云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高一下期末数学试卷，以统计图表分析、立体几何证明、沼气发电成本优化等综合性解答题为主，覆盖集合、函数、三角、立体几何等知识，体现数据意识、空间观念与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、命题、线面关系|基础概念辨析，如函数图像变换| |多选|3/18|向量运算、概率事件|多角度考查向量共线与夹角| |填空|3/15|函数值域、圆锥与球体积|结合空间几何（圆锥轴截面）| |解答|5/77|统计（频率分布直方图）、解三角形、立体几何（二面角）、函数应用|15题统计分析数据，19题沼气成本优化建模，17题空间几何证明推理|

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高一期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数满足，则复数的虚部为 A． B． C． D． 3．若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 A． B． C． D． 6．已知，，则的值为 A． B． C． D． 7．在中，角、、的对边分别是、、，且，，，则的外接圆直径为 A． B． C． D． 8．设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列叙述正确的是 A．若，则 B．若与的夹角为锐角，则 C．若，则 D．与共线的单位向量 10．盒子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球标号为和，个红色球标号为和，从盒中依次随机摸出个球不放回设事件为“两个球颜色不同”，为“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则 A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 11．如图，在棱长为的正方体中，点，分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是 A．当，分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的值域为 ． 13．已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切设圆锥的体积、表面积分别为，，球的体积、表面积分别为，，则 ． 14．设函数若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名，将其数学成绩均为整数分成六组，，后得到的部分频率分布直方图如下： （1）求分数在区间内的频率； （2）估计本次考试的平均成绩； （3）用比例分配的分层随机抽样的方法从分数在区间内的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人的成绩在区间内的概率． 16．（15分）在中，，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求中线的长． 17．（15分）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面． （1）求证：面； （2）求二面角的余弦值． 18．（17分）设函数． （1）若不等式的解集，求，的值； （2）若， ，，求的最小值； 若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元为了节能环保，决定修建一个可使用年的沼气发电池，并入该合作社的电网修建沼气发电池的费用单位：万元与沼气发电池的容积单位：米成正比，比例系数为为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费单位：万元与修建的沼气发电池的容积单位：米之间的函数关系为为常数记该合作社修建此沼气发电池的费用与年所消耗的电费之和为单位：万元． （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值． （3）要使不超过万元，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高一期末考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C B D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案   1   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：分数在区间内的频率为． 样本平均数的近似值为． 故估计本次考试的平均成绩为分． 由题意知，分数在区间内的人数为，在区间内的人数为． 因为用比例分配的分层随机抽样的方法从分数在区间内的学生中抽取一个容量为的样本，所以需从区间内抽取人，并分别记为，； 从区间内抽取人，并分别记为，，，． 设事件“从中任取人，至多有人的成绩在区间内”， 则试验的样本空间 ， 共有个样本点． 事件， 共有个样本点． 所以． 16.（15分） 解：在中，由正弦定理得， 所以， 解得． 因为，所以， 所以，所以． 又，， 所以的面积． 解法一：在中，，， 因为是中点，所以， 由余弦定理，得． 所以． 解法二：由两边平方可得， ， 由可知，，， 所以． 所以． 17.（15分） 解：由菱形  可得  ，  面  面  ，面  面  ， 又正方形  中  ，   面  ， 又  平面  ，    ，   ，  平面  ，    面  ． 过 作  于 ，则  面  ． 过 作  于 ，连接 ， 因  平面  ，则  ， 又  平面 ，  ，故  平面 ， 又  平面 ，所以  ， 由， 故  为二面角  的平面角， 设  ，   ，  ，   ，   ， 又， 则，  ． 即二面角  的余弦值为  ． 18.（17分） 解：由的解集， 则的两根是， 所以 解得． ， ， 当时等号成立， 因为，，， 解得，时等号成立， 此时的最小值是． 在上恒成立， 又因为代入上式可得 解得：． 19.（17分） 解：的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费， 由，得， ； ，当且仅当，即时取等号． 该合作社应修建容积为米的沼气发电池，可使最小，最小值为万元； 由，得， 解得：． 的取值范围为 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $