2.2有理数的乘法与除法（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，系统梳理从两数乘除符号法则、多个数乘除负因数个数规律，到倒数定义及性质、除法转化乘法法则，再到混合运算顺序的递进式学习支架，衔接课标要点与学习重难点。 资料通过随学随练即时巩固、题型分类精准突破（如实际应用中的《九章算术》问题），培养学生用数学眼光观察现实世界，结合凑整凑1等简便技巧提升运算能力（数学思维），规范解题贴士助力数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 课标要点 1. 两数相乘除，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘除。 2. 多个数乘除，负因数个数定符号，偶负为正、奇负为负。 3. 除以一个数等于乘它的倒数，0不能作除数，0乘除任何数都得0。 4. 灵活运用乘法交换、结合、分配律简化计算。 学习重难点 重点： 掌握乘除符号法则，能快速判断结果正负。 理解除法变乘法，熟练求倒数进行转化计算。 活用乘法运算律简化多步有理数运算。 牢记 0 不能作除数，0 乘任何数结果为 0。 难点： 多个负因数相乘时，容易数错负号个数判错符号。 分数、小数混合乘除，倒数转换步骤易漏符号。 乘法分配律带负括号展开时，符号处理经常出错。 实际应用题分不清何时用乘、何时用除。 知识点 有理数的乘法法则 基本法则内容： 两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 举个具体的例子：计算(-3)×(-2，两个数都是负数，属于同号，因此结果为正，再把绝对值相乘，最终结果是6；计算(-5)×4，一负一正属于异号，结果为负，绝对值相乘，最终结果是。 多个有理数相乘的符号法则： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。如果几个数相乘，有一个因数为0，那么积就为0。 例如：计算(-2)×3×(-4)×(-1，这里一共有3个负因数，是奇数个，因此积为负，再把所有绝对值相乘，最终结果是；计算(-3)×2×0×(-5，因为存在因数0，所以结果直接为0。 特别提醒 计算多个有理数乘法时，一定要先确定积的符号，再计算绝对值的乘积，不要提前约分的时候把符号搞错；如果因数中存在带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 随学随练 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 2．计算 （     ） A． B． C． D． 3．________； 4．计算： 5．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 知识点 有理数的乘法运算律 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式表示为：。 例如：(-4)×8=8×(-4)=-32，交换位置后积不变。 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式表示为：(ab)c=a(bc)。 在实际计算中，乘法结合律常用来简化计算，比如计算(-25)×49×(-4)，先计算(-25)×(-4)=100，再乘以49就能直接得到结果4900，比先算(-25)×49简单很多。 乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，公式表示为：，反过来也可以写成，也就是逆用乘法分配律，这在简便计算中应用非常广泛。 例如计算，可以把101拆成，再用分配律得到，大大降低计算难度。 特别提醒 使用乘法分配律时，一定要注意符号问题，不要漏乘某一项，尤其是括号前面是负号的时候，去括号后每一项都要变号，比如，不能错误算成。 随学随练 1．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 4．计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 5．计算：__________． 知识点 倒数 倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数，也就是说，如果，那么a和b互为倒数；反过来，如果a和b互为倒数，那么一定有。 倒数的性质： 1. 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，因为0乘任何数都得0，不可能得到乘积为1。 2. 求一个分数的倒数，只需要把分子和分母交换位置即可，比如的倒数是；如果是整数，可以把整数看作分母是1的分数，再交换分子分母，比如的倒数是。 3. 带分数求倒数的时候，要先把带分数化成假分数，再交换分子分母，比如，它的倒数就是。 4. 倒数等于本身的数只有1和，1的倒数是1，-1的倒数是-1，没有其他数满足这个性质。 特别提醒 互为倒数是两个数之间的关系，不能说某个数单独是倒数，必须说“谁是谁的倒数”或者“谁和谁互为倒数”；互为倒数的两个数乘积一定是1，记住这个判定标准，可以快速验证计算结果是否正确。 随学随练 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 3．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 4．的相反数的倒数是_________． 5．有理数的倒数为_____________． 知识点 有理数的除法法则 除法法则一（除以一个非零数等于乘它的倒数）： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则的作用是把有理数的除法运算转化为已经学过的乘法运算，方便我们计算，比如。 除法法则二（类似乘法的符号法则）： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 这个法则适合直接做绝对值相除比较简单的题目，比如(-18)÷6，异号得负，绝对值相除，结果就是。 特别提醒 0不能做除数，因为0做除数的时候除法没有意义，所以所有除法运算中，除数都必须不等于0；计算除法的时候，可以根据题目特点选择合适的法则，如果是分数除法，一般用法则一转化为乘法约分更方便，如果是整数除法，用法则二直接计算更快。 随学随练 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 2．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 3．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 4．计算： __________． 5．计算：． 知识点 有理数加减乘除混合运算 运算顺序： 先算乘除，后算加减；如果有括号，先算括号里面的，括号按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算；同级运算从左到右依次进行。 简便计算技巧： 可以灵活运用乘法的运算律，简化计算过程，不要生搬硬套运算顺序，比如分配律的逆用，经常可以让计算变得简单。例如计算(-5)×7+9×7-4×7，逆用分配律得到(-5+9-4)×7=0×7=0，不用分别计算每一项乘法再加减，更快得到结果。 特别提醒 计算的时候要特别注意运算顺序和符号，不要把“减一个数”当成加，也不要搞错乘除的符号，遇到多个括号的时候，一步一步算，不要跳步导致错误。 随学随练 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 3．若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 4．定义新运算，则______________． 5．计算：． 拓展 有理数乘除运算中的符号规律 我们从多个有理数乘法的符号规律切入，先观察不同符号组合下乘积的符号结果：当因数全为正数时，乘积符号为正；当有1个负因数时，乘积符号为负；当有2个负因数时，乘积符号为正；当有3个负因数时，乘积符号为负……由此可推导通用规律：若干个非零有理数相乘，乘积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时，乘积为正；负因数个数为奇数时，乘积为负，这个规律也可以通过“负负得正、正负得负”的基础符号法则递归验证：每两个负因数相乘会得到一个正结果，偶数个负因数可以两两配对得到全正乘积，奇数个负因数配对后剩余一个负因数，最终结果为负。 除法作为乘法的逆运算，符号规律和乘法完全统一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，多个有理数连除可以转化为多个有理数连乘，因此符号规律同样遵循负因数个数的奇偶判定。 活学活用 1．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 2．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 拓展 有理数乘除中的凑整、凑1技巧 常规有理数乘除运算遵循“先定符号、再算绝对值”的基本步骤，但对于特殊结构的算式，可以通过运算律优化计算，核心技巧围绕“凑整”“凑1”展开： 1. 乘法交换律/结合律凑整：当算式中存在乘积为整十、整百、整数的因数组合时，调整运算顺序优先计算，比如计算，可以通过交换结合得到，远比对多个因数按顺序计算更简便。 2. 分配律逆用凑1：对于形如的结构逆用分配律得到，当 (b+c) 恰好为整数或者1时，可以大幅简化运算，比如计算，提取公因数后得到，直接凑出整百数简化计算。 3. 带分数拆项凑整：对于接近整数的带分数，可以拆成整数和分数的和差形式再用分配律计算，比如计算，将原式变形为，避免了将带分数化为假分数后的复杂乘法运算。 4. 连除转化为连乘后约分凑1：多个有理数连除时，先将除法全部转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），再对分子分母进行约分，多个互为倒数的因数可以直接凑1抵消，简化运算。 活学活用 1．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1) (2) 题型 有理数乘法基础运算 解题贴士 · 牢记有理数乘法符号法则：几个非零有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；只要有一个因数为0，积就是0 · 计算步骤先定符号，再算绝对值的乘积，绝对值相乘遵循小学乘法计算规则，分数相乘注意先约分再计算可简化步骤 · 遇到小数与分数相乘时，先统一形式：一般将小数化为分数再计算，避免计算错误 ▌例1 计算：（    ） A．4 B． C．21 D． ▌例2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． ▌对点练1-2．计算_______． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)． 题型 有理数除法基础运算 解题贴士 有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，因此所有除法都可以转化为乘法计算，遵循乘法的符号与计算规则 符符号法则和乘法一致：同号得正，异号得负，0除以任何非零数都得0，注意0不能作除数 分数形式可理解为分子除以分母，计算时先确定符号再计算绝对值 ▌例1 ．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． ▌例2．计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 ▌对点练1-1．_______ ▌对点练1-2．计算： (1)； (2)． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型 乘除混合运算 解题贴士 运算顺序：先将所有除法转化为乘法，再统一计算乘法，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号内的部分 乘除与加减混合时，遵循“先乘除，后加减”的顺序，不能颠倒计算顺序 多个分数乘除混合运算时，先统一符号，再整体约分，最后计算结果，可以大幅减少计算量，避免出错 遇到带分数时，先将带分数化为假分数再进行计算 ▌例1计算：（   ） A． B． C． D． ▌例2（ 　） A． B． C． D． ▌对点练1-1_______． ▌对点练1-2计算：________． ▌对点练1-3． 题型 利用运算律进行简便运算 解题贴士 牢记有理数乘法运算律：交换律a×b=b×a，结合律(a×b)×c=a×(b×c)，分配律a×(b+c)=a×b+a×c，除法没有分配律，遇到除法分配形式要先转化为乘法再判断 多个因数相乘时，优先将能约分、乘积为整数的因数结合在一起计算，例如将互为倒数的数结合得到乘积1，简化计算 ▌例1的值为________． ▌例2计运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． ▌对点练1-1计算： ▌对点练1-2用简便的方法计算 (1) (2) ▌对点练1-3用简便方法计算： (1)； (2)． 题型 倒数与相反数的综合应用 解题贴士 牢记核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0；互为倒数的两个数乘积为1，即若m、n互为倒数，则mn=1，0没有倒数；绝对值等于正数a的数有两个，为±a 解题时先根据题目条件写出对应等式，再整体代入所求代数式计算，不需要求出每个字母具体的值 注意1和-1的倒数是本身，0的相反数是本身，这些特殊性质常作为隐含条件考查 ▌例1 5的倒数的相反数是（     ） A．5 B． C． D． ▌例2的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D．2020 ▌对点练1-1一个数的相反数是，那么这个数的倒数是（     ） A．2 B． C． D． ▌对点练1-22025的倒数的相反数是______． ▌对点练1-3如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 题型 有理数运算的实际应用 解题贴士 解题第一步：设定正方向，将实际情境中的量转化为带符号的有理数，例如盈利记为正，亏损记为负；上升记为正，下降记为负 根据题意列出对应的乘除算式，计算后结合实际意义解释结果的含义 注意单位换算，题目中如果单位不一致要先统一单位再计算 ▌例1《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 ▌例2在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． ▌对点练1-1某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________ ▌对点练1-2某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． ▌对点练1-3张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 题型 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题贴士 1. 先定符号：数轴原点左侧的数为负，右侧为正，原点是0，快速判断每个字母正负。 2. 比绝对值大小：看点到原点的远近，离原点越远，数字绝对值越大，用来判断两数和、差的符号。 3. 判断和差正负：正数绝对值大则和为正，负数绝对值大则和为负；减法转化为加相反数再判断。 4. 乘除快速判定：两数异号相乘除结果为负，同号相乘除结果为正。 ▌例1如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 ▌例2如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 题型 数轴上的翻折 解题贴士 1. 先找翻折中心点：两点重合时，中点＝两数之和÷2，这是翻折题核心等式。 2. 利用距离相等列算式：翻折后对应点到中点的距离完全相同，据此列方程求未知数。 3. 多层连续翻折分步算：每次翻折单独求一次中点，逐步推导目标点对应的数字。 4. 快速验算：算出结果后，对比两点与中点的距离，相等则答案正确。 ▌例1已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． ▌例2一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．504 ▌对点练1-1若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 ▌对点练1-2如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） ▌对点练1-3如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 基础通关 1．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 6．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 7．若，则内的数字是________． 8．3.5的倒数是_______． 9．计算：________． 10．计算： ______． 11．计算：； 12．计算：． 13．计算：． 14．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准， 超出或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下表：若每袋标准质量为， 则这批样品的总质量是多少？ 与标准质量的差值（单位：） 0 1 袋数（单位：袋） 1 4 3 4 5 3 15．某市出租车以内起步价10元，行驶以后，每千米收费1.2元（不足按计）．李想乘坐出租车下车时付给司机16元，他乘坐出租车最远行驶了多少千米？ 素养提升 1．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 2．能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 3．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 5．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 6．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 7．已知，，，则的值等于____________． 8．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： 10．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 迁移创新 1．计算 2．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 课标要点 1. 两数相乘除，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘除。 2. 多个数乘除，负因数个数定符号，偶负为正、奇负为负。 3. 除以一个数等于乘它的倒数，0不能作除数，0乘除任何数都得0。 4. 灵活运用乘法交换、结合、分配律简化计算。 学习重难点 重点： 掌握乘除符号法则，能快速判断结果正负。 理解除法变乘法，熟练求倒数进行转化计算。 活用乘法运算律简化多步有理数运算。 牢记 0 不能作除数，0 乘任何数结果为 0。 难点： 多个负因数相乘时，容易数错负号个数判错符号。 分数、小数混合乘除，倒数转换步骤易漏符号。 乘法分配律带负括号展开时，符号处理经常出错。 实际应用题分不清何时用乘、何时用除。 知识点 有理数的乘法法则 基本法则内容： 两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 举个具体的例子：计算(-3)×(-2，两个数都是负数，属于同号，因此结果为正，再把绝对值相乘，最终结果是6；计算(-5)×4，一负一正属于异号，结果为负，绝对值相乘，最终结果是。 多个有理数相乘的符号法则： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。如果几个数相乘，有一个因数为0，那么积就为0。 例如：计算(-2)×3×(-4)×(-1，这里一共有3个负因数，是奇数个，因此积为负，再把所有绝对值相乘，最终结果是；计算(-3)×2×0×(-5，因为存在因数0，所以结果直接为0。 特别提醒 计算多个有理数乘法时，一定要先确定积的符号，再计算绝对值的乘积，不要提前约分的时候把符号搞错；如果因数中存在带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 随学随练 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 4．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 5．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 【答案】(1)负 (2)正 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算．通过计数每个表达式中负因数的个数来确定乘积的符号．负因数个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正． （1）根据负因数个数为3即可判断． （2）根据负因数个数为2即可判断． 【详解】（1）解：式子中有三个负因数：、、， 负因数个数为3，是奇数， 所以积为负． （2）解：式子中有两个负因数：、， 负因数个数为2，是偶数， 所以积为正． 知识点 有理数的乘法运算律 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式表示为：。 例如：(-4)×8=8×(-4)=-32，交换位置后积不变。 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式表示为：(ab)c=a(bc)。 在实际计算中，乘法结合律常用来简化计算，比如计算(-25)×49×(-4)，先计算(-25)×(-4)=100，再乘以49就能直接得到结果4900，比先算(-25)×49简单很多。 乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，公式表示为：，反过来也可以写成，也就是逆用乘法分配律，这在简便计算中应用非常广泛。 例如计算，可以把101拆成，再用分配律得到，大大降低计算难度。 特别提醒 使用乘法分配律时，一定要注意符号问题，不要漏乘某一项，尤其是括号前面是负号的时候，去括号后每一项都要变号，比如，不能错误算成。 随学随练 1．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 4．计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 5．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 知识点 倒数 倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数，也就是说，如果，那么a和b互为倒数；反过来，如果a和b互为倒数，那么一定有。 倒数的性质： 1. 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，因为0乘任何数都得0，不可能得到乘积为1。 2. 求一个分数的倒数，只需要把分子和分母交换位置即可，比如的倒数是；如果是整数，可以把整数看作分母是1的分数，再交换分子分母，比如的倒数是。 3. 带分数求倒数的时候，要先把带分数化成假分数，再交换分子分母，比如，它的倒数就是。 4. 倒数等于本身的数只有1和，1的倒数是1，-1的倒数是-1，没有其他数满足这个性质。 特别提醒 互为倒数是两个数之间的关系，不能说某个数单独是倒数，必须说“谁是谁的倒数”或者“谁和谁互为倒数”；互为倒数的两个数乘积一定是1，记住这个判定标准，可以快速验证计算结果是否正确。 随学随练 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵乘以任何数都等于，不可能等于， ∴不存在倒数． 3．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 4．的相反数的倒数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，可得的相反数是．再根据倒数的定义，可得的倒数是． 5．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 知识点 有理数的除法法则 除法法则一（除以一个非零数等于乘它的倒数）： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则的作用是把有理数的除法运算转化为已经学过的乘法运算，方便我们计算，比如。 除法法则二（类似乘法的符号法则）： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 这个法则适合直接做绝对值相除比较简单的题目，比如(-18)÷6，异号得负，绝对值相除，结果就是。 特别提醒 0不能做除数，因为0做除数的时候除法没有意义，所以所有除法运算中，除数都必须不等于0；计算除法的时候，可以根据题目特点选择合适的法则，如果是分数除法，一般用法则一转化为乘法约分更方便，如果是整数除法，用法则二直接计算更快。 随学随练 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 2．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 3．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 4．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 知识点 有理数加减乘除混合运算 运算顺序： 先算乘除，后算加减；如果有括号，先算括号里面的，括号按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算；同级运算从左到右依次进行。 简便计算技巧： 可以灵活运用乘法的运算律，简化计算过程，不要生搬硬套运算顺序，比如分配律的逆用，经常可以让计算变得简单。例如计算(-5)×7+9×7-4×7，逆用分配律得到(-5+9-4)×7=0×7=0，不用分别计算每一项乘法再加减，更快得到结果。 特别提醒 计算的时候要特别注意运算顺序和符号，不要把“减一个数”当成加，也不要搞错乘除的符号，遇到多个括号的时候，一步一步算，不要跳步导致错误。 随学随练 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 3．若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算分别计算表达式的值，即可求解． 【详解】解：A、，不是负整数； B、，不是负整数； C、，是负整数； D、，不是负整数． 故选：C． 4．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 拓展 有理数乘除运算中的符号规律 我们从多个有理数乘法的符号规律切入，先观察不同符号组合下乘积的符号结果：当因数全为正数时，乘积符号为正；当有1个负因数时，乘积符号为负；当有2个负因数时，乘积符号为正；当有3个负因数时，乘积符号为负……由此可推导通用规律：若干个非零有理数相乘，乘积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时，乘积为正；负因数个数为奇数时，乘积为负，这个规律也可以通过“负负得正、正负得负”的基础符号法则递归验证：每两个负因数相乘会得到一个正结果，偶数个负因数可以两两配对得到全正乘积，奇数个负因数配对后剩余一个负因数，最终结果为负。 除法作为乘法的逆运算，符号规律和乘法完全统一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，多个有理数连除可以转化为多个有理数连乘，因此符号规律同样遵循负因数个数的奇偶判定。 活学活用 1．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 2．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 【答案】，，，，；0，1，2，3，4，，，，，；几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 故答案为：，，，，． 故答案为：0，1，2，3，4，，，，，． 几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 拓展 有理数乘除中的凑整、凑1技巧 常规有理数乘除运算遵循“先定符号、再算绝对值”的基本步骤，但对于特殊结构的算式，可以通过运算律优化计算，核心技巧围绕“凑整”“凑1”展开： 1. 乘法交换律/结合律凑整：当算式中存在乘积为整十、整百、整数的因数组合时，调整运算顺序优先计算，比如计算，可以通过交换结合得到，远比对多个因数按顺序计算更简便。 2. 分配律逆用凑1：对于形如的结构逆用分配律得到，当 (b+c) 恰好为整数或者1时，可以大幅简化运算，比如计算，提取公因数后得到，直接凑出整百数简化计算。 3. 带分数拆项凑整：对于接近整数的带分数，可以拆成整数和分数的和差形式再用分配律计算，比如计算，将原式变形为，避免了将带分数化为假分数后的复杂乘法运算。 4. 连除转化为连乘后约分凑1：多个有理数连除时，先将除法全部转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），再对分子分母进行约分，多个互为倒数的因数可以直接凑1抵消，简化运算。 活学活用 1．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查运用运算律进行简便运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）运用乘法分配律的逆应用将原式化为，进行简便计算即可； （2）运用乘法结合律将原式化为，进行简便计算即可； （3）运用运算律将原式化为，进行简便计算即可； （4）可以先求，再取倒数即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【详解】（1）解： （2） 题型 有理数乘法基础运算 解题贴士 · 牢记有理数乘法符号法则：几个非零有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；只要有一个因数为0，积就是0 · 计算步骤先定符号，再算绝对值的乘积，绝对值相乘遵循小学乘法计算规则，分数相乘注意先约分再计算可简化步骤 · 遇到小数与分数相乘时，先统一形式：一般将小数化为分数再计算，避免计算错误 ▌例1 计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 【答案】D 【详解】解：． ▌例2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：. ▌对点练1-2．计算_______． 【答案】 21 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘，先计算前两个数的积，再与第三个数相乘． 【详解】解：． 故答案为：21． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 题型 有理数除法基础运算 解题贴士 有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，因此所有除法都可以转化为乘法计算，遵循乘法的符号与计算规则 符符号法则和乘法一致：同号得正，异号得负，0除以任何非零数都得0，注意0不能作除数 分数形式可理解为分子除以分母，计算时先确定符号再计算绝对值 ▌例1 ．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． ▌例2．计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数的法则计算，先确定符号再计算绝对值即可． 【详解】解：． ▌对点练1-1．_______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练1-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 题型 乘除混合运算 解题贴士 运算顺序：先将所有除法转化为乘法，再统一计算乘法，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号内的部分 乘除与加减混合时，遵循“先乘除，后加减”的顺序，不能颠倒计算顺序 多个分数乘除混合运算时，先统一符号，再整体约分，最后计算结果，可以大幅减少计算量，避免出错 遇到带分数时，先将带分数化为假分数再进行计算 ▌例1计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计算乘除运算即可解答． 【详解】解：， 故选：． ▌例2（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，可将除法转化为乘法后按从左到右的顺序计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． ▌对点练1-1_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练1-2计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． ▌对点练1-3． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型 利用运算律进行简便运算 解题贴士 牢记有理数乘法运算律：交换律a×b=b×a，结合律(a×b)×c=a×(b×c)，分配律a×(b+c)=a×b+a×c，除法没有分配律，遇到除法分配形式要先转化为乘法再判断 多个因数相乘时，优先将能约分、乘积为整数的因数结合在一起计算，例如将互为倒数的数结合得到乘积1，简化计算 ▌例1的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： ▌例2计运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌对点练1-1计算： 【答案】 【详解】解：原式 ▌对点练1-2用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． ▌对点练1-3用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 题型 倒数与相反数的综合应用 解题贴士 牢记核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0；互为倒数的两个数乘积为1，即若m、n互为倒数，则mn=1，0没有倒数；绝对值等于正数a的数有两个，为±a 解题时先根据题目条件写出对应等式，再整体代入所求代数式计算，不需要求出每个字母具体的值 注意1和-1的倒数是本身，0的相反数是本身，这些特殊性质常作为隐含条件考查 ▌例1 5的倒数的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出5的倒数，再求该倒数的相反数即可得到结果． 【详解】解：5的倒数是，的相反数是， 因此5的倒数的相反数是． ▌例2的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D．2020 【答案】B 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， ∴的倒数的相反数是． ▌对点练1-1一个数的相反数是，那么这个数的倒数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一个数的相反数是， ∴这个数为． ∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． ▌对点练1-22025的倒数的相反数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，掌握相应知识是解题的关键． 先求2025的倒数，再求其相反数． 【详解】解：2025的倒数是，的相反数是． 故答案为：． ▌对点练1-3如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 【答案】 【分析】根据相反数定义求出的值，再依据倒数定义计算的倒数． 【详解】解：如果a和2025是互为相反数，，那么a的倒数是． 题型 有理数运算的实际应用 解题贴士 解题第一步：设定正方向，将实际情境中的量转化为带符号的有理数，例如盈利记为正，亏损记为负；上升记为正，下降记为负 根据题意列出对应的乘除算式，计算后结合实际意义解释结果的含义 注意单位换算，题目中如果单位不一致要先统一单位再计算 ▌例1《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． ▌例2在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先计算每小时两个时钟的总时间差，再根据当前两个时钟的时间差得到从调整到现在经过的实际时长，再结合快钟的误差算出当前实际时间，最后倒退得到调整时钟的时间。 【详解】解：∵快钟每小时比标准时间快1分钟，慢钟每小时比标准时间慢2分钟 ∴每经过1小时，快钟比慢钟多走分钟 ∵现在两个时钟显示时间相差分钟 ∴从调整时钟到现在一共经过了小时 ∵显示时间更早的是慢钟，显示的是快钟，20小时一共快了分钟 ∴当前实际时间为分钟 ∵调整时间是20小时前的标准时间， ∴调整时间为 小时． ▌对点练1-1某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． ▌对点练1-2某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． ▌对点练1-3张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 题型 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题贴士 1. 先定符号：数轴原点左侧的数为负，右侧为正，原点是0，快速判断每个字母正负。 2. 比绝对值大小：看点到原点的远近，离原点越远，数字绝对值越大，用来判断两数和、差的符号。 3. 判断和差正负：正数绝对值大则和为正，负数绝对值大则和为负；减法转化为加相反数再判断。 4. 乘除快速判定：两数异号相乘除结果为负，同号相乘除结果为正。 ▌例1如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． ▌例2如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由数轴可知，，，，，故选项A，C，D错误，不符合题意． 选项B正确，故选B． ▌对点练1-1实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． ▌对点练1-2如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 题型 数轴上的翻折 解题贴士 1. 先找翻折中心点：两点重合时，中点＝两数之和÷2，这是翻折题核心等式。 2. 利用距离相等列算式：翻折后对应点到中点的距离完全相同，据此列方程求未知数。 3. 多层连续翻折分步算：每次翻折单独求一次中点，逐步推导目标点对应的数字。 4. 快速验算：算出结果后，对比两点与中点的距离，相等则答案正确。 ▌例1已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的折叠问题，找出对折的中心是解题的关键． 根据折叠的性质，先找出中心，再根据对称关系，可以确定与表示数3的点重合的点． 【详解】解：折叠纸面，数轴上表示数的点与表示数0的点重合， 折叠的中心是， 设点A所表示的数为x， 则， ， 即点A所表示的数为， 故选：A． ▌例2一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的位置变化规律，通过分析得出规律每翻转次，点就会落在数轴上，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 将长方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转次，点首次落在数轴上的点对应的数为，当点第二次落在数轴上时，其对应的点是，对应的数是，而，以后，每翻转次，点就会落在数轴上， 翻转2018次后，点会第次落在数轴上， 故翻转2018次后，点所对应的数是， 故选：D． ▌对点练1-1若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． ▌对点练1-2如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． ▌对点练1-3如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 基础通关 1．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 3．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 5．甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：∵速度公式为， ∴甲的速度 米/秒， 乙的速度 米/秒． ∵，即， ∴甲的速度比乙快． 6．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 7．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 8．3.5的倒数是_______． 【答案】 【详解】解：，且， 的倒数是． 9．计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．计算： ______． 【答案】 【详解】解：. 11．计算：； 【答案】14 【分析】利用乘法分配律展开原式，再按照有理数乘法和加减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 12．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 14．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准， 超出或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下表：若每袋标准质量为， 则这批样品的总质量是多少？ 与标准质量的差值（单位：） 0 1 袋数（单位：袋） 1 4 3 4 5 3 【答案】这批样品的总质量是 【分析】先根据表格中的数据计算差值的总和，再结合标准质量计算总质量即可． 【详解】解： ， ∵每袋标准质量为， ∴样本总质量为． 答：这批样品的总质量是． 15．某市出租车以内起步价10元，行驶以后，每千米收费1.2元（不足按计）．李想乘坐出租车下车时付给司机16元，他乘坐出租车最远行驶了多少千米？ 【答案】9千米 【分析】用超出起步价的费用除以每千米的费用求出超出部分的行程再加上起步行程，即可. 【详解】解：. 答：最远行驶了9千米. 素养提升 1．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 2．能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 【答案】A 【分析】因为，且2和3互质，所以能被6整除的数需要同时满足能被2整除和能被3整除，根据能被2、3整除的数的特征即可判断选项． 【详解】解：∵，2和3互质， ∴能被6整除的数需同时被2和3整除． 根据能被2整除的数的特征，个位为偶数才能被2整除． 选项中只有A选项222的个位是偶数，B，C，D的个位均为奇数，都不能被2整除，因此排除B，C，D． ∵222各位数字和为，6是3的倍数， ∴222能被3整除． 因此222同时满足被2和3整除，即能被6整除． 3．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【答案】B 【分析】观察数轴得：，可得，再根据有理数的除法法则解答即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴，即的值是正数． 5．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 【答案】 【详解】解：设原来的观众人数为，原来票价为元，则原来总收入为元， 降价后观众增加一半，因此降价后的观众人数为： 收入增加五分之一，因此降价后的总收入为：元， 可得降价后的门票单价为：元， 因此降价金额为：元． 6．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 7．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 8．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．计算： 【答案】 【详解】解： ． 10．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 迁移创新 1．计算 【答案】 【分析】观察题干，找到规律，可得中间的相同数据两两结合进行加减，即可将原式化为，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 2．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $