重难点专题07 利用二次函数解决实际问题（7大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题07 利用二次函数解决实际问题 重难点一 解决增长率有关问题 1.找准基础量、增长率、增长次数，套用通用增长模型列函数解析式； 2.单次增长后量=基础量×(1+增长率)，连续两次增长用二次函数 ，下降问题替换为减号； 3.自变量x为增长率，默认取值范围，结果需符合实际百分率逻辑； 4.求最值时结合取值范围，优先判断顶点是否在定义域内，不在则取端点值； 5.审题区分 “增长到” 和 “增长了”，避免基数计算错误。 1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 2． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 3．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 4．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 重难点二 销售利润问题 1.牢记核心公式：总利润=单件利润×销售数量，以此为基础搭建二次函数关系式； 2.单件利润=售价-进价，涨价则销量减少、降价则销量增加，准确提取价格与销量的变化比例； 3.设未知数优先设每件涨价/降价x元，简化列式计算难度； 4.二次函数开口向下，顶点横坐标为利润最大时的价格调整值； 5.必须验证自变量取值范围，售价不能低于进价、销量不能为负数； 6.题目若有整数销量、定价整数要求，顶点非整数时取临近整数对比最值。 1．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 2．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 3．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键，根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数，进而得出答案． 【详解】解：当有x个房间空闲时，每个房间每天的定价为元，入住了个房间， 根据题意得：． 故答案为：． 4．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 5．某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元 【分析】（1）利润涨价后销售每件获得的利润涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）对称轴为直线，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为42和43，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元． 6．商场某种商品进价20元每件，售价70元每件，平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品定价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件商品降价元，由题意，可列方程为： ． 小红：设每件商品定价为a元，由题意，可列方程为： ． (2)请写出一种完整的解答过程． (3)降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】(1) 小明：；小红： (2) 解：小明的方程：， 整理得，， 解得，，， ∵为了尽快减少库存， ∴每件商品降价元，则每件售价为（元）， ∴每件商品定价为45元时，商场日盈利可达到2000元； 小红的方程：， 整理得，， 解得，，， ∵为了尽快减少库存， ∴每件商品定价为45元时，商场日盈利可达到2000元； (3) 降价元时可获得最大利润，最大利润为元 【分析】（1）小明：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件，由利润等于每件利润乘以销售件数即可列式；小红：设每件商品定价为a元，则每件的利润为元，每件降价为元，结合数量关系即可求解； （2）根据题意，解一元二次方程即可； （3）设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件，设利润为，根据数量关系列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴小明：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件， 列方程为：，即； 小红：设每件商品定价为a元，则每件的利润为元，每件降价为元， 列方程为：； （2）略 （3）解：设每件商品降价元，则商场平均每天可多售出件， ∴每件利润为（元），销售件数为件， 设利润为， ∴， ∵， ∴当时，可获得最大利润， ∴降价元时可获得最大利润，最大利润为元． 重难点三 解决拱桥类问题 1.优先建立平面直角坐标系，常规以拱桥顶点为原点或桥面中点为原点，简化解析式系数； 2.根据图像对称性，快速获取抛物线上已知点的坐标； 3.代入坐标用待定系数法求二次函数解析式； 4.求桥高、桥宽、船只通行高度/宽度时，代入x求y或代入y求x； 5.解题必验实际意义，宽度、高度均为正数，舍去负解； 6.遇到双向通行问题，需取单侧宽度计算，避免整体宽度误判。 1．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 2．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 3．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 4．赵州桥的历史距今已有多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面的宽为米，水面离桥拱顶点的高度米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1)（或） (2)游船能顺利通过赵州桥 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据题意得到，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到，进而联立二次函数的表达式求得交点横坐标，得到横坐标之差，再与游船的宽进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度， ，   设抛物线的解析式为， 将点代入得， 将点代入得：， 解得， （或）； （2）解：水面离桥拱顶点的高度米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上， ， ， 解得：， ，   游船能顺利通过赵州桥． 5．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 6．如图1是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2所示，其下方支架可近似看成一条抛物线的一部分，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离）．以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．抛物线的最高点位于原点处，关于轴对称，且两点之间的距离为． (1)求支架所在抛物线的函数表达式； (2)直线型支架的上端均在台面上，下端均在抛物线上，且两条支架关于轴对称，，已知两点间的距离为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，求支架与的总长度（即求）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线为，把代入计算即可． （2）由两点间的距离为，可得，结合，两条支架关于轴对称，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线为， ∵两点之间的距离为，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离）， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：∵两点间的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵，两条支架关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 重难点四 解决投球类问题 1.明确变量含义：x多为水平移动距离，y为离地竖直高度； 2.抛物线开口向下，顶点对应球飞行的最高点、最远距离； 3.根据题目场景，确定起点坐标（出手点高度）、落点坐标（落地时 y=0）； 4.求最大高度直接算顶点纵坐标，求投掷距离令y=0解正数x； 5.自变量 x≥0，舍去负数解； 6.落地前的高度问题，需限定x在飞行有效区间内； 7.区分 “出手高度”“落地高度”“最高点高度” 三个关键数值，避免混淆。 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 2．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 3．如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 【答案】 【分析】先根据表格中的数据，运用待定系数法求出足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的函数关系式，再根据函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由题意，可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ，解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则被踢出的足球在第落地． 4．综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元 【分析】（1）设与的函数关系式为，把，代入即可求解； （2）设每天获取的利润为元，由题意可得，，根据二次函数图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：设每天获取的利润为元， 由题意得，， ∵该茶叶的日销售量不低于80千克， ∴， 解得， ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元． 5．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 6．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 7．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 【答案】(1)3.2；3.6 (2) (3) 该男生两次投掷试验的最好成绩是10分 【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ，据此可得对应的顶点坐标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案； （2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一次试验中， 时的函数值与 时的函数值相同， ∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ， ∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是 米， 由对称性可得 时的函数值与 时的函数值相同，即 ； （2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为， 设第二次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第二次试验的抛物线的解析式为 ； （3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第一次试验的抛物线的解析式为 ， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， ， ∴第一次试验成绩最好； ， ∴第一次试验成绩为10分， ∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10分． 重难点五 解决喷水问题 1.统一建模思路：水流轨迹为开口向下的抛物线，喷头位置为初始坐标； 2.以地面为x轴、喷头竖直中线为y轴建系，简化计算； 3.顶点为水流最高点，可直接读出最大喷水高度； 4.求喷水最远距离令y=0，求解正根即为水平射程； 5.求特定高度的喷水宽度，代入y值求出两个x值，差值即为宽度； 6.注意喷头离地有固定高度，初始y值不为0，切勿默认原点喷水； 7.实际问题中舍弃地面以下、反向喷水的无效解。 1．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 2．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 4．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形 ，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 【答案】 11 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，，， ， 设抛物线解析式为, 因为抛物线经过C、E、B三点， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 由题意可得点的横坐标为， 把代入抛物线解析式，可得， ， 即手心距水平台面的高度为 5．如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求的长； (2)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (3)若该装置浇灌的最远点为上的点处，求点距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键， （1）根据坡比，可得，设，则，利用勾股定理列方程即可求出的长； （2）由（1）可得点A的坐标，由题意设抛物线的表达式为，代入点A的坐标即可求得抛物线的解析式； （3）由（1）可得点A，点B的坐标，设直线的解析式为，由点A，点B的坐标求得直线的解析式，再由点C是直线和抛物线的交点，联立抛物线与直线的解析式并求解，求出点C的横坐标即可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴长为． （2）解：由（1）可得点A的坐标为， 由题意设抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为． （3）解：由（1）可得点A，点B的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 将点，点代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立和， 解得，， ∴点C的横坐标为， 答：点C距出水口的水平距离为． 6．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 7．项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 重难点六 解决几何图形问题 1.核心思路：用含x的代数式表示图形的边长、底、高、半径等关键量； 2.结合矩形、三角形、圆形、梯形面积/周长公式，推导二次函数解析式； 3.面积问题多为求最值，周长限定条件下分析边长取值范围； 4.自变量必须满足边长大于0，多个边长需同时符合正数条件，取公共取值范围； 5.图形裁剪、拼接题型，找准不变量和变化量，以变化边长设未知数； 6.开口方向决定最值，开口向上有最小面积，开口向下有最大面积。 1．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 2．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 3．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 4．如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、二次函数的性质，设，正方形的边长为，根据矩形的性质可得，再由勾股定理并结合正方形的性质可得，求出，从而可得，最后结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，正方形的边长为， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴当时，阴影部分面积最小为， 故答案为：． 5．如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；自变量的取值范围是； (2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标，从而得到自变量x的取值范围； （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：； （2）解：由（1）知，， ∴当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 6．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)自行车车棚面积最大可达到，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）解： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 7．把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； （3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 重难点七 二次函数在动态几何中的应用 1.先标记动点运动速度、运动时间t，用速度×时间表示动点移动的线段长度； 2.结合几何图形性质（直角、平行、相似、全等），转化出动态边长、高的表达式； 3.将几何面积、线段长度、周长转化为关于t的二次函数； 4.严格限定自变量取值范围：动点未超出图形边界，t最小值为0，最大值为动点到达端点的时间； 5.最值求解优先看顶点，顶点t值在定义域内取顶点最值，超出则取区间端点； 6.直角动点、垂直动点题型，可结合勾股定理列方程，联立二次函数求解； 7.多动点问题分别表示各点动态线段，避免变量混淆，统一用时间t为唯一自变量。 1．如图1，在中，，，，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动，当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．时， C． D．时，面积最大 【答案】D 【分析】观察图像可知，当时，点与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，即可判断A选项；根据图像当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ，即可判断C选项；求出S与t的关系式为，根据二次函数的性质即可判断D选项，令，求解后，根据，当时，， 即可判断B选项正确． 【详解】解：观察函数图像可知，当时，点P与点重合， ∵动点均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴， 故A选项正确，不合题意； 由函数图像可知，当时，此时，， 过点作于点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， 故C选项正确，不合题意； 由函数图像可得：当点在上时，的面积有最大值． ∵， ∴， 当时，由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴当时，的面积最大， 故D选项错误，符合题意． 当时，， 解得：或， ∵， ∴当时，， ∴不符合题意； 故B选项正确，不符合题意． 故选：D． 2．如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 4．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是_________． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 5．已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，． (1)求与间的函数关系式，并求的最大值． (2)画出函数的图象． 【答案】(1)当时，有最大值 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式与最值、函数图象的画法，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用正方形的性质和垂直条件证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式，推导出与的函数关系式，最后通过配方法或顶点公式求出二次函数在给定区间内的最大值． （2）根据第（1）小题得到的函数关系式（），选取区间内的若干值，计算对应的值，列出表格，然后在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （）， ∵ ， ∴有最大值， ∴当时，有最大值． （2）解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 函数图象为开口向下的抛物线的一部分，顶点为，过点和，描点并画图，如图所示： 6．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 7．如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数与动点问题，根据题意分类讨论列出函数关系式是解题的关键． （1）分三种情况讨论，即在上，分别根据三角形的面积列出函数关系式即可求解； （2）当时，点在边上，根据（1）中的解析式求解即可； （3）根据题意求得正方形面积的，结合（1）的解析式，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上时，， ； 当点在边上时，， ∴． ∴与的函数关系式为 （2）解：当时，点在边上， ∴， 的面积为． （3）解：正方形的面积为， 当的面积为正方形面积的时，即， ①当时，，解得（不合题意，舍去）， ②当时，，解得， 综上所述，当．面积为正方形面积的时，的值为3． 8．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题07 利用二次函数解决实际问题 重难点一 解决增长率有关问题 1.找准基础量、增长率、增长次数，套用通用增长模型列函数解析式； 2.单次增长后量=基础量×(1+增长率)，连续两次增长用二次函数 ，下降问题替换为减号； 3.自变量x为增长率，默认取值范围，结果需符合实际百分率逻辑； 4.求最值时结合取值范围，优先判断顶点是否在定义域内，不在则取端点值； 5.审题区分 “增长到” 和 “增长了”，避免基数计算错误。 1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 3．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 4．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 重难点二 销售利润问题 1.牢记核心公式：总利润=单件利润×销售数量，以此为基础搭建二次函数关系式； 2.单件利润=售价-进价，涨价则销量减少、降价则销量增加，准确提取价格与销量的变化比例； 3.设未知数优先设每件涨价/降价x元，简化列式计算难度； 4.二次函数开口向下，顶点横坐标为利润最大时的价格调整值； 5.必须验证自变量取值范围，售价不能低于进价、销量不能为负数； 6.题目若有整数销量、定价整数要求，顶点非整数时取临近整数对比最值。 1．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 2．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 3．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． 4．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 5．某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 6．商场某种商品进价20元每件，售价70元每件，平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品定价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件商品降价元，由题意，可列方程为： ． 小红：设每件商品定价为a元，由题意，可列方程为： ． (2)请写出一种完整的解答过程． (3)降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？ 重难点三 解决拱桥类问题 1.优先建立平面直角坐标系，常规以拱桥顶点为原点或桥面中点为原点，简化解析式系数； 2.根据图像对称性，快速获取抛物线上已知点的坐标； 3.代入坐标用待定系数法求二次函数解析式； 4.求桥高、桥宽、船只通行高度/宽度时，代入x求y或代入y求x； 5.解题必验实际意义，宽度、高度均为正数，舍去负解； 6.遇到双向通行问题，需取单侧宽度计算，避免整体宽度误判。 1． 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 2．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 3．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 4．赵州桥的历史距今已有多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面的宽为米，水面离桥拱顶点的高度米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 5．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 6．如图1是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2所示，其下方支架可近似看成一条抛物线的一部分，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离）．以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．抛物线的最高点位于原点处，关于轴对称，且两点之间的距离为． (1)求支架所在抛物线的函数表达式； (2)直线型支架的上端均在台面上，下端均在抛物线上，且两条支架关于轴对称，，已知两点间的距离为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，求支架与的总长度（即求）． 重难点四 解决投球类问题 1.明确变量含义：x多为水平移动距离，y为离地竖直高度； 2.抛物线开口向下，顶点对应球飞行的最高点、最远距离； 3.根据题目场景，确定起点坐标（出手点高度）、落点坐标（落地时 y=0）； 4.求最大高度直接算顶点纵坐标，求投掷距离令y=0解正数x； 5.自变量 x≥0，舍去负数解； 6.落地前的高度问题，需限定x在飞行有效区间内； 7.区分 “出手高度”“落地高度”“最高点高度” 三个关键数值，避免混淆。 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 2．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①；②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米；④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 4．综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 5．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 6．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 7．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）．男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6    从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 重难点五 解决喷水问题 1.统一建模思路：水流轨迹为开口向下的抛物线，喷头位置为初始坐标； 2.以地面为x轴、喷头竖直中线为y轴建系，简化计算； 3.顶点为水流最高点，可直接读出最大喷水高度； 4.求喷水最远距离令y=0，求解正根即为水平射程； 5.求特定高度的喷水宽度，代入y值求出两个x值，差值即为宽度； 6.注意喷头离地有固定高度，初始y值不为0，切勿默认原点喷水； 7.实际问题中舍弃地面以下、反向喷水的无效解。 1．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 4．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形 ，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 5．如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求的长； (2)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (3)若该装置浇灌的最远点为上的点处，求点距出水口的水平距离． 6．综合与实践：问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 7．项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 重难点六 解决几何图形问题 1.核心思路：用含x的代数式表示图形的边长、底、高、半径等关键量； 2.结合矩形、三角形、圆形、梯形面积/周长公式，推导二次函数解析式； 3.面积问题多为求最值，周长限定条件下分析边长取值范围； 4.自变量必须满足边长大于0，多个边长需同时符合正数条件，取公共取值范围； 5.图形裁剪、拼接题型，找准不变量和变化量，以变化边长设未知数； 6.开口方向决定最值，开口向上有最小面积，开口向下有最大面积。 1．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是______． 4．如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________． 5．如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 6．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 7．把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 重难点七 二次函数在动态几何中的应用 1.先标记动点运动速度、运动时间t，用速度×时间表示动点移动的线段长度； 2.结合几何图形性质（直角、平行、相似、全等），转化出动态边长、高的表达式； 3.将几何面积、线段长度、周长转化为关于t的二次函数； 4.严格限定自变量取值范围：动点未超出图形边界，t最小值为0，最大值为动点到达端点的时间； 5.最值求解优先看顶点，顶点t值在定义域内取顶点最值，超出则取区间端点； 6.直角动点、垂直动点题型，可结合勾股定理列方程，联立二次函数求解； 7.多动点问题分别表示各点动态线段，避免变量混淆，统一用时间t为唯一自变量。 1．如图1，在中，，，，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动，当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．时， C． D．时，面积最大 2．如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 4．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是_________． 5．已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，． (1)求与间的函数关系式，并求的最大值． (2)画出函数的图象． 6．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 7．如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 8．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $