专题08相似三角形判定证明及性质暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版九年级数学上册

专题08相似三角形判定证明及性质暑假预习讲义 · 定理理解与证明掌握 熟记三角形相似三大判定定理（AA、SAS、SSS），读懂课本中各判定定理的推导证明逻辑；区分相似判定与全等判定的联系与差异，明确 SSA 无法判定三角形相似的易错边界。 · 识图建模，快速提取条件 能自主识别 A 字型、8 字型、平行线截三角形、直角母子相似等基础相似模型；可从图形中快速找出公共角、对顶角、平行线同位角 / 内错角等相等角，精准获取证明相似所需条件。 · 规范几何推理书写 掌握相似三角形证明标准步骤，书写相似符号时严格对应顶点顺序；能结合平行线性质、等量代换推导等角、成比例线段，独立完成基础相似证明题，也能根据线段比例反向证三角形相似。 · 吃透相似三角形全套性质 牢记相似三角形核心性质：对应角相等、对应边成比例；拓展掌握对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；分清周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，理解相似比顺序颠倒后比值互为倒数。 · 综合计算与解题逻辑 建立完整解题思路：先利用判定定理证明三角形相似，再借助相似性质列比例方程，求解线段、高线、中线、周长、面积相关计算题；能根据周长、面积的比值反推两个三角形的相似比。 · 辨析易错点，带着疑问听课 提前区分周长、面积与相似比的换算误区，避免面积比忘记平方、由面积求相似比忘记开方；自主梳理定理证明、复杂识图、比例转化中的难点疑问，结合全等三角形知识建立迁移思维，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.平行线分线段成比例 2.相似三角形的定义 3.平行引理 4.三大相似判定定理 5.直角三角形相似判定 6.相似三角形性质 常考题型 精讲精练 1.由平行判断成比例线段 2.平行截线求相关线段长或比值 3.利用平行判定相似 4.证明三角形的对应线段成比例 5.由相似三角形的性质求解 6.相似三角形判定与性质综合 7.利用相似求坐标 8.网格中作已知三角形的相似三角形 9.相似三角形动点问题 10.相似三角形的实际应用 11.相似三角形的综合问题 强化题型 解答题8题 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点05：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 题型1.由平行判断成比例线段 【典例】如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 【答案】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【分析】本题根据平行线分线段成比例即可求解．此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 【详解】解：根据题意可得，这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ． 【跟踪专练1】如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 题型 2.平行截线求相关线段长或比值 【典例】如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答； 【详解】解： ∵， ∴， ∵，，， ∴ ， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】如图，，，，则的长为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确计算是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理直接求出即可． 【详解】解：，，， ，即， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F， ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型3.利用平行判定相似 【典例】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 题型4.证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，，，那么与的相似比为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，若，，，则的长为______.    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 【跟踪专练3】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 题型5.由相似三角形的性质求解 【典例】两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，由对应边长度求出相似比，再根据周长差列方程求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，中，，，为上一点，，若在上有一点，当__________时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，由于是公共角，那么只存在和这两种情况，据此根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， ∴； 当时，则，即， ∴； 综上所述，当或时，与相似． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，已知，若为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质；根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为 ． 故选：C． 题型6.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，在中，，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【跟踪专练1】如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，交于点，，，分别为，的中点，且．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．证明，得出，证明，得出，即，根据，，得出，，代入，解方程组，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 得：， 解得：． 故选：D． 【跟踪专练3】在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 题型7.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【跟踪专练3】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型8.网格中作已知三角形的相似三角形 【典例】如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的__________点．    【答案】 【分析】相似三角形两个角对应相等，且对应边成比例，据此解答． 【详解】解：由图知，点应位于线段的中垂线上， 所以要使， 所以只能是点， 其他点均不符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定，要注意联系实际图形进行判定． 【跟踪专练1】以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 【跟踪专练2】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 【跟踪专练3】如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 题型9.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 题型10.相似三角形的实际应用 【典例】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 【跟踪专练1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 【跟踪专练2】商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 【跟踪专练3】如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型11.相似三角形的综合问题 【典例】已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是_________． 【答案】24 【分析】根据位似图形周长比等于位似比，知道其中一个周长，就可以求出另外一个周长. 【详解】解：与的位似比是1:4， 所以周长比是1:4， ∵△ABC的周长是6， 则△DEF的周长是24 故答案为：:24 【点睛】此题重点考查学生对位似图形周长的计算，抓住周长比等于位似比是解题的关键. 【跟踪专练1】如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 解答题 1．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 2．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 3．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 【答案】(1)4， (2)是， 【分析】（1）过点作于点，交于点，先证明，可得，则，，可得，，再证明，可得，即可求解； （2）同理（1）即可得结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ，， ∴在中，， 当时，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∵，， ∴， ，， ， ， ． （2）解：的值为定值． 如图，过点作于点，交于点， 同理（1）可得， ∴，即， ∴．， ∴，， 同理（1）可得， ． 6．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 7．图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形； （2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 8．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）利用当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 即或； （2）解：当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08相似三角形判定证明及性质暑假预习讲义 · 定理理解与证明掌握 熟记三角形相似三大判定定理（AA、SAS、SSS），读懂课本中各判定定理的推导证明逻辑；区分相似判定与全等判定的联系与差异，明确 SSA 无法判定三角形相似的易错边界。 · 识图建模，快速提取条件 能自主识别 A 字型、8 字型、平行线截三角形、直角母子相似等基础相似模型；可从图形中快速找出公共角、对顶角、平行线同位角 / 内错角等相等角，精准获取证明相似所需条件。 · 规范几何推理书写 掌握相似三角形证明标准步骤，书写相似符号时严格对应顶点顺序；能结合平行线性质、等量代换推导等角、成比例线段，独立完成基础相似证明题，也能根据线段比例反向证三角形相似。 · 吃透相似三角形全套性质 牢记相似三角形核心性质：对应角相等、对应边成比例；拓展掌握对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；分清周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，理解相似比顺序颠倒后比值互为倒数。 · 综合计算与解题逻辑 建立完整解题思路：先利用判定定理证明三角形相似，再借助相似性质列比例方程，求解线段、高线、中线、周长、面积相关计算题；能根据周长、面积的比值反推两个三角形的相似比。 · 辨析易错点，带着疑问听课 提前区分周长、面积与相似比的换算误区，避免面积比忘记平方、由面积求相似比忘记开方；自主梳理定理证明、复杂识图、比例转化中的难点疑问，结合全等三角形知识建立迁移思维，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.平行线分线段成比例 2.相似三角形的定义 3.平行引理 4.三大相似判定定理 5.直角三角形相似判定 6.相似三角形性质 常考题型 精讲精练 1.由平行判断成比例线段 2.平行截线求相关线段长或比值 3.利用平行判定相似 4.证明三角形的对应线段成比例 5.由相似三角形的性质求解 6.相似三角形判定与性质综合 7.利用相似求坐标 8.网格中作已知三角形的相似三角形 9.相似三角形动点问题 10.相似三角形的实际应用 11.相似三角形的综合问题 强化题型 解答题8题 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点05：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 题型1.由平行判断成比例线段 【典例】如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 【跟踪专练1】如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 2.平行截线求相关线段长或比值 【典例】如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图，，，，则的长为__________． 【跟踪专练3】如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 题型3.利用平行判定相似 【典例】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 题型4.证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，，，那么与的相似比为_______．    【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，若，，，则的长为______.    【跟踪专练3】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.由相似三角形的性质求解 【典例】两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 【跟踪专练1】如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，中，，，为上一点，，若在上有一点，当__________时，与相似． 【跟踪专练3】如图，已知，若为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型6.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，在中，，则的长度为___________． 【跟踪专练1】如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 【跟踪专练2】如图，交于点，，，分别为，的中点，且．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【跟踪专练3】在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 题型7.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【跟踪专练3】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型8.网格中作已知三角形的相似三角形 【典例】如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的__________点．    【跟踪专练1】以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【跟踪专练3】如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 题型9.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【跟踪专练2】如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 题型10.相似三角形的实际应用 【典例】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【跟踪专练1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【跟踪专练3】如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 题型11.相似三角形的综合问题 【典例】已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是_________． 【跟踪专练1】如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【跟踪专练2】如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 解答题 1．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 2．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 3．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 5．如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 6．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 7．图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 8．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $