2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第五章 5.2 5.2.2　导数的四则运算法则

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过目标导航明确课标要求，新知梳理呈现和差积商运算法则，教材拓展补充易错点与拓展公式，搭建从基本导数公式到综合运算的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于注重数学运算与逻辑推理素养，通过小试身手、课堂探究等环节，结合实例如对含三角函数的函数先化简再求导，培养学生运算能力。课堂小结用口诀简化法则记忆，体现数学语言表达。学生能提升运算与推理能力，教师可借助清晰流程和丰富例题提高教学效率。

5.2.2　导数的 四则运算法则 [目标导航] 课标要求 1.了解求导法则的证明过程 2.掌握函数和、差、积、商的求导法则 3.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′= ; (2)[f(x)g(x)]′= ; f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 导数的运算法则的认识 (2)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”. (3)①[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x); ②[cf(x)]′=cf′(x),也就是说,常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积. 小试身手 解析:(xex)′=ex+xex=(1+x)ex. 1.(xex)′=　　　　　　.  (1+x)ex 1 4.函数f(x)=(2x+1)(x2-x-2)的导函数f′(x)=　　　　　　　　.  6x2-2x-5 解析:根据题意,f(x)=(2x+1)(x2-x-2),其导数f′(x)=(2x+1)′(x2-x-2)+(2x+1)· (x2-x-2)′=2(x2-x-2)+(2x+1)(2x-1)=6x2-2x-5. 课堂探究·素养培育 [例1] 求下列函数的导数: 用导数的求导法则求导数 解: (3)y′=(excos x+sin x)′ =(excos x)′+(sin x)′ =(ex)′cos x+ex(cos x)′+cos x =excos x-exsin x+cos x. (3)y=excos x+sin x; (4)y=x3+lg x. 即时训练1-1:求下列函数的导数: (1)y=x3·ex; 解:(1)y′=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex. (3)y=x2+log3x; 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 提醒:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导. 导数运算法则的应用 变式训练2-1:本例的条件不变,求使f′(x)>0成立的x的取值范围. (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键. 当堂即练·素养达成 当堂即练 D 1.设y=-2exsin x,则y′等于(　 　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 解析:因为y=-2exsin x, 所以y′=(-2ex)′sin x+(-2ex)(sin x)′ =-2exsin x-2excos x =-2ex(sin x+cos x). 2.若曲线y=a(x-1)+ln x在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2,则a=(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 3.在高台跳水运动中,某运动员t s时相对于水面的高度(单位:m)是h(t)= -4.9t2+6.5t+10,则该高台跳水运动员在t=1 s时瞬时速度的大小为(　 　) A.11.6 m/s B.1.6 m/s C.3.3 m/s D.4.9 m/s C 解析:根据题意,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,为t s时相对于水面的高度, 其导数h′(t)=-9.8t+6.5, 有h′(1)=-9.8+6.5=-3.3, 则该高台跳水运动员在t=1 s时瞬时速度的大小为3.3 m/s. 课堂小结 导数的四则运算法则应熟练掌握,注意区分“积的导数”和“商的导数”:“积的导数”可简记为“前导后不导+后导前不导”,而“商的导数”运算法则中的分子是“上导下不导-下导上不导”.本节课通过对导数四则运算法则的学习及应用,达成了培养数学运算、逻辑推理素养的目的. 感谢观看 (3)[]′= (g(x)≠0). (1)在两个函数积与商的导数运算中,不能认为[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)以及[]′=. 2.已知函数f(x)=,则f′(1)=　　　　.  解析:因为f′(x)==,所以f′(1)=1. 3.函数y=x-的导数是　　　　　　.  y′=1+ 解析:因为y=x-, 所以y′=1+. (2)y=; (1)y=2x2+-; 解:(1)因为y=2x2+x-1-3·x-3, 所以y′=4x-x-2-3·(-3)x-4=4x-+. 解: (2)y′==. 解:(4)y′=3x2+. (2)y=x-sin cos ; 解: (2)因为y=x-sin x, 所以y′=x′-(sin x)′=1-cos x. 解: (3)y′=(x2+log3x)′ =(x2)′+(log3x)′ =2x+. (4)y=. 解:(4)y′===. [例2] 已知函数f(x)=x++ln x-1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程. 解:f′(x)=,x∈(0,+∞), 因为f′(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+2)=x-2, 即x-y+ln 2=0. 解:f(x)=ln x+x+-1,x∈(0,+∞). 所以f′(x)=,x∈(0,+∞), 因为f′(x)>0, 所以解得x∈(1,+∞). 解析:易知点(1,0)为直线y=2x-2与曲线y=a(x-1)+ln x的公共点,对函数 y=a(x-1)+ln x求导得y′=a+,由已知可得y′|x=1=a+1=2,解得a=1.故选A. 4.对于函数f(x)=+ln x-,若f′(1)=1,则k=　　　　.  解析:因为f′(x)=++, 所以f′(1)=-e+1+2k=1,解得k=. $