第1章 二次函数 单元测试-2026-2027学年浙教版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试，覆盖顶点坐标、图像变换等核心知识点，通过喷泉、茶叶销售等情境设计，融合几何与函数综合应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标、平移、图像性质|基础概念辨析，如抛物线平移方向判断| |填空题|6/18|解析式确定、最值应用|喷泉通道高度计算，体现模型意识| |解答题|8/72|实际问题建模、几何综合|茶叶销售利润分析（数学思维），动点与二次函数最值（创新意识）|

第1章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 9．如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 10．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 12．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 13．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 14．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 15．二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 16．如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 18．（8分）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 19．（8分）已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 20．（8分）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 21．（8分）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 22．（10分）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 23．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质直接得到顶点坐标． 【详解】解： ∴该抛物线的顶点坐标为． 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 3．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 8．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 9．如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 10．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 12．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 13．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 14．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 15．二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数定义得到二次项系数不为0，再根据有两个交点得到判别式大于0，解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 16．如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，设，则，求出的坐标，进而得到，求最值即可. 【详解】解：以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，如图： 则， 设，则，， ∵等腰和等腰， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值为，此时最小为. 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．（8分）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，；（4分） （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0．（8分） 18．（8分）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为；（4分） （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为．（8分） 19．（8分）已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，进行求解即可； （2）求出对应函数值，列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴该函数与x轴的交点坐标为，；（2分） （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 作图如下： （5分） （3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一）（8分） 20．（8分）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为．（4分） （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或．（8分） 21．（8分）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 【答案】(1) 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． (2) 方程的另一个根为 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为．（8分） 22．（10分）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】(1)， (2)80，1600 (3) 【分析】（1)理解题意，设，将分别代入计算求出与的关系式，设每天获取的利润为元，利用每千克成本为60元求出与之间的函数表达式； （2)根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，结合由与之间的函数表达求解； (3) 根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得方程的解，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意设， 将代入得 解得 ∴. 设每天获取的利润为元，每千克成本为60元， ∴.（3分） （2）解：由（1）， 该茶叶的日销量不低于80千克 ∴， ∴， 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴， ∴， ∴， ∵， 抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，每天获取的利润最大， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；（6分） （3）解：由题意，令， ∴， ∵，且， ∴开口向下， 当时，．（10分） 23．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为．（3分） （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴．（6分） （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或．（10分） 24．（12分）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)① 或；② 或 【分析】（1）利用对称轴公式求出b的值，得到抛物线解析式，即可求解抛物线与y轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）①将点代入求解即可；②先求出 ，则，当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点，然后分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解 已知抛物线，对称轴为直线 对于抛物线，对称轴为， 这里，代入得 ， 解得 令，代入抛物线得， 因此抛物线与y轴交点坐标为；（4分） （2）解：抛物线解析式整理得，抛物线开口向上，对称轴 当时，在该范围内， ∴时y取得最小值 时，； 时， ∵， ∴y的最大值为 ∴y的取值范围是；（8分） （3）解：①若点在抛物线上，将坐标代入抛物线解析式得， 整理得， 解得或； ②设点， ∵N与M关于点成中心对称， ∴K是中点 由中点坐标公式得， 解得， 即 ∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴得， ∵平行四边形的x范围是 ∵抛物线开口向上，对称轴， ∴当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点， 平行四边形的顶点在抛物线上， 故抛物线与平行四边形的边有一个交点是点 ①当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ ， 解得； ②当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， 设直线， 则 解得 ∴直线 与抛物线联立可得， 解得， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ 解得，（舍去）， 综上：的取值范围是或．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第1章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 9．如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 10．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 12．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 13．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 14．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 15．二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 16．如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 18．（8分）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 19．（8分）已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 20．（8分）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 21．（8分）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 22．（10分）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 23．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C B C B C A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 3 13. 14.米 15.且 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，；（4分） （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为；（4分） （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为．（8分） 19．（8分） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，进行求解即可； （2）求出对应函数值，列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴该函数与x轴的交点坐标为，；（2分） （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 作图如下： （5分） （3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一）（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为．（4分） （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或．（8分） 21．（8分） 【答案】(1) 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． (2) 方程的另一个根为 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为．（8分） 22．（10分） 【答案】(1)， (2)80，1600 (3) 【分析】（1)理解题意，设，将分别代入计算求出与的关系式，设每天获取的利润为元，利用每千克成本为60元求出与之间的函数表达式； （2)根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，结合由与之间的函数表达求解； (3) 根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得方程的解，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意设， 将代入得 解得 ∴. 设每天获取的利润为元，每千克成本为60元， ∴.（3分） （2）解：由（1）， 该茶叶的日销量不低于80千克 ∴， ∴， 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴， ∴， ∴， ∵， 抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，每天获取的利润最大， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；（6分） （3）解：由题意，令， ∴， ∵，且， ∴开口向下， 当时，．（10分） 23．（10分） 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为．（3分） （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴．（6分） （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)， (2) (3)① 或；② 或 【分析】（1）利用对称轴公式求出b的值，得到抛物线解析式，即可求解抛物线与y轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）①将点代入求解即可；②先求出 ，则，当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点，然后分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解 已知抛物线，对称轴为直线 对于抛物线，对称轴为， 这里，代入得 ， 解得 令，代入抛物线得， 因此抛物线与y轴交点坐标为；（4分） （2）解：抛物线解析式整理得，抛物线开口向上，对称轴 当时，在该范围内， ∴时y取得最小值 时，； 时， ∵， ∴y的最大值为 ∴y的取值范围是；（8分） （3）解：①若点在抛物线上，将坐标代入抛物线解析式得， 整理得， 解得或； ②设点， ∵N与M关于点成中心对称， ∴K是中点 由中点坐标公式得， 解得， 即 ∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴得， ∵平行四边形的x范围是 ∵抛物线开口向上，对称轴， ∴当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点， 平行四边形的顶点在抛物线上， 故抛物线与平行四边形的边有一个交点是点 ①当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ ， 解得； ②当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， 设直线， 则 解得 ∴直线 与抛物线联立可得， 解得， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ 解得，（舍去）， 综上：的取值范围是或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $