13.1三角形的概念（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形的核心知识点，系统梳理三角形的定义、表示方法、基本要素（边、角、顶点）及分类标准（按角分锐角、直角、钝角三角形，按边分不等边、等腰、等边三角形），构建从具体图形抽象概念到分类应用的学习支架。 资料设计亮点在于“即学即练”即时巩固与“典例精析+变式巩固”分层训练，通过图形识别、分类讨论等培养几何直观与抽象能力，如判断三角形形状题型发展推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 课标要点 1.掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类 2. 经历从具体图形到抽象概念的形成过程，发展几何直观与抽象能力，提高学生的探索能力，分类活动中体会分类讨论思想 3. 感受三角形在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；养成严谨、规范的数学表达习惯，培养主动探究的学习习惯 学习重难点 重点： 掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法 难点： 理解三角形的分类标准（按角分：锐角、直角、钝角三角形；按边分：等边、底边和腰不相等的等腰、不等边三角形） 知识点一 三角形的定义 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 特别提醒 1）三点共线 → 不是三角形 2）曲线、折线围成 → 不是三角形 即学即练 1.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 2.下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 3.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 知识点二 三角形有关概念 三角形的表示方法： 三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”读作“三角形ABC”.△ABC还可记作：△BCA, △CAB, △ACB 三角形的边：AB、AC、BC.（c、b、a) 三角形的顶点：A、B、C. 三角形的内角： ∠ A、 ∠ B、 ∠ C. 特别提醒：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形 即学即练 1.在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2.如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 3.如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)以点C为顶点的三角形是， (2)以为角的三角形是，， (3)以为边的三角形是，， (4)图中的直角三角形是，；等腰三角形是， 【知识点】三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行求解即可； （3）根据三角形的相关定义进行求解即可； （4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形是，； （2）解：以为角的三角形是，，； （3）解：以为边的三角形是，，； （4）解：图中的直角三角形是，；等腰三角形是，． 知识点三 三角形的分类 三角形的分类：按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分类 三角形的分类：按边分 三边都不相等三角形 等腰三角形 等边三角形 按边分 等腰三角形有关概念 相等的两条边都叫腰；另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 特别提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 即学即练 1.如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 3.已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 题型01 三角形的识别 解题贴士 掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键. 典｜例｜精｜析 例1.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1.下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 2.小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 题型02 三角形的边、角和顶点 解题贴士 解题关键是理解三角形的边、角和顶点的概念 典｜例｜精｜析 例2.如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 3.如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【答案】 8 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 4.如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 题型03 数三角形的个数 解题贴士 在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 典｜例｜精｜析 例3. 如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 5.如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 6.如图，图中有________条线段，________个三角形． 【答案】 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、三角形的个数问题 【分析】本题考查数图形中的线段条数、三角形个数、梯形个数问题，掌握规律，不重不漏是解决问题的关键． 根据线段特征、三角形定义及梯形特征，通过数一数，不重不漏找出线段、三角形个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 图中竖着的线段有7条，每条线段上有5个点，则每条线段上共有线段10条， 图中横着的线段有4条，每条线段上有7个点，则每条线段上共有线段21条， 图中有线段条数为； 图中相邻两条竖线构成的三角形有个， 图中相邻三条竖线构成的三角形有个， 图中相邻四条竖线构成的三角形有个， 图中相邻五条竖线构成的三角形有个， 图中相邻六条竖线构成的三角形有个， 图中全部七条竖线构成的三角形有个， 图中有三角形数为； 故答案为：；． 题型04 判断三角形的形状 解题贴士 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 典｜例｜精｜析 例4.在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 变｜式｜巩｜固 7.若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 8. 如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 【答案】 5 2 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：6；2． 题型05 等腰三角形 解题贴士 等腰三角形中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 典｜例｜精｜析 例5.已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 变｜式｜巩｜固 9.已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 10.用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； 【详解】解：设底边长为，则腰长为， 由题意可得，，解得， ∴，即腰长为； 题型06 三角形有关概念辨析 解题贴士 掌握三角形有关概念的解题关键 典｜例｜精｜析 例6.下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类，等腰三角形与等边三角形之间的关系分别对每一项进行分析即可． 【详解】A、三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，选项错误，不符合题意； B、等边三角形是等腰三角形，选项错误，不符合题意； C、等腰三角形不一定是等边三角形，选项错误，不符合题意； D、三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法、等腰三角形与等边三角形之间的关系是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 11.下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类判断即可． 【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确； （2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； （3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误； （4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 故选：A． 【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答 12.下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断． 【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误； 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误； 等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确． 故选：D． 题型07 动点问题 解题贴士 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 典｜例｜精｜析 例7.如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 13.如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 【答案】 3 3或6或10 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据得到求解即可； （2）分类讨论：当点D与顶点A连线平分、当点D与顶点B连线平分、当点D与顶点C连线平分的周长时分别求解． 【详解】解：（1）当点在上运动时， 若，则 解得； （2）∵，，， ∴的周长， 如图，当点D与顶点B连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点C连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点A连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，秒或者6秒或者10秒． 14.如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等腰三角形的定义、列代数式 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 基础通关 1.观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2.如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 4.若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 4.给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断 【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确 （2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误 （3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确 综上所述，正确的结论2个 故选B 【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形 5.如图，以点为顶点的三角形共有__________ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】4个 【知识点】三角形的个数问题 【分析】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，共有个． 6.一个等腰直角三角形的直角边长2分米，这个三角形的面积是________平方厘米． 【答案】200 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的面积公式．根据三角形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：（平方分米） 2平方分米平方厘米 答：这个三角形的面积是200平方厘米． 故答案为：200． 7.如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【答案】5 【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，直角三角形有，共5个， 故答案为：5． 8.已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【知识点】绝对值非负性、三角形的分类 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 9.如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等腰三角形的定义 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 10.如果等腰三角形的腰长和底边分别为5和3，那么它的周长为________． 【答案】22 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为5和3， ∴它的周长为． 11.如图所示． (1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； (2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【答案】(1)5；，，，，；，，；， (2)；；；（） 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素． （1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形． （2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角． 【详解】（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． （2）在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 12.如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 素养提升 1.李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 平移得到，平移距离， ，， ∴四边形是直角梯形，上底，下底，高， ． 2.平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的个数，根据三角形的定义，得到当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：设四个点分别为， 当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，分别为，共4个； 故选B． 3.的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 【答案】 5 4 3 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解： 的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 4.如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是________ 【答案】4 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 5.现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 _____ 个锐角三角形． 【答案】4 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的定义和分类，先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数． 【详解】解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴12个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有个锐角三角形， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形内角和，掌握三角形的分类是解题的关键． 6.如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【知识点】等腰三角形的定义、列代数式、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 迁移创新 1.如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可． 【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形； 如图，当或时，此时三角形为直角三角形； 或 如图，当或时，此时三角形为钝角三角形； 或 如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形； 或或 综上，三角形可能是①②③④． 故选：D． 2.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 课标要点 1.掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类 2. 经历从具体图形到抽象概念的形成过程，发展几何直观与抽象能力，提高学生的探索能力，分类活动中体会分类讨论思想 3. 感受三角形在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；养成严谨、规范的数学表达习惯，培养主动探究的学习习惯 学习重难点 重点： 掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法 难点： 理解三角形的分类标准（按角分：锐角、直角、钝角三角形；按边分：等边、底边和腰不相等的等腰、不等边三角形） 知识点一 三角形的定义 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 特别提醒 1）三点共线 → 不是三角形 2）曲线、折线围成 → 不是三角形 即学即练 1.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2.下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A．B． C． D． 3.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 三角形有关概念 三角形的表示方法： 三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”读作“三角形ABC”.△ABC还可记作：△BCA, △CAB, △ACB 三角形的边：AB、AC、BC.（c、b、a) 三角形的顶点：A、B、C. 三角形的内角： ∠ A、 ∠ B、 ∠ C. 特别提醒：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形 即学即练 1.在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2.如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 3.如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 知识点三 三角形的分类 三角形的分类：按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分类 三角形的分类：按边分 三边都不相等三角形 等腰三角形 等边三角形 按边分 等腰三角形有关概念 相等的两条边都叫腰；另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 特别提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 即学即练 1.如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型01 三角形的识别 解题贴士 掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键. 典｜例｜精｜析 例1.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1.下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2.小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型02 三角形的边、角和顶点 解题贴士 解题关键是理解三角形的边、角和顶点的概念 典｜例｜精｜析 例2.如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 3.如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 4.如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 题型03 数三角形的个数 解题贴士 在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 典｜例｜精｜析 例3. 如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 变｜式｜巩｜固 5.如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 6.如图，图中有________条线段，________个三角形． 题型04 判断三角形的形状 解题贴士 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 典｜例｜精｜析 例4.在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 变｜式｜巩｜固 7.若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 8. 如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 题型05 等腰三角形 解题贴士 等腰三角形中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 典｜例｜精｜析 例5.已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 变｜式｜巩｜固 9.已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 10.用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 题型06 三角形有关概念辨析 解题贴士 掌握三角形有关概念的解题关键 典｜例｜精｜析 例6.下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 变｜式｜巩｜固 11.下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12.下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 题型07 动点问题 解题贴士 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 典｜例｜精｜析 例7.如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 变｜式｜巩｜固 13.如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 14.如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 基础通关 1.观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） A． B． C． D． 2.如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 3.若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4.给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．0 5.如图，以点为顶点的三角形共有__________ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.一个等腰直角三角形的直角边长2分米，这个三角形的面积是________平方厘米． 7.如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 8.已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 9.如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 10.如果等腰三角形的腰长和底边分别为5和3，那么它的周长为________． 11.如图所示． (1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； (2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 12.如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 素养提升 1.李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 2.平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 4.如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是________ 5.现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 _____ 个锐角三角形． 6.如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 迁移创新 1.如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 2.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $