精品解析：湖北省孝感市云梦县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度下学期期末学情调研 七年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 的绝对值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先根据立方根的定义计算的值，再根据绝对值的性质求解结果． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ 正数的绝对值是它本身， ∴ ． 2. 在下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解一批灯管的平均使用寿命，选择全面调查 B. 为了解全国中小学生每天运动的时间，选择抽样调查 C. 为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解超市售卖的草莓农药残留是否超标，选择全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】当调查具有破坏性，或调查范围广，工作量大时选择抽样调查，当调查要求精度高，意义重大，无破坏性时选择全面调查． 【详解】解：A．测试灯管使用寿命具有破坏性，因此A选项应选择抽样调查，A不合理； B．全国中小学生数量多，调查范围大，适合抽样调查，因此B选项合理； C．神舟飞船设备零件质量关乎飞行安全，每个零件都需检测，因此应选择全面调查，C不合理； D．检测草莓农药残留具有破坏性，且草莓数量大，因此应选择抽样调查，D不合理． 3. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练学握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A．，不能判定，故本选项不符合题意； B、如图： ，， 则（内错角相等，两直线平行），故本选项符合题意； C．，则（内错角相等，两直线平行），不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题总； 故选：B． 4. 如图，不等式组的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：D． 5. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 零没有平方根 B. 相等的角是对顶角 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据平方根定义，对顶角性质，平行线的基本性质，绝对值的概念，逐个判断命题真假即可得到结果． 【详解】对于选项A、∵的平方根是，∴“零没有平方根”是假命题； 对于选项B、∵相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截得到的同位角相等，但不是对顶角，∴“相等的角是对顶角”是假命题； 对于选项C、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，，∴，该命题是真命题； 对于选项D、∵若，可得或，例如，满足但，∴“若，则”是假命题． 6. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，A不成立． 选项B，∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴，B不成立． 选项C，∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，C成立． 选项D，∵，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴，D不成立． 7. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再结合顶点在数轴上，且表示的数为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点表示的数为． 8. 如果点在第三象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征，横、纵坐标都为负数，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解不等式得， 结合不等式，可得不等式组的解集为． 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 10. 若关于的不等式组的整数解恰有个，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出第一个不等式的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解恰有个， ∴整数解为和， ∴， 对照选项，只有符合该范围． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 写出一个小于2的正无理数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得，由平移的性质得，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由平移的性质得，， ∴四边形的周长为． 13. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， 将代入方程，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 14. 某样本中数据最大值是，最小值是．取组距为，则该样本可以分为________组． 【答案】8 【解析】 【分析】先用最大值减去最小值得到极差，再用极差除以组距，结果用进一法取整得到组数． 【详解】解：由题意得，样本数据的极差为， 因为组距为，则， 根据进一法取整，可得该样本可以分为组． 15. 光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，依此类推， （1）经过第次全反射到达，则的坐标为________； （2）经过第（为正整数）次全反射到达，则的坐标为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据点的下标的情况，得出点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：（1），，，， 下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的横坐标依次增加， ，即； （2）为正整数， 为奇数，且当时，，即的横坐标为首项， 又下标为奇数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解答下列各题 （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于二元一次方程组： 因为方程①中的系数是，方程②中的系数是，存在倍数关系，所以可以选择加减消元法，将方程①乘2后与方程②相加，消去，先求解，再代入任意方程求解． （2）对于一元一次不等式组： 先分别求解两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：，得， ③ ②③，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴这个方程组的解为：． 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． （1）求长方形的周长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出两个正方形的边长分别为，，从而可得长方形的长为，宽为，再由长方形的周长公式计算即可得出结果； （2）由（1）可知阴影长方形的长为，宽为，再由长方形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为； 【小问2详解】 解：由（1）可知阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． 18. 七年级举办简牍文化知识竞赛，共有道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，如果规定初赛成绩超过80分晋级决赛，那么初赛至少要答对多少道题才能成功晋级？ 【答案】初赛至少要答对道题才能成功晋级． 【解析】 【分析】设初赛答对了道题，根据题意得出不等式，解答即可． 【详解】解：设初赛答对了道题， 由题意得，， 解得， 由应为正整数，可知的最小正整数值为． 答：初赛至少要答对道题才能成功晋级． 19. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移，得到三角形，其中点的坐标为． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）画出平移后的三角形； （3）三角形的面积是________． 【答案】（1），； （2）如图即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而即可得出结果； （2）根据点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，画图即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：∵三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移，得到三角形，其中点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：三角形的面积是． 20. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为A（），B（），C（），D（）四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形图和扇形图，结合上述信息回答以下问题： （1）这次一共调查了________名学生，扇形图中A组对应扇形的圆心角的度数为________； （2）把条形图补充完整； （3）若这所学校共有名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有多少人？ 【答案】（1），； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以其所占百分比即可解答； （2）C组人数为：（人），A组人数为：（人），据此补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意和图可得，这次一共调查的学生有：（名）， C组人数为：（人）， 故A组人数为：（人）， 扇形图中A组对应扇形的圆心角的度数为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， ∴估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有人． 21. 如图，已知，，交于点． （1）求证：； （2）若，，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ，， 平分， ， ， ， ， ． 22. 某汽车销售公司计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售，已知购进辆甲型号新能源汽车、辆乙型号新能源汽车共需万元；购进辆甲型号新能源汽车、辆乙型号新能源汽车共需万元． （1）问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司计划用不超过万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共辆，其中甲型号汽车的数量不低于乙型号汽车数量的，则共有几种购车方案？ （3）若该汽车销售公司每销售辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售辆乙型号新能源汽车可获利万元，现公司准备再用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车可全部售出，那么本次如何购进才能利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种型号汽车每辆进价分别为万元、万元； （2）共有种购车方案； （3）应购买甲型号汽车辆，乙型号汽车辆，获利最大，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）设甲型号汽车每辆进价为万元，乙型号汽车每辆进价为万元，由题意建立二元一次方程组求解； （2）设购买型号汽车辆，则购买型号汽车为辆，根据题意建立不等式组求解即可； （3）设购买甲型号的汽车辆，乙型号的汽车辆，然后建立二元一次方程，求解其正整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲型号汽车每辆进价为万元，乙型号汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：甲、乙两种型号车每辆进价分别为万元、万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型号汽车辆，则购买乙型号汽车为辆，依题意 可得， 解得， 为正整数， 或或或， 共有种购车方案； 【小问3详解】 解：设购买甲型号的汽车辆，乙型号的汽车辆， 由题意可得，且，为正整数， ， 解得或， 当购买甲型号汽车辆，乙型号汽车辆；获利润为：（万元）， 当购买甲型号汽车辆，乙型号汽车辆，获利润为：（万元）， 由上可得，应购买甲型号汽车辆，乙型号汽车辆，获利最大，最大利润为万元． 23. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“和谐解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“和谐解”． （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“和谐解”________（直接填写序号） ①，②，③； （2）若是方程组与不等式的“和谐解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“和谐解”，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解方程得到解，再把分别代入三个不等式（组），判断是否同时成立，成立即为“和谐解”； （2）先解二元一次方程组，用含的式子表示，再代入不等式，解关于的不等式得到取值范围； （3）先解方程用含表示，结合得到的取值范围；再解不等式，根据“方程所有解都是不等式的和谐解”，即方程解的全部范围包含于不等式解集，列参数不等式求． 【小问1详解】 解：解方程： ， ， ， ①代入：左边，右边，得，不成立； ②代入：，成立； ③解不等式组， 解得； 解得，解集，在解集内，成立． 综上，填②③． 【小问2详解】 解：是方程组与不等式的“和谐解”， ， 解得， ， 解得； 【小问3详解】 解：当时，方程的解都是此方程与不等式的“和谐解”， 解， 得， 由解得． ∵， ， 即． 方程的解都是此方程与不等式的“和谐解”， ， 解得． 24. 如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分． （2）若，如图2摆放时，求的度数． （3）若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． （4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 【答案】（1）见解析； （2）的度数为； （3）； （4）绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．． 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质、平行公理推论、角平分线的定义、旋转的定义，解题的关键是利用平行线性质添加辅助线，对于第（4）题的解答要注意分情况讨论． （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别作出相应图形辅助线，结合平行线的性质及一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：设旋转时间为t秒， 由题意得每秒转，旋转时间为秒， 分三种情况： ①当时，如图，此时， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图，延长交于K，延长交于R， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末学情调研 七年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 的绝对值等于（ ） A. B. C. D. 2. 在下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解一批灯管的平均使用寿命，选择全面调查 B. 为了解全国中小学生每天运动的时间，选择抽样调查 C. 为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解超市售卖的草莓农药残留是否超标，选择全面调查 3. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，不等式组的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 零没有平方根 B. 相等的角是对顶角 C. 若，，则 D. 若，则 6. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如果点在第三象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组的整数解恰有个，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 写出一个小于2的正无理数是______． 12. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________． 13. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值为________． 14. 某样本中数据最大值是，最小值是．取组距为，则该样本可以分为________组． 15. 光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，依此类推， （1）经过第次全反射到达，则的坐标为________； （2）经过第（为正整数）次全反射到达，则的坐标为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解答下列各题 （1）解方程组： （2）解不等式组： 17. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． （1）求长方形的周长； （2）求图中阴影部分的面积． 18. 七年级举办简牍文化知识竞赛，共有道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，如果规定初赛成绩超过80分晋级决赛，那么初赛至少要答对多少道题才能成功晋级？ 19. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移，得到三角形，其中点的坐标为． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）画出平移后的三角形； （3）三角形的面积是________． 20. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为A（），B（），C（），D（）四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形图和扇形图，结合上述信息回答以下问题： （1）这次一共调查了________名学生，扇形图中A组对应扇形的圆心角的度数为________； （2）把条形图补充完整； （3）若这所学校共有名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有多少人？ 21. 如图，已知，，交于点． （1）求证：； （2）若，，平分，求的度数． 22. 某汽车销售公司计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售，已知购进辆甲型号新能源汽车、辆乙型号新能源汽车共需万元；购进辆甲型号新能源汽车、辆乙型号新能源汽车共需万元． （1）问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司计划用不超过万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共辆，其中甲型号汽车的数量不低于乙型号汽车数量的，则共有几种购车方案？ （3）若该汽车销售公司每销售辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售辆乙型号新能源汽车可获利万元，现公司准备再用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车可全部售出，那么本次如何购进才能利润最大？最大利润是多少？ 23. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“和谐解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“和谐解”． （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“和谐解”________（直接填写序号） ①，②，③； （2）若是方程组与不等式的“和谐解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“和谐解”，求的取值范围． 24. 如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分． （2）若，如图2摆放时，求的度数． （3）若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． （4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $