 7．规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 8．如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 11．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 12．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 13．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 14．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 【答案】(1)132.4精确到十分位，有4个有效数字； (2)0.0572精确到万分位，有3个有效数字； (3)精确到十位，有3个有效数字． 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．据此逐一作答即可． 【详解】（1）解：132.4精确到十分位，有4个有效数字； （2）解：0.0572精确到万分位，有3个有效数字； （3）解：精确到十位，有3个有效数字． 15．现有某种浓度的瓶装葡萄糖溶液，每瓶中大约有滴葡萄糖溶液，每滴中大约有个葡萄糖分子．请问5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？ 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子. 【分析】利用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】解：1瓶葡萄糖溶液中大约有葡萄糖分子（个）， （个）． 故5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 【点睛】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法，解题关键是明确同底数幂的乘法和法则. 素养提升 1．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 2．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 3．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 4．如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的流程图运算，熟练掌握运算法则和分析每一步的输出结果找出规律是解题的关键． 把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律即可解答． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数输出的结果为，偶数的输出结果为， ∵为奇数， ∴输出的结果为， 故选：A． 5．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． 6．若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 7．定义一种新运算：，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； 根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：由新运算定义 ， 得， ∴， 故答案为：． 8．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： 【答案】 【详解】解： ． 10．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 迁移创新 1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 2．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $