精品解析：天津市和平区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二级数学 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 4. 若随机变量服从二项分布，则与的值为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【详解】若随机变量服从二项分布，则，； 因为，所以，. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的性质即可得答案. 【详解】由对数函数的性质可知， 由指数函数的性质可知，， 所以. 6. 对于两个分类随机变量，，利用进行独立性检验时，如果有99%的把握认为“与有关系”，那么具体算出的数据应满足（ ） 附表： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立性检验中把握程度与临界值的对应关系，通过给定的把握程度找到对应的临界值，再根据独立性检验的规则确定的取值范围. 【详解】有的把握认为两个分类变量与有关系，等价于该推断出错的概率不超过， 对照题目给出的附表，查找概率对应的临界值，可得， 因此当计算得到的卡方统计量满足时，就符合有的把握认为与有关系的要求. 7. 已知函数，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 8. 用数字组成允许有重复数字的两位数，其个数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理求解即可. 【详解】由题意可得十位上的数字可以是中任意一个，共有种可能； 同样个位上的数字可以是中任意一个，共有种可能； 所以一共可以组成个两位数. 9. 设，若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到的单调性，求得的最小值，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极小值，也是最小值， 因为函数在上恰有一个零点，可得， 又因为，所以，解得. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为________．（请用数字作答） 【答案】 28 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为，其中. 对于，取，，，可得其展开式通项为：，. 令，对应系数为， 计算得：. 11. 对于经验回归方程，变量减少一个单位时，平均增加________个单位． 【答案】3 【解析】 【详解】设原自变量为，对应预测值为； 当变量减少一个单位时，新的自变量为， 代入得， 故当变量减少一个单位时，平均增加3个单位． 12. 若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 13. 曲线在点处的切线在轴上的截距为________． 【答案】 【解析】 【详解】，则当时，， 故在点处的切线方程为， 即，令得， 故在点处的切线在轴上的截距为. 14. 现在有6道试题，其中4道选择题和2道填空题，每次从中随机抽出1道题，每次抽出的题不再放回．第1次抽到选择题，且第2次抽到填空题的概率为________；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率为________． 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【详解】设第1次抽到选择题为事件，第2次抽到填空题为事件， 第1次抽到选择题，且第2次抽到填空题的概率为，其中， 在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率为. 15. 若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①③ 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数有两个不同的变号零点的条件，分析之间的关系. 【详解】，定义域为， ， 函数既有极大值又有极小值，所以在定义域上有两个不同的变号零点， 即方程在上有两个不同正根， 所以 由且，可得，， 所以，又，所以，①正确； ，所以，②错误； ，③正确； ，所以，④错误； 由，，可得， 若，，若，，⑤错误. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数在处取得极小值2． （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系列方程求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 ，则. 由题意知，即，解得. 此时， 当时，；当时，； 所以在处取得极小值，满足题意. 综上，，. 【小问2详解】 由（1）得 ，. ， 令，即，解得 (舍去). 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，在处取得最小值，为. 又，. 综上，函数在区间上的最大值为10，最小值为2. 17. 一批笔记本电脑共9台，其中A品牌3台，B品牌6台，现从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌电脑台数的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先计算总基本事件数，再找出并计算对立事件数，从而求出对立事件概率，进而求出该事件概率； （2）判断取值，服从超几何分布，分别求出对应情况概率，列出分布列并计算期望． 【小问1详解】 从9台电脑中选2台，共种， “至多有1台B品牌电脑”的对立事件是“两台都是B品牌”， “两台都是B品牌”，有种，概率为， 故“至多有1台B品牌电脑”的概率为：． 【小问2详解】 可取，服从超几何分布， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 期望为：． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合、分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，. 则，. 所以切线方程为，整理得. 【小问2详解】 的定义域为. ，分母，符号由 决定. 令，即，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 综上，当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并利用定义加以证明； （3）若时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由（1）可得，设，且， 则， 因为，所以， 故，即， 因此在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）运用奇函数的性质求解； （2）写出函数的表达式，再根据单调性进行证明； （3）将不等式变式，运用函数为奇函数和其单调性，将不等式转化为函数自变量的大小对比. 【小问1详解】 由题可得，即恒成立，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可得， 因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以，令， 因为与在上都为减函数， 所以也在上为减函数，只需让， 而，故. 20. 已知函数． （1）若函数在其定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）设（、均为实数，且），若函数有两个零点，，记为与的平均数，证明：（其中是的导函数）． 【答案】（1） （2）证明：，定义域为，则， 函数有两个零点，，不妨设，所以， 两式相减得， 即，则， 因为为与的平均数，所以，， 代入可得， 令，则， 令，， 因为，，在上单调递增， 所以， 因为，，， 因此得证. 【解析】 【分析】（1）在其定义域内是增函数，在上恒成立，参变分离求出实数的取值范围； （2）首先利用零点条件列方程，化简，将转化为的表达式，构造函数证明不等式. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， 函数在其定义域内是增函数，所以在上恒成立， 因为，所以在上恒成立， 等价于在上恒成立， ，当且仅当时取等号， 所以，得. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级数学 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量服从二项分布，则与的值为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于两个分类随机变量，，利用进行独立性检验时，如果有99%的把握认为“与有关系”，那么具体算出的数据应满足（ ） 附表： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 用数字组成允许有重复数字的两位数，其个数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 9. 设，若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为________．（请用数字作答） 11. 对于经验回归方程，变量减少一个单位时，平均增加________个单位． 12. 若，则的最大值为________． 13. 曲线在点处的切线在轴上的截距为________． 14. 现在有6道试题，其中4道选择题和2道填空题，每次从中随机抽出1道题，每次抽出的题不再放回．第1次抽到选择题，且第2次抽到填空题的概率为________；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率为________． 15. 若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数在处取得极小值2． （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 17. 一批笔记本电脑共9台，其中A品牌3台，B品牌6台，现从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌电脑台数的分布列及数学期望． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并利用定义加以证明； （3）若时，不等式有解，求实数的取值范围． 20. 已知函数． （1）若函数在其定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）设（、均为实数，且），若函数有两个零点，，记为与的平均数，证明：（其中是的导函数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $