3.6 正多边形与圆（题型专练，4基础2提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“正多边形与圆”为核心，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固，突出几何直观与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|中心角计算、边长与半径关系|直接问答（如正多边形中心角度数填空），夯实概念| |技能应用|面积计算、尺规作图|结合图形的综合计算（如内接正六边形面积），培养空间观念| |综合拓展|动态旋转、跨知识综合|实际情境题（如苯分子结构）及动态问题（旋转2026次坐标），发展应用意识|

3.6 正多边形与圆 题型一 求正多边形的中心角 1．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 2．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【答案】 120 90 60 【详解】解：正三角形边数，中心角为． 正方形边数，中心角为． 正六边形边数，中心角为． 3．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 4．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 题型二 与边长有关的计算 1．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 2．已知圆的内接正四边形的边长为4，则这个圆的内接正六边形的边长为______． 【答案】 【详解】解：连接，，作于，如图所示： 四边形是正四边形， ， 又， ． ， 正六边形如图所示：连接， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 3．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 【答案】8 【详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 4．将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 【答案】/ 【详解】解：连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，连接交于， ∵两个大正六边形的边长均为4， ∴由正六边形对称性可知，， 由正六边形的性质可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由正六边形的性质可知，、、都是正三角形， ∴， 故答案为：． 题型三 与面积有关的计算 1．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 2．如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形面积是2， ∴其边长为：， 如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形， ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ， ∴正八边形的面积为： ， ∴非阴影部分面积是． 故答案为：． 3．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：    由正六边形的对称性可知： ∴是全等的等边三角形 ∴四边形是菱形 同理， ∵ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∵ ∴ 故选：B 题型四 求正多边形的边数 1．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 2．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 3．中心角为的正多边形边数为________． 【答案】5 【详解】解：， 这个正多边形的边数为． 4．如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型一 尺规作图 1．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 正方形如图所示： 2．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】见解析 （1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 3．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 4．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 题型二 正多边形与圆综合 1．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 2．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 【答案】12 【详解】解：如图，标注顶点，连接， ∴由正六边形与正方形的性质可得，， ∴， ∵恰好等于一个正n边形的一个外角， ∴． 3．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 4．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】（1）如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； （2）解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　） A．6≤C≤6 B．3≤C≤3 C．3C≤6 D．3C≤6 【答案】C 【解答】解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的． ∵GK的最大值为3，GK的最小值为， ∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为， ∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3C≤6． 故选：C． 2．已知：线段MN＝a． （1）求作：边长为a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求作的正三角形． （2）如图：分别作CD⊥AB、BE⊥AC于点D、E， CD和BE相交于点O， 点O即为正三角形ABC的内切圆的圆心，OD即为内切圆的半径． ∵AB＝BC＝10， ∴BDAB＝5， ∴CD＝15， 设OD＝x，则OB＝OC＝15﹣x， 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 OB2＝OD2+BD2即（15﹣x）2＝x2+（5）2， 解得x＝5． 答：（1）中正三角形ABC的内切圆的半径为5cm． 3．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）①t＝2s；②t＝0s或4s 【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F， ∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动， ∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t， 在△ABP和△DEQ中， ， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB， ∴四边形PEQB是平行四边形． （2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBQE是菱形时，此时t＝2s． ②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°， ∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°， ∴此时四边形PBQE是矩形． 当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形． 综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形． 故答案为2s，0s或4s． 4．【给出问题】：已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上（除A、B外），试求∠APB的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在⊙O中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）． ②原题中∠APB＝　 　 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接PA、PB、PC、PD，请探究PD、PA、PC三者之间或者PD、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系：　 　 （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，∠APB＝45°，PD＝2，PC＝4，试求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）①作图见解答；②45°．（2），，证明见解析；（3）；（4）． 【解答】解：（1）①如图所示，作直径BD的垂直平分线交⊙O于点A，C，则四边形ABCD是正方形； ②如图所示， ， 故答案为：45°． （2），，证明如下： 如图，过点C作CE⊥PC交PB于E， ∵∠BCE+∠DCE＝∠DCE+∠DCP， ∴∠BCE＝∠DCP， ∵， ∴∠PDC＝∠EBC， 又∵CD＝BC， ∴△PDC≌△EBC（ASA）， ∴PC＝CE， ∴△PCE是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作CF⊥PA交PA于F， 同理可得△PDF是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ， ∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC， 在△ABQ和△CBP中， ， ∴△ABQ≌△CBP（SAS）， ∴BQ＝BP， ∴MP＝QM， 又∵∠APB＝30°， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以AB为边，作正方形AEFB，连接PE，PF，∠APB＝45°， 根据（1）可得P在⊙O上，则APF＝∠90°， ∴EF＝CD＝AB＝PD+PC＝2+4＝6， 设DE＝x，则CF＝DE＝x，AD＝6+x， 在Rt△PDA中，PA2＝AD2+PD2＝（6+x）2+22， 在Rt△PFC中，PF2＝PC2+CF2＝42+x2， 在Rt△APF 中，， ∴（6+x）2+22+42+x2＝72， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形ABCD的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 3. 正多边形与圆 题型一求正多边形的中心角 1.D 2.120 90 60 3. 30° 4.90 题型二与边长有关的计算 1.B 2.2V2 3.8 4.13-1/-1+V13 题型三与面积有关的计算 1.24V3 www.zxxk.com 6正多边形与圆 题型 题型二 基础达标题 题型三 题型四 题型一 能力提升题 题型二 拓展培优题 A 基础达标题 1/3 上好每一堂课 求正多边形的中心角 与边长有关的计算 与面积有关的计算 求正多边形的边数 尺规作图 正多边形与圆综合 命学科网·上好课 2.2+4V2/4V2+2 33 3 2 4.B 题型四求正多边形的边数 1.B 2.B 3.5 4.12 题型一尺规作图 1.见解析 2.见解析 3.(1)作图见解析；(2)作图见解析； 4. (①)见解析(2)见解析 题型二正多边形与圆综合 1.B 2.12 3.12 4.(1)见解析：(2)见解析. www.zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 (3)作图见解析，(4)作图见解析 C 拓展培优题 213 品学科网·上好课 www zxxk .com 1.C 2.见解析 3.(1)见解析；(2)①t=2s;②t=0s或4s 4.(1)①作图见解答：②45°.(2)PB=V2PC+PD,P PA=PC+9V3PB:(4)18+6V17 3/3 上好每一堂课 4=V2PD+PC,证明见解析；(3) 3.6 正多边形与圆 题型一 求正多边形的中心角 1．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 4．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 题型二 与边长有关的计算 1．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．已知圆的内接正四边形的边长为4，则这个圆的内接正六边形的边长为______． 3．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 4．将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 题型三 与面积有关的计算 1．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 2．如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 3．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 4．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 题型四 求正多边形的边数 1．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 2．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 3．中心角为的正多边形边数为________． 4．如图，在正n边形中，，则的值是______． 题型一 尺规作图 1．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 2．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 3．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 4．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 题型二 正多边形与圆综合 1．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 3．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 4．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　） A．6≤C≤6 B．3≤C≤3 C．3C≤6 D．3C≤6 2．已知：线段MN＝a． （1）求作：边长为a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径． 3．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 4．【给出问题】：已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上（除A、B外），试求∠APB的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在⊙O中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）． ②原题中∠APB＝　 　 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接PA、PB、PC、PD，请探究PD、PA、PC三者之间或者PD、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系：　 　 （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，∠APB＝45°，PD＝2，PC＝4，试求矩形ABCD的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $