第十六章 整式的乘法 暑假预习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 七升八暑假预习讲义 学习目标 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，并能正确进行幂的混合运算； 2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能正确完成整式乘法运算； 3.掌握同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，并能完成整式的除法运算； 4.理解平方差公式，抓住公式的特征，能正确的运用平方差公式进行计算； 5.理解完全平方公式的特征，并能熟练运用公式进行计算. 知识点一、同底数幂的乘法 1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，都是正整数）. 2.同底数幂的乘法法则可推广到三个或三个以上同底数幂相乘：（，，都是正整数）. 3.公式逆用：（，都是正整数）. 4.当底数互为相反数时，可通过转化化为同底数幂再运算，当是奇数时，；当是偶数时，.如可将转化为后再计算. 【例1】计算下列各题. （1）； （2）； （3）； （4）. 【例2】若，，则的值为_________. 【变式1】计算下列各题，直接写得数. （1）________； （2）________； （3）__________； （4）________； （5）________； （6）__________. 【变式2】若，则__________. 知识点二、幂的乘方与积的乘方 1.幂的乘方，底数不变，指数相乘.即（，都是正整数）. 2.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即（是正整数） 3.推广： （1）（，，都是正整数）； （2）（是正整数）. 4.公式的逆用：. 5.易混辨析： （1）（同底数幂相乘，指数______）； （2）（幂的乘方，指数_______）. 【例3】计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【例4】已知，，求的值. 【变式3】计算下列各题，直接写得数： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式4】计算的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 知识点三、单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【例5】计算下列各题. （1）； （2）； （3）； （4）. 【例6】已知，求的值. 【变式5】计算下列各题，直接写得数. （1）__________； （2）__________； （3）____________； （4）____________. 【变式6】一个长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，求这个长方体的体积. 知识点四、单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 【例7】计算下列各题. （1）； （2）； （3）； （4） 【例8】先化简，再求值：，其中. 【变式7】一个长方形的长为米，宽为米，求这个长方形的面积. 【变式8】已知，求的值. 知识点五、多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【例9】计算下列各题. （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式9】先化简，再求值：，其中，. 【变式10】已知，求和的值. 知识点六、整式的除法 1.同底数幂相除，底数不变，指数相减.即（，、为正整数，且）. 2.任何不等于0的数的0次幂都等于1.即1（）. 3.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 4.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【例10】计算下列各题. （1）； （2）； （3）； （4）. 【例11】已知，. （1）求的值；（2）求的值. 【变式11】一个长方形的面积为，已知它的宽为. （1）求这个长方形的长（用含、的式子表示）； （2）若，，求此时长方形的周长. 知识点七、平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.. 注意： 1.公式中的和既可以表示一个数或一个字母，也可以表示一个多项式. 2.运用平方差公式计算的关键是：正确识别公式中的（“相同项”）和（“相反项”），结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方，即. 【例12】计算下列各题. （1）； （2）；   （3）； （4）.   【例13】用平方差公式简便计算. （1）； （2）； （3）. 【变式12】先化简，再求值：，其中，. 知识点八、完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【例14】利用完全平方公式计算. (1)； (2)； (3)； (4). 【例15】已知，，求和的值. 【变式13】计算下列各式. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式14】若是一个完全平方式，则的值为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 综合测评 1.下列各式中，计算结果为的是（ ） A.   B.   C.   D. 2.下列计算正确的是（ ） A.　　　 B. C.　 D. 3.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A.  B. C. D. 4.若，则、的值分别为（ ） A.，　　　 B.， C.，　　　 D.， 5.计算的结果是（  ） A.   B.   C.   D. 6．若m是大于0的整数，则（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是（　　） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 7.计算的结果是（  ） A.1   B.2027   C.2026   D.4053 8．若a16＝（a8）m＝a4•an，则（　　） A．m＝8，n＝4 B．m＝8，n＝12 C．m＝2，n＝12 D．m＝2，n＝4 9．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+2bm+bn． 你认为其中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 10.已知 ，，，则 、、 的关系正确的是（　 ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 11.计算：. 12.一个正方体的棱长为毫米，用科学记数法表示它的体积是______立方毫米. 13.已知、满足，且，则. 14.规定新运算：，则______． 15.若是一个完全平方式，则______． 16.已知，，则的值为______． 17．若x+m与1﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．2 18.现有、、三种型号的卡片，型是边长为的正方形，型是长为、宽为的长方形，型是边长为的正方形.要拼成一个面积为的大长方形，则需要型卡片______张. 19．计算： （1）a3•a+(﹣a2)3÷a4； （2）(﹣a）7•(﹣a2)+(3a4)3÷3a3； （3）(﹣x+2y)(﹣2y﹣x)﹣2y(x﹣2y)+2xy； （4）． 20.先化简，再求值： （1），其中，. （2），其中，． 21.小马虎同学在计算时，误将看成了，结果得．已知，求： （1）多项式； （2）的正确结果． 22.云南普洱茶厂要将一批茶叶装箱，每个箱子的底面是边长为的正方形.现改进设计，将底面一边增加，另一边减少，得到一个新的长方形底面. （1）新底面的面积是多少？（用含、的式子表示） （2）新底面与原来的正方形底面相比，面积变化了多少？ （3）当，时，面积变化了多少？ 23．解决下列问题： （1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知3a＝2，9b＝4，求33a+2b的值． 24．阅读理解题： 材料一：比较、、的大小． 解：，，，且， ． 材料二：比较和的大小． 解：，且，，即． 请根据以上方法解决下列问题： （1）比较、、的大小； （2）比较与的大小． 25.阅读材料：若，求、的值. 解： ， ， ， 请参照上述方法，解决下列问题： (1)已知，求、的值. (2)已知的三边长、、满足，试判断的形状. 26．【知识生成】 （1）利用图①﹣1，图①﹣2中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：　 　 ，　 　 ； 【直接应用】 （2）已知：a+b＝5，ab＝3，求a2+b2和（a﹣b）2的值； 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形ABCD是长方形，分别以AD，DC为边向外作正方形ADEF和正方形DCGH，若AH＝9，两正方形的面积和为57，求长方形ABCD的面积． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 知识点一 同底数幂的乘法 【例1】计算下列各题 (1) 解析： (2) 解析： (3) 解析：，所以原式 (4) 解析：，，原式 【例2】若 ，，则 的值为_________. 解析： 【变式1】计算下列各题，直接写得数. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2】若 ，则 __________. 解析：，所以 ，即 ，解得 答案： 知识点二 幂的乘方与积的乘方 易混辨析： (1) （同底数幂相乘，指数相加） (2) （幂的乘方，指数相乘） 【例3】计算下列各题 (1) 解析： (2) 解析： (3) 解析： (4) 解析：，，原式 (5) 解析：，， 原式 【例4】已知 ，，求 的值 解析： 【变式3】计算下列各题，直接写得数 (1) (2) (3) (4) (5) （注：两项不是同类项，不能合并） 【变式4】计算 的结果是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 答案：B 知识点三 单项式乘以单项式 【例3】计算下列各题 (1) 解析： (2) 解析：，原式 (3) 解析：，，原式 (4) 解析：，，原式 【例4】已知 ，求 的值 解析：左边 ，右边 ，所以 ，，解得 ，，则 答案： 【变式5】计算下列各题，直接写得数 (1) (2) (3) (4) 【变式6】一个长方体的长、宽、高分别为 厘米、 厘米、 厘米，求这个长方体的体积 解析：体积 （立方厘米） 答案： 立方厘米 知识点四 单项式乘以多项式 【例7】计算下列各题 (1) 解析： 答案： (2) 解析： 答案： (3) 解析： 答案： (4) 解析： 答案： 【例8】先化简，再求值：，其中 解析：化简： 代入 ： 答案： 【变式7】一个长方形的长为 米，宽为 米，求这个长方形的面积 解析：面积 （平方米） 答案： 平方米 【变式8】已知 ，求 的值 解析：由 得 。 化简： 由 无法直接求出 ，但 ，结合 ，代入得： 又 ，所以 注意：由于条件仅给出 ，即 ， 或 。 当 时，；当 时，。 结果不唯一，原题条件不足以确定唯一值，但可化简后代入求解。 更简便的做法： 由 得 由 得 ， 或 。 时，原式 时，原式 答案： 或 知识点五 多项式乘以多项式 【例9】计算下列各题 (1) 解析： 原式 答案： (2) 解析： 原式 答案： (3) 解析： 答案： (4) 解析： 答案： 【变式9】先化简，再求值：，其中 ， 解析：化简： 原式 代入 ，： 答案： 【变式10】已知 ，求 和 的值 解析：，所以 ， 答案：， 知识点六 整式的除法 【例10】计算下列各题 (1) 解析： 答案： (2) 解析：， 原式 答案： (3) 解析：，， 原式 答案： (4) 解析：由例7(4)得 原式 答案： 【例11】已知 ， (1) 求 的值 解析： 答案： (2) 求 的值 解析： 答案： 【变式11】一个长方形的面积为 ，已知它的宽为 (1) 求这个长方形的长（用含 、 的式子表示） 解析：长 答案： (2) 若 ，，求此时长方形的周长 解析：长 宽 周长 答案： 知识点七 平方差公式 【例12】计算下列各题 (1) 解析： 答案： (2) 解析： 答案： (3) 解析： 答案： (4) 解析： 答案： 【例13】用平方差公式简便计算 (1) 解析： 答案： (2) 解析： 原式 答案： (3) 解析： 原式 答案： 【变式12】先化简，再求值：，其中 ， 解析：化简： 原式 代入 ，： 答案： 知识点八 完全平方公式 【例14】利用完全平方公式计算 (1) 解析： 答案： (2) 解析： 答案： (3) 解析： 答案： (4) 解析： 答案： 【例15】已知 ，，求 和 的值 解析： ① ② ① - ②得：，所以 ① + ②得：，所以 答案：， 【变式13】计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【变式14】若 是一个完全平方式，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：，所以 答案：C 综合测评 答案与解析 1. 下列各式中，计算结果为 的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：A: ，B: ，C: ，D: 答案：A 2. 下列计算正确的是（　） A. 　　　B. C. 　　D. 解析：A: ，B: ，C正确，D: ，也正确。但单选题中C和D都正确，题目可能有误，按常规选D。 修正分析：C: 正确。D: 正确。两个都正确时，选C或D均可，建议选择C。 答案：C 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　） A. 　　B. C. 　　D. 解析：平方差公式 ，需要两项符号相同、两项符号相反。 A: 两项完全相同，是和平方；B: ，是完全相同的项；C: ，是完全相同的项；D: ，符合平方差公式。 答案：D 4. 若 ，则 、 的值分别为（　） A. ，　　　B. ， C. ，　　　D. ， 解析： 所以 ，，解得 ， 答案：A 5. 计算 的结果是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：， 答案：A 6. 若 是大于0的整数，则 一定是（　） A. 的倍数　　B. 的倍数　　C. 的倍数　　D. 的倍数 解析： 因为 是大于0的整数，所以 一定是4的倍数。 答案：A 7. 计算 的结果是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 答案：D 8. 若 ，则（　） A. ，　　B. ，　　C. ，　　D. ， 解析：，所以 ，。 ，所以 ，。 答案：C 9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ① ；② ；③ ；④ 。 你认为其中正确的有（　　） A. ①②　　B. ③④　　C. ①②③　　D. ①②③④ 解析：长方形长 ，宽 ，面积 ，①正确。 展开①：，②正确。 也等于 ，③正确。 展开③：，④中 应为 ，所以④错误。 答案：C 10. 已知 ，，，则 、、 的关系正确的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：，所以 ，即 答案：A 11. 计算： __________ 解析： 答案： 12. 一个正方体的棱长为 毫米，用科学记数法表示它的体积是______立方毫米 解析：体积 （立方毫米） 答案： 13. 已知 、 满足 ，且 ，则 __________ 解析：，代入 ，得 ，所以 答案： 14. 规定新运算：，则 ______ 解析： 答案： 15. 若 是一个完全平方式，则 ______ 解析：，完全平方式的形式为 ，所以 ，即 答案： 16. 已知 ，，则 的值为______ 解析： 答案： 17. 若 与 的乘积中不含 的一次项，则实数 的值为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 不含 的一次项，即 ， 答案：A 18. 现有 、、 三种型号的卡片，要拼成一个面积为 的大长方形，则需要 型卡片______张 解析： 其中 型卡片是边长为 的正方形，对应 项，系数为 ，所以需要 张 型卡片。 答案： 19. 计算： (1) 解析：， 原式 答案： (2) 解析： 原式 答案： (3) 解析： 原式 答案： (4) 解析： 答案： 20. 先化简，再求值： (1) ，其中 ， 解析：化简：，， 原式 代入 ，： 答案： (2) ，其中 ， 解析： 原式 代入 ，： 答案： 21. 小马虎同学在计算 时，误将 看成了 ，结果得 。已知 ，求： (1) 多项式 解析：，即 所以 答案： (2) 的正确结果 解析： 答案： 22. 云南普洱茶厂要将一批茶叶装箱，每个箱子的底面是边长为 的正方形。现改进设计，将底面一边增加 ，另一边减少 ，得到一个新的长方形底面。 (1) 新底面的面积是多少？（用含 、 的式子表示） 解析：新底面长 ，宽 面积 答案： (2) 新底面与原来的正方形底面相比，面积变化了多少？ 解析：原面积 ，新面积 ，减少了 答案：面积减少了 (3) 当 cm，cm 时，面积变化了多少？ 解析：面积减少了 （平方厘米） 答案：减少了 平方厘米 23. 解决下列问题： (1) 已知 ，求 的值 解析：，所以 答案： (2) 已知 ，，求 的值 解析： 答案： 24. 阅读理解题： (1) 比较 、、 的大小 解析： 因为 ，所以 答案： (2) 比较 与 的大小 解析： 因为 ，所以 答案： 25. 阅读材料，解决下列问题： (1) 已知 ，求 、 的值 解析： 因为 ，，所以 ， 解得 ， 答案：， (2) 已知 的三边长 、、 满足 ，试判断 的形状 解析： 两边乘以2得： 移项得： 整理得： 即 因为 ，， 所以 ，， 即 所以 是等边三角形 答案：等边三角形 26. 【知识生成】 (1) 利用图①-1，图①-2中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式： 解析：图①-1：边长为 的正方形面积 = （完全平方和公式） 图①-2：（平方差公式） 答案：； (2) 已知 ，，求 和 的值 解析： 答案：， (3) 如图②所示，四边形 是长方形，分别以 ， 为边向外作正方形 和正方形 ，若 ，两正方形的面积和为 ，求长方形 的面积 解析：设 ，，则 两正方形面积和 ，即 所以 ，， 长方形 的面积 答案： 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $