正（长）方体与球09——2025-2026学年高一下学期数学必修二立体几何初步暑假专项作业（解析版+原卷版）

**基本信息** 以球的定义与性质为基础，通过正方体、长方体及三棱锥模型构建外接球问题的系统性解题方法，强化空间观念与模型推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5类核心模型|球的截面性质公式、构造长方体法、墙角模型秒杀公式、对棱相等三棱锥棱长关系推导|从球的定义到截面性质，延伸至特殊几何体（正方体、长方体）外接球，再构建三棱锥通用模型，形成“概念-性质-模型-应用”逻辑链| |回归教材|3道教材原题|教材习题改编迁移，强化定义与公式直接应用|紧扣教材基础，衔接高考高频考点，体现知识从教材到拓展的连贯性| |跟踪训练|19题（单选10/多选1/填空8）|外接球半径计算、体积表面积求解、最值问题转化|覆盖不同几何体（长方体、直三棱柱、正四面体等）外接球场景，通过题型变式巩固模型方法的迁移应用|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业09 测试范围：正（长）方体与球 知识梳理： 1、球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2、球的截面的性质： ①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离． 3、正方体、长方体外接球 （1）正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． （2）长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． （3）若正方体边长为，则它的外接球半径为； （4）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为； （5）棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长． 4、外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 5、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【答案】 【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，球内切于正方体，，. 所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为. 【点睛】本题考查球的体积公式，是基础题. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【答案】 【分析】由正方体的棱长为，其顶点都在一个球面上，则正方体的对角线即为球的直径，求出球的半径后，代入球的体积公式，即可得到答案． 【详解】∵正方体的棱长为,∴正方体的体对角线长为， ∴球的半径，. 【点睛】本题考查正方体的外接球的体积计算问题，棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长，属于基础题． 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 【答案】不会 【分析】分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】解：球的体积， 水中球的体积，长方体的体积， .故水不会从水槽中溢出. 【点睛】本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题. 跟踪训练： 一、单选题 1.在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 2．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可． 【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长， 又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3，所以球的半径为，其表面积是. 3．已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，若球的体积是V，则正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的外接球的半径与棱长的关系，结合球的体积运算求解. 【详解】设正方体的棱长为，球的半径为，可知，则，整理得，所以正方体的体积为.故选：C. 4.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　) A. B.3 C.3 D. 答案　C 解析：设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R，内切球的半径为r，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝a，所以R＝，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝a，即r＝，所以，所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为＝3. 5.在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ，由体对角线长等于，得，即，所以长方体外接球表面积. 6.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A. B. C.8π D. 答案　A 解析　如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体， 则长方体的体对角线|A1B|＝＝2，为该三棱柱外接球的直径，所以其半径为R＝，球O的体积为V＝πR3＝π×2π，故选A. 7.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A 8.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得， 三式相加得：，即，长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即，外接球表面积. 9.在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设，取的中点，连接，则､平面，所以平面，且，所以的面积为，则三棱锥的体积为，所以，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示： 设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则所以，所以，所以球的表面积为.故选：A. 10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，，则三棱锥可补成如图所示的一个长方体，其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球，在直角中，可得，设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为.故选：B. 二、多选题 11．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项． 【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，，设外接球半径为，则，球体积为，，当且仅当时等号成立，所以．故选：BCD． 三、填空题 12.棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则　　　.  【答案】 【解析】设长方体的外接球的半径为，由已知，所以，又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为，长方体体对角线等于其外接球的直径，所以，所以. 13．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为　　　.  【答案】50 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，所以外接球的直径为，所以外接球的表面积为， 14．一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为___________. 【答案】 【分析】利用正方体的表面积求解棱长，然后求解外接球的半径，即可求解球的表面积． 【详解】解：一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，设正方体的棱长为，则，解得，正方体的体对角线的长度就是外接球的直径，所以，所以外接球的表面积为：， 15、已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且，所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径，所以球的表面积为. 16.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.  答案：20π 解析：根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示， 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝ π·(22＋42)＝20π. 17．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为_______. 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，显然有，，，因此两两互相垂直，补成长方体如图所示：该长方体的对角线长为，所以该三棱锥的外接球的半径为，因此该三棱锥的外接球表面积为， 18．在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以，又，平面，所以平面，将三棱锥补全成长方体，如图， 则此三棱锥的外接球的半径为，其三棱锥外接球的体积为. 19．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为　　.  【答案】3 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且，因为外接球表面积为，故，即，又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立，所以长方体的体积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业09 测试范围：正（长）方体与球 知识梳理： 1、球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2、球的截面的性质： ①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离． 3、正方体、长方体外接球 （1）正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． （2）长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． （3）若正方体边长为，则它的外接球半径为； （4）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为； （5）棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长． 4、外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 5、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 跟踪训练： 一、单选题 1.在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，若球的体积是V，则正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 4.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　) A. B.3 C.3 D. 5.在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A. B. C.8π D. 7.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9.在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12.棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则　　　.  13．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为　　　.  14．一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为___________. 15、已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 16.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.  17．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为_______. 18．在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 19．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为　　.  试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $