人教2019数学A版必修第一册《3.2.1单调性与最大（小）值》教学评一体化设计（全套教案+学案+测评，全程渗透学法指导）

该教案聚焦函数单调性与最大（小）值核心知识点，通过复习函数概念、三要素及表示法，结合二次函数、一次函数图象及气温变化曲线图导入，引导学生从直观感知“上升”“下降”过渡到符号化定义，搭建“旧知—情境—新知”学习支架。 资料以“教学评一体化”为特色，全程渗透学法指导，运用GeoGebra动态演示函数图象变化，通过“取值—作差—定号—下结论”四步法强化逻辑推理，分层作业与测评兼顾差异，培养数学抽象与直观想象素养，助力学生规范表达，教师高效突破重难点。

人教2019数学A版必修第一册《3.2.1单调性与最大（小）值》教学评一体化设计（全套教案+学案+测评，全程渗透学法指导） 第一部分 教案 一、基本信息 1.课题：人教2019数学A版必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值 2.课时安排：1课时（45分钟） 3.授课年级：高一 4.学科：数学 5.学情分析 学生在前两节已经系统学习函数的概念、三要素及三种表示法，能够用集合语言与对应关系刻画函数，具备用解析式、列表、图象表示函数关系的基本能力。初中阶段学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等具体函数模型，对函数图象的"上升""下降"有初步感性认识，但未形成用精确数学语言刻画函数变化趋势的意识。 学生现存核心短板分为四大类：第一，感性认知无法转化为精确符号表达，能用图象判断增减趋势，但不会用"任意""都有"等逻辑语言严谨描述单调性；第二，证明意识薄弱，习惯"看图象得结论"，缺乏用定义证明函数单调性的逻辑推理能力；第三，最值理解片面，容易将"有最大值"与"函数值有上界"混淆，忽视最值必须是函数值这一关键条件；第四，单调区间书写不规范，多个单调区间之间误用"∪"连接，对区间端点归属判断不清。 本节课以具体函数图象观察为起点，引导学生经历"直观感知—符号刻画—定义形成—应用巩固"的完整认知过程，落实增函数、减函数定义，单调区间概念，函数最大（小）值定义三大核心知识点，分层突破"任意"符号化理解、单调性定义证明、最值条件辨析、单调区间规范书写四大教学难点，承接前两节函数基础知识，为后续奇偶性、指数函数、对数函数等性质研究筑牢基础，全程实施课堂即时评价、分层训练评价、课后作业评价，构建完整教、学、评一体化课堂闭环。 6.学科核心素养目标 （1）数学抽象 ①从具体函数图象（二次函数、反比例函数等）的"上升""下降"趋势中，抽象出增函数、减函数的符号化定义，理解"∀""∃"等逻辑量词在定义中的作用。 ②从图象最高点、最低点的直观认识中，抽象出函数最大值、最小值的精确定义，区分"上界"与"最大值"的本质差异。 （2）逻辑推理 ①经历用定义证明函数单调性的完整过程（取值→作差变形→定号→下结论），形成步步有据的代数推理习惯。 ②辨析单调性概念中的关键条件——"任意"两个自变量的必要性，通过举反例理解"特殊代替一般"的逻辑谬误。 （3）数学运算 ①熟练完成作差变形中的因式分解、通分、配方等运算，准确判断差式的符号。 ②能利用函数单调性求函数在给定区间上的最大值和最小值。 （4）直观想象 借助函数图象直观判断单调区间和最值位置，实现"以形助数、以数驭形"的双向转化。 （5）数学建模 能够将实际情境中的变化规律（如气温变化、经济增长、烟花高度等）抽象为函数单调性或最值模型，用数学语言描述变化趋势并求解最优问题。 7.教学重难点 （1）教学重点 ①增函数、减函数的定义及其符号化表达，单调区间的概念与规范书写。 ②函数最大值、最小值的定义及其几何意义。 ③利用定义证明函数单调性的基本步骤。 （2）教学难点 ①对"任意 x1,x2∈Dx1​,x2​∈D"的逻辑理解，以及如何通过作差变形判断 f(x1)−f(x2)f(x1​)−f(x2​) 的符号。 ②最值定义中"存在 x0x0​"与"任意 xx"两个条件的综合理解，以及最值必须是函数值的本质要求。 ③多个单调区间的书写规范，不能用"∪"连接。 8.教学准备：多媒体PPT课件、GeoGebra动态演示（函数图象上升/下降过程）、函数单调性辨析任务单、作差变形专项练习纸、课堂小组积分评价表、当堂错题收集卡、分层随堂练习题、函数图象手绘模板 9.教学方法：情境导入法、数形结合法、类比探究法、任务驱动教学法、讲练结合法、概念形成教学法、错题归纳法 10.学法指导预设 全程渗透"看图识趋势→符号定标准→证明须严谨→应用求最值"标准化学习流程；总结"单调证明四步法——取值、作差、定号、下结论"解题口诀；指导学生整理单调性证明规范模板、最值判断流程图，建立错题台账，重点纠正"任意"理解偏差、单调区间用"∪"连接、最值不验证等高频问题，养成严谨规范的数学表达习惯。 二、教学过程 （一）复习衔接导入 激趣启思（5分钟） 1.旧知回顾：快速回顾函数的定义、三要素及三种表示法，展示两个函数图象（二次函数 y=x2y=x2、一次函数 y=2x+1y=2x+1），提问：这两个图象有什么不同特征？ 2.情境设问：展示某地24小时气温变化曲线图，提问："气温随时间怎样变化？""什么时间段气温在上升？什么时间段在下降？""全天最高气温出现在什么时刻？"引出函数的"变化趋势"和"最值"两个核心性质。 3.点明课题：本节课系统学习函数的基本性质——单调性与最大（小）值，学会用精确的数学语言描述"上升""下降"的趋势，并会求函数的最值。 4.学法渗透：研究函数性质的一般方法是"从图形直观→符号刻画→定义形成"，先通过图象获得感性认识，再用精确的数学语言表达，最后用定义解决数学问题。 （二）概念精讲 扫清认知障碍（12分钟·重点落实） 1.概念分层领学 环节一：增函数、减函数定义的形成 （1）观察引例：引导学生观察函数 y=x2y=x2 的图象，在区间 [0,+∞)[0,+∞) 上图象"上升"；在区间 (−∞,0](−∞,0] 上图象"下降"。 （2）问题驱动："如何用数学语言刻画'随着x增大，y也增大'？" 追问引导： 在区间 [0,+∞)[0,+∞) 上取 x1=1,x2=2x1​=1,x2​=2，有 f(1)<f(2)f(1)<f(2)，能否说明整个区间上都是上升的？ 需要怎样取值才能保证结论对所有自变量成立？ 引导学生认识到必须取"任意"两个自变量。 （3）给出增函数定义： 一般地，设函数 f(x)f(x) 的定义域为 II，区间 D⊆ID⊆I。如果 ∀x1,x2∈D∀x1​,x2​∈D，当 x1<x2x1​<x2​ 时，都有 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)，那么就说函数 f(x)f(x) 在区间 DD 上单调递增（增函数）。 （4）类比得出减函数定义： 如果 ∀x1,x2∈D∀x1​,x2​∈D，当 x1<x2x1​<x2​ 时，都有 f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​)，那么就说函数 f(x)f(x) 在区间 DD 上单调递减（减函数）。 （5）单调性与单调区间： 如果函数 y=f(x)y=f(x) 在区间 DD 上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 DD 叫做 y=f(x)y=f(x) 的单调区间。 关键强调：一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用"∪"连接，而应该用逗号","连接。如反比例函数 y=1xy=x1​ 在 (−∞,0)(−∞,0) 和 (0,+∞)(0,+∞) 上都单调递减，但不能说在 (−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞) 上单调递减。 环节二：函数最大值、最小值的定义 （1）直观引入：观察函数图象，找出最高点和最低点。 （2）给出最大值定义： 设函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 II，如果存在实数 MM 满足： ① ∀x∈I∀x∈I，都有 f(x)≤Mf(x)≤M； ② ∃x0∈I∃x0​∈I，使得 f(x0)=Mf(x0​)=M。 那么称 MM 是函数 y=f(x)y=f(x) 的最大值。 （3）类比得出最小值定义： 如果存在实数 mm 满足： ① ∀x∈I∀x∈I，都有 f(x)≥mf(x)≥m； ② ∃x0∈I∃x0​∈I，使得 f(x0)=mf(x0​)=m。 那么称 mm 是函数 y=f(x)y=f(x) 的最小值。 几何意义：最大值是图象上最高点的纵坐标；最小值是图象上最低点的纵坐标。 2.易混点深度辨析 （1）"任意"与"存在"的区别：单调性定义中必须是"任意"两个自变量，不能仅凭两个特殊值判断；最值定义中需要同时满足"任意"（所有函数值不超过/不低于M）和"存在"（M必须是某个函数值）两个条件。 （2）单调区间书写规范：多个单调区间之间用逗号","连接，不能用"∪"。 （3）最值必须是函数值：若存在实数 MM 满足 f(x)≤Mf(x)≤M，但不存在 x0x0​ 使 f(x0)=Mf(x0​)=M，则 MM 不是最大值（如 f(x)=x2f(x)=x2，M=−1M=−1，虽然 x2>−1x2>−1 恒成立，但 −1−1 不是函数值，故不是最小值）。 3.正反实例对照 正例：f(x)=x2f(x)=x2 在 [0,+∞)[0,+∞) 上单调递增。证明思路：任取 0≤x1<x20≤x1​<x2​，f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)<0f(x1​)−f(x2​)=x12​−x22​=(x1​−x2​)(x1​+x2​)<0，故 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)。 反例：有人用"f(−1)<f(2)f(−1)<f(2)"断言 f(x)=x2f(x)=x2 在 RR 上单调递增，错误——只取了两个特殊值，不满足"任意"条件。 4.课堂互动抢答：教师给出不同函数图象，学生快速判断单调区间和最值位置，强化"看图识趋势"能力。 5.学法小结：单调性看趋势，任意两值比大小；最值看高低，条件两个不能少；区间书写用逗号，千万不能用并集。 （三）题型精讲 分层例题训练（18分钟·重难点突破） 1.三类基础题型分类梳理 题型一：利用图象确定函数的单调区间 解题要点：根据图象"上升"为增区间，"下降"为减区间；单调区间不唯一时用逗号","隔开。 题型二：利用定义证明函数的单调性 解题要点：严格遵循"取值→作差变形→定号→下结论"四步法： ①取值：任取 x1,x2∈Dx1​,x2​∈D，且 x1<x2x1​<x2​； ②作差变形：计算 f(x1)−f(x2)f(x1​)−f(x2​)，通过因式分解、通分、配方等转化为易判断正负的式子； ③定号：判断 f(x1)−f(x2)f(x1​)−f(x2​) 的符号； ④下结论：根据符号确定单调性。 题型三：利用单调性求函数的最值 解题要点：若函数在区间 [a,b][a,b] 上单调递增，则 f(a)f(a) 为最小值，f(b)f(b) 为最大值；若单调递减，则 f(b)f(b) 为最小值，f(a)f(a) 为最大值。 2.分层例题精讲 基础例题：如图是定义在闭区间 [−5,5][−5,5] 上的函数 y=f(x)y=f(x) 的图象，根据图象说出 y=f(x)y=f(x) 的单调区间，以及在每一个单调区间上，f(x)f(x) 是增函数还是减函数。 规范解答：函数 f(x)f(x) 的单调区间有 [−5,−2)[−5,−2)，[−2,1)[−2,1)，[1,3)[1,3)，[3,5][3,5]。其中 f(x)f(x) 在区间 [−5,−2)[−5,−2)、[1,3)[1,3) 上是减函数，在区间 [−2,1)[−2,1)、[3,5][3,5] 上是增函数。 提升例题（证明题）：根据定义证明函数 f(x)=x+1xf(x)=x+x1​ 在区间 (0,1)(0,1) 内为减函数。 规范解答：设 x1,x2∈(0,1)x1​,x2​∈(0,1)，且 x1<x2x1​<x2​。 f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)(1−1x1x2)f(x1​)−f(x2​)=(x1​+x1​1​)−(x2​+x2​1​)=(x1​−x2​)+x1​x2​x2​−x1​​=(x1​−x2​)(1−x1​x2​1​)=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2=(x1​−x2​)⋅x1​x2​x1​x2​−1​ ∵ 0<x1<x2<10<x1​<x2​<1，∴ x1−x2<0x1​−x2​<0，x1x2−1<0x1​x2​−1<0，x1x2>0x1​x2​>0。 ∴ x1x2−1x1x2<0x1​x2​x1​x2​−1​<0，(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2>0(x1​−x2​)⋅x1​x2​x1​x2​−1​>0。 即 f(x1)−f(x2)>0f(x1​)−f(x2​)>0，故 f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​)。因此函数在 (0,1)(0,1) 上为减函数。 难点例题（最值）：已知函数 f(x)=1xf(x)=x1​，x∈[2,6]x∈[2,6]，求函数的最大值和最小值。 规范解答：由反比例函数性质可知 f(x)=1xf(x)=x1​ 在 [2,6][2,6] 上单调递减。因此最大值在左端点取得，f(2)=12f(2)=21​；最小值在右端点取得，f(6)=16f(6)=61​。 3.小组辨析任务：四人一组，各小组分别完成"利用图象判断单调区间""用定义证明单调性""利用单调性求最值"三类题型的辨析与总结，全班展示交流。 4.规范书写训练：专项强化单调性证明四步格式，要求每一步都要写清楚依据。 5.当堂习题过关：分层完成图象判断、定义证明、最值求解三类习题，当堂纠错、全员过关。 6.学法小结：证明单调性四步走，取值作差定号下结论；最值求解看单调，增减端点对号入。 （四）变式操练 综合输出（7分钟·难点巩固） 1.基础仿写练习：给定一个二次函数，要求学生写出其单调区间，并任选一个区间用定义证明。 2.双人互查纠错：两人结对互批单调性证明过程，检查"任意"是否体现、变形是否正确、定号是否严谨。 3.成果展示点评：选取学生板书作业展示，全班统一点评纠错，固化单调性证明规范格式。 4.错题整理积累：整理典型错题，标注错误类型、正确解法、易错警示，形成个人易错清单。 （五）课堂小结（3分钟） 1.知识小结：掌握增函数、减函数定义及单调区间概念；掌握函数最大值、最小值定义及求法。 2.方法小结：形成"直观感知→符号刻画→定义证明→应用求解"的研究路径；掌握"取值→作差变形→定号→下结论"的证明程序。 3.素养小结：强化数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养，养成定义优先、严谨论证、规范表达的数学思维习惯。 （六）当堂检测（1分钟） 1.熟记增函数、减函数定义及单调区间书写规范； 2.掌握利用定义证明函数单调性的四步法。 （七）分层作业布置（1分钟） 基础层（基础薄弱生） 1.熟记增函数、减函数定义，完成教材基础习题——根据图象判断单调区间； 2.完成简单函数的定义证明（如一次函数、二次函数在指定区间上的单调性）； 3.绘制单调性与最值定义思维导图。 提升层（中等生） 1.整理单调性证明四步法的规范模板，各举一例说明； 2.完成含参函数单调性判断及最值求解分层习题，规范书写解题过程； 3.能够独立分析分段函数的单调区间，并用逗号连接书写。 拓展层（优等生） 1.总结用定义证明分式函数、根式函数单调性的变形技巧（通分、有理化等）； 2.探究含参二次函数在指定区间上的最值分类讨论问题； 3.自主设计一个实际应用问题（如投资收益、成本控制等），转化为函数最值模型并求解。 三、板书设计 3.2.1 单调性与最大（小）值 1.增函数：∀x1<x2∀x1​<x2​，f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​) 2.减函数：∀x1<x2∀x1​<x2​，f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​) 3.单调区间：上升→增区间，下降→减区间；多个区间用"，"连接，不用"∪" 4.最大值：∀x,f(x)≤M∀x,f(x)≤M且∃x0,f(x0)=M∃x0​,f(x0​)=M 5.最小值：∀x,f(x)≥m∀x,f(x)≥m且∃x0,f(x0)=m∃x0​,f(x0​)=m 6.证明四步法：取值→作差变形→定号→下结论 7.易错警示："任意"不能丢、区间不用"∪"、最值必须取得到 四、教后反思 本节课通过函数图象观察引入、符号化定义逐步建构、定义证明例题示范的模式开展教学，贴合高一学生从感性认知到理性推理的认知规律，课堂梯度清晰、评价贯穿全程，多数学生能够理解单调性定义并用定义完成简单证明，基本达成教学目标。 课堂突出问题：部分学生对"任意"二字的逻辑含义理解不深，证明过程中忘记标注"任取"；作差变形后定号能力不足，特别是分式函数的通分和符号判断容易出现失误；最值定义中"存在"条件容易被忽略，把上界误认为最大值；单调区间书写仍有个别学生使用"∪"连接。 后续改进：增设"任意"条件的辨析专项训练，通过正反例对比加深理解；强化作差变形技巧训练（因式分解、通分、配方的分专题练习）；在最值教学中强调"最值必须取得到"的判断标准；持续规范单调区间书写格式，完善教评一体化闭环，筑牢函数性质学习基础。 第二部分 学案 3.2.1 单调性与最大（小）值导学案 班级： 姓名： 学号： 得分： 一、学习目标 1.借助函数图象，理解增函数、减函数的定义，会用符号语言表达函数的单调性。 2.掌握用定义证明函数单调性的基本步骤（取值→作差变形→定号→下结论）。 3.理解函数最大值、最小值的定义及其几何意义，会利用单调性求函数在给定区间上的最值。 二、预习导学 （一）概念填空预习 1.一般地，设函数 f(x)f(x) 的定义域为 II，区间 D⊆ID⊆I。如果 ∀x1,x2∈D∀x1​,x2​∈D，当 x1<x2x1​<x2​ 时，都有 ______，那么就说函数 f(x)f(x) 在区间 DD 上单调递增。 2.如果 ∀x1,x2∈D∀x1​,x2​∈D，当 x1<x2x1​<x2​ 时，都有 ______，那么就说函数 f(x)f(x) 在区间 DD 上单调递减。 3.如果函数 y=f(x)y=f(x) 在区间 DD 上是______或______，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 DD 叫做 y=f(x)y=f(x) 的______。 4.设函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 II，如果存在实数 MM 满足： ① ∀x∈I∀x∈I，都有 ______； ② ∃x0∈I∃x0​∈I，使得 ______。 那么称 MM 是函数 y=f(x)y=f(x) 的最大值。 5.多个单调区间之间应用______连接，不能用______连接。 （二）基础判断预习（对√，错×） 1.若在区间上存在 x1<x2x1​<x2​，使 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)，则函数在该区间上单调递增。（ ） 2.反比例函数 y=1xy=x1​ 在 (−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞) 上单调递减。（ ） 3.若存在实数 MM 满足 ∀x∈I∀x∈I，都有 f(x)≤Mf(x)≤M，则 MM 一定是函数的最大值。（ ） 4.函数 f(x)=x2f(x)=x2 在 [0,+∞)[0,+∞) 上单调递增。（ ） 5.若函数在区间 [a,b][a,b] 上单调递减，则 f(a)f(a) 是最大值，f(b)f(b) 是最小值。（ ） （三）预习疑点 通读教材单调性及最值相关定义与例题，圈画定义理解、证明步骤、最值条件等疑难问题，课堂重点探究突破。 三、课中合作探究 （一）单调性定义探究 1.观察函数 f(x)=x2f(x)=x2 的图象，在区间 [0,+∞)[0,+∞) 上图象______（上升/下降），在区间 (−∞,0](−∞,0] 上图象______（上升/下降）。 2.在区间 [0,+∞)[0,+∞) 上任取 x1=1,x2=3x1​=1,x2​=3，f(1)=f(1)=，f(3)=f(3)=，比较大小：f(1)f(1)______f(3)f(3)。 3.若要在区间上证明 f(x)=x2f(x)=x2 单调递增，需要证什么？写出证明过程。 （二）单调性证明探究 用定义证明函数 f(x)=1x−1f(x)=x−11​ 在区间 (1,+∞)(1,+∞) 上单调递减。 证明步骤： ①取值： ； 。 ②作差变形： ； 。 ③定号： ； ④下结论： 。 （三）最值探究 已知函数 f(x)=x2−2x+3f(x)=x2−2x+3，x∈[0,3]x∈[0,3]。 （1）该函数的对称轴为______，在 [0,1][0,1] 上单调______，在 [1,3][1,3] 上单调______。 （2）最大值 = ______，最小值 = ______。 （3）最大值和最小值分别在哪一点取得？______ 四、课堂达标自测 （一）概念填空（20分） 1.函数单调性定义中，必须强调"______"两个自变量，不能用特殊值代替。 2.函数 y=x2y=x2 的单调递增区间是______，单调递减区间是______。 3.最大值定义包含两个条件：①对所有 xx，都有 f(x)f(x)MM；②存在 x0x0​，使得 f(x0)f(x0​)MM。 4.若函数在区间 [a,b][a,b] 上单调递增，则最小值为______，最大值为______。 （二）判断与简答（30分） 1.判断以下说法是否正确，并说明理由（15分） （1）函数 f(x)=x2f(x)=x2 在 RR 上单调递增。 （2）函数 f(x)=1xf(x)=x1​ 的单调递减区间是 (−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)。 2.根据图象写出函数的单调区间，并指出增减性（15分） （图象描述：函数在 [−4,−1][−4,−1] 下降，在 [−1,2][−1,2] 上升，在 [2,5][2,5] 下降） （三）证明与计算（50分） 1.用定义证明函数 f(x)=2x−1f(x)=2x−1 在 RR 上单调递增。（20分） 2.已知函数 f(x)=2xf(x)=x2​，x∈[1,4]x∈[1,4]，求函数的最大值和最小值。（30分） 导学案参考答案 二、预习导学 （一）1. f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​) 2. f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​) 3.增函数；减函数；单调区间 4. f(x)≤Mf(x)≤M；f(x0)=Mf(x0​)=M 5.逗号","；并集"∪" （二）1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 三、课中合作探究 （一）2. f(1)=1,f(3)=9f(1)=1,f(3)=9，f(1)<f(3)f(1)<f(3) 证明：任取 0≤x1<x20≤x1​<x2​，f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)<0f(x1​)−f(x2​)=x12​−x22​=(x1​−x2​)(x1​+x2​)<0，故 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)。 （二）①任取 1<x1<x21<x1​<x2​；② f(x1)−f(x2)=1x1−1−1x2−1=x2−x1(x1−1)(x2−1)f(x1​)−f(x2​)=x1​−11​−x2​−11​=(x1​−1)(x2​−1)x2​−x1​​；③ ∵ x2−x1>0x2​−x1​>0，(x1−1)(x2−1)>0(x1​−1)(x2​−1)>0，∴ f(x1)−f(x2)>0f(x1​)−f(x2​)>0；④函数在 (1,+∞)(1,+∞) 上单调递减。 （三）（1）对称轴 x=1x=1，在 [0,1][0,1] 上单调递减，在 [1,3][1,3] 上单调递增；（2）最大值6，最小值2；（3）最大值在 x=3x=3 取得，最小值在 x=1x=1 取得。 四、课堂达标自测 （一）1.任意 2. [0,+∞)[0,+∞)；(−∞,0](−∞,0] 3. ≤≤；== 4. f(a)f(a)；f(b)f(b) （二）1.（1）错误，f(x)=x2f(x)=x2 在 [0,+∞)[0,+∞) 上增，在 (−∞,0](−∞,0] 上减，整个 RR 上不单调；（2）错误，应用"，"连接，不能用"∪"。 2.单调增区间：[−1,2][−1,2]；单调减区间：[−4,−1][−4,−1]，[2,5][2,5]。 （三）1.证明：任取 x1,x2∈Rx1​,x2​∈R，且 x1<x2x1​<x2​。f(x1)−f(x2)=(2x1−1)−(2x2−1)=2(x1−x2)<0f(x1​)−f(x2​)=(2x1​−1)−(2x2​−1)=2(x1​−x2​)<0，故 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)，函数在 RR 上单调递增。 2.函数在 [1,4][1,4] 上单调递减。最大值 f(1)=2f(1)=2，最小值 f(4)=12f(4)=21​。 第三部分 测评案 3.2.1 单调性与最大（小）值同步测评 满分：100分 时间：40分钟 一、概念填空与规则运用（20分） 1.增函数的定义：∀x1,x2∈D∀x1​,x2​∈D，当 x1<x2x1​<x2​ 时，都有 ______。 2.函数的最大值定义包含两个条件：① ∀x∈I∀x∈I，都有______；② ∃x0∈I∃x0​∈I，使得______。 3.多个单调区间之间应用______连接。 4.若函数在区间 [a,b][a,b] 上单调递减，则最大值为______，最小值为______。 二、基础判断题（每题4分，共20分，对打√，错打×） 1.若 x1<x2x1​<x2​ 时，f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)，则函数 f(x)f(x) 单调递增。（ ） 2.函数 f(x)=x2f(x)=x2 的单调递减区间是 (−∞,0](−∞,0]。（ ） 3.若存在实数 MM 使 f(x)≤Mf(x)≤M 恒成立，则 MM 是函数的最大值。（ ） 4.若函数在区间 [a,b][a,b] 上单调递增，则 f(a)f(a) 是最大值。（ ） 5.一个函数的不同单调区间之间不能用"∪"连接。（ ） 三、解答题（30分） 1.已知函数 f(x)={x+1,x<0−x+1,x≥0f(x)={x+1,−x+1,​x<0x≥0​，画出函数图象并写出单调区间。（15分） 2.用定义证明函数 f(x)=2x+1x−1f(x)=x−12x+1​ 在区间 (1,+∞)(1,+∞) 上单调递减。（15分） 四、综合应用题（15分） 已知函数 f(x)=x2−4x+5f(x)=x2−4x+5，x∈[0,4]x∈[0,4]。 （1）写出函数的单调区间； （2）求函数的最大值和最小值； （3）指出最大值和最小值分别在何处取得。 五、综合辨析简答（15分） 简述函数单调性的定义及其核心要点，结合一个用定义证明单调性的实例说明"取值→作差变形→定号→下结论"四步法的操作要领，并指出学习单调性时的高频易错点。 测评案参考答案 一、概念填空与规则运用 1.f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)  2. f(x)≤Mf(x)≤M；f(x0)=Mf(x0​)=M  3.逗号"," 4. f(a)f(a)；f(b)f(b) 二、基础判断题 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 三、解答题 1.图象为折线：x<0x<0 时 y=x+1y=x+1（上升），x≥0x≥0 时 y=−x+1y=−x+1（下降）。单调增区间：(−∞,0)(−∞,0)；单调减区间：[0,+∞)[0,+∞)。 2.证明：任取 1<x1<x21<x1​<x2​。f(x1)−f(x2)=2x1+1x1−1−2x2+1x2−1=(2x1+1)(x2−1)−(2x2+1)(x1−1)(x1−1)(x2−1)=3(x2−x1)(x1−1)(x2−1)>0f(x1​)−f(x2​)=x1​−12x1​+1​−x2​−12x2​+1​=(x1​−1)(x2​−1)(2x1​+1)(x2​−1)−(2x2​+1)(x1​−1)​=(x1​−1)(x2​−1)3(x2​−x1​)​>0。故 f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​)，函数在 (1,+∞)(1,+∞) 上单调递减。 四、综合应用题 （1）f(x)=(x−2)2+1f(x)=(x−2)2+1，对称轴 x=2x=2。单调减区间：[0,2][0,2]；单调增区间：[2,4][2,4]。 （2）最小值在 x=2x=2 取得，f(2)=1f(2)=1；比较端点：f(0)=5f(0)=5，f(4)=5f(4)=5，最大值5。 （3）最大值在 x=0x=0 和 x=4x=4 两处取得，最小值在 x=2x=2 处取得。 五、综合辨析简答 单调性定义：设函数定义域为 II，区间 D⊆ID⊆I。若对 DD 中任意两个自变量 x1<x2x1​<x2​，都有 f(x1)<f(x2)f(x1​)<f(x2​)，则称 f(x)f(x) 在 DD 上单调递增；若有 f(x1)>f(x2)f(x1​)>f(x2​)，则称单调递减。 核心要点：①"任意"不可或缺，不能用特殊值代替；②单调性是对区间而言的，必须指明区间；③多个单调区间用逗号连接，不用并集符号。 证明四步法：取值（任取 x1,x2∈Dx1​,x2​∈D 且 x1<x2x1​<x2​）→作差变形（计算 f(x1)−f(x2)f(x1​)−f(x2​) 并因式分解/通分/配方）→定号（判断差的符号）→下结论（根据符号确定增减性）。 高频易错点：①忽略"任意"用特殊值代替；②单调区间误用"∪"连接；③作差后变形不当导致符号判断错误；④证明过程中未说明变形依据。 学科网（北京）股份有限公司 $