第2章 有理数（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 新教材苏科版七年级上有理数单元拔尖卷，通过23题（10单选+6填空+7解答）覆盖有理数概念、运算、数轴等核心知识，以真实情境（如干支纪年、时差问题）和创新题型（如除方新定义、幻圆游戏）梯度考查抽象能力、运算能力与推理意识，适配单元复习拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数概念、科学记数法、数字规律|结合河南信阳期末题考查绝对值性质，融入干支纪年法体现文化传承| |填空题|6/18|三阶幻方、新定义运算、时差计算|以地砖排列问题考查几何直观，通过幻圆游戏培养模型意识| |解答题|7/72|数轴应用、除方运算、利润优化|设计“除方”新定义探究（宁夏中卫期中题），结合数轴折叠平移综合考查空间观念与创新意识|

第2章 有理数·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为正数 C．若，则互为倒数 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义、有理数的乘除法法则、绝对值的性质，需根据相关知识点逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A、因为，所以a、b异号且均不为0，根据有理数除法法则，异号两数相除得负，所以，故A说法正确，不符合题意； B、因为，根据绝对值的性质可知，即a为正数或0，并非一定为正数，故B说法错误，符合题意； C、根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因为，所以a、b互为倒数，故C说法正确，不符合题意； D、因为，所以a、b同号且均不为0，根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，所以，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培养皿中约有30亿个A种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用以及科学记数法，解题的关键是根据分裂次数确定细菌数量的变化规律． 先计算2小时内细菌的分裂次数，再根据每次分裂数量翻倍的规律算出最终细菌总数，最后将结果转化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：∵2小时包含的半小时个数为， ∴经过2小时后细菌数量为30亿亿亿． ∵科学记数法要求表示为（，n为整数）， ∴480亿． 故选：D． 4．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 5．（24-25七年级上·重庆大足·月考）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得，结合，可确定x，y的取值，再利用有理数减法法则计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 7．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 8．（25-26七年级上·河北保定·期末）计算时，嘉琪不小心把一个运算符号写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减、解一元一次方程，通过差值分析符号改变的影响，快速定位目标数字． 计算正确算式的结果为，实际得到21，相差36．写错一个运算符号相当于改变某个数字的符号，只有将偶数前的负号改为正号才能使总和增加2倍该数值，从而求得该偶数为18． 【详解】解： ， 实际得到21，差值， 设写错的数字为n，其原本符号为s（n为奇数时，n为偶数时）， 改变符号后，总和变化为． 若n为奇数，，则，（舍去）． 若n为偶数，，则， ∴． ∴写错的是18前面的符号． 故选：D． 9．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达式的最值，再计算的值． 【详解】解：表示数轴上点x到3的距离，表示数轴上点x到的距离． ∴当时，取得最小值， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴． 故选：B 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把1到9这9个数字分别填入如图所示方格中，使得三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中a与b的积为________． a 8 9 5 b 【答案】24 【分析】先根据到的总和求出三阶幻方的幻和，再利用每行、每列、对角线的和等于幻和，依次求出与的值，最后计算与的乘积． 【详解】解：∵，三阶幻方每行三个数之和相等， ∴幻和为． 设左下角的数为， 根据右上到左下对角线的和为幻和，可得：， 解得：． 根据第一列的和为幻和，可得：， 代入，得，解得． 根据左上到右下对角线的和为幻和，可得：， 代入，得，解得． ∴． 12．某公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．则人行道上总共使用_____块三角形地砖． 【答案】124 【分析】观察图形，找出正方形地砖数量与三角形地砖数量之间的规律，即可求解． 【详解】解：由题意可得，三角形地砖数为：（块）， ∴人行道上总共使用块三角形地砖． 13．（25-26九年级上·重庆江北·期末）已知，且，则的值为_____． 【答案】6 【分析】先根据绝对值的非负性由第一个方程确定y的取值范围，进而化简第二个方程中的绝对值，再通过代入消元结合绝对值的分类讨论求解x、y的值，最后计算． 【详解】解：由得，根据绝对值的非负性可知，即，则； 将代入，得，即； 把代入，得； 分两种情况讨论： 1. 当时，，则，解得， 将代入，得， 验证：将，代入原方程，，，均成立， 此时； 2. 当时，，则，移项得，即，等式不成立，此情况舍去． 【点睛】注意分类讨论的思想． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）规定：，．例如，．则的最小值是________． 【答案】5 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．根据题意将表示出来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可． 【详解】解：由定义，，， 故． 此式表示数轴上点到点和点的距离之和． 故当在到之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为． 故答案为：5． 15．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 【答案】或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 16．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 19．（10分）（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 20．（10分）（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 21．（12分）（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，记作，读作“2的圈3次方”， ，记作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ， ． （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 【详解】解：（1），； （2）， ； （3）； （4） 22．（12分）（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 23．（14分）（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的混合运算． （1）根据折痕点的含义列式求解即可； （2）根据折痕点的含义逐步求解最左边的折痕点对应的数即可． （3）设木棒的长度为，可得：，进一步求解即可． （4）由点表示的数为，可得一次跳跃点表示的数为，结合点与点位于点P的两侧，且，可得点是的中点，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是； 如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是． （2）∵点A、B表示的数分别是、4， ∴第一次对折后折痕点对应的数为：， 第二次对折后折痕点对应的数为：， 第三次对折后折痕点对应的数为：， 第四次对折后折痕点对应的数为：， 第五次对折后折痕点对应的数为：， ∴这样连续对折5次后，再将其展开，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为： （3）设木棒的长度为， 由题意可得：， 解得． （4），理由如下： ∵点表示的数为，则一次跳跃点表示的数为， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴点是的中点， ∵点P表示的数分别是， ∴点表示的数为：， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为正数 C．若，则互为倒数 D．若，则 3．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培养皿中约有30亿个A种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆大足·月考）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 7．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 8．（25-26七年级上·河北保定·期末）计算时，嘉琪不小心把一个运算符号写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 9．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把1到9这9个数字分别填入如图所示方格中，使得三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中a与b的积为________． a 8 9 5 b 12．某公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．则人行道上总共使用_____块三角形地砖． 13．（25-26九年级上·重庆江北·期末）已知，且，则的值为_____． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）规定：，．例如，．则的最小值是________． 15．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 16．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 18．（8分）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 19．（10分）（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 20．（10分）（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 21．（12分）（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，记作，读作“2的圈3次方”， ，记作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ， ． （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 22．（12分）（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 23．（14分）（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $