重庆市九龙坡区2025-2026学年高二下学期期末学业质量测评数学试题

**基本信息** 以Python密钥生成、微短剧调查等真实情境为载体，通过函数导数、统计概率等综合问题设计，考查数学思维与应用能力，适配高二下学期期末测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合逻辑、排列组合、函数性质|第6题结合Python科技情境，第11题篮球训练概率体现数学眼光| |填空题|3/15|导数极值、概率计算、排列组合|第13题趣味射击概率考查数学思维，第14题志愿者分配强化应用意识| |解答题|5/77|函数导数、统计概率、回归分析|16题微短剧独立性检验与分布列，19题函数零点证明，分层设计凸显数学语言表达与创新意识|

2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高二 (下) 数学试题 (数学试题卷共 6 页, 考试时间120 分钟, 满分 150 分.) 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题 ,则 为 A. B. C. D. 2. 若一质点的位移 (单位: 米) 关于时间 (单位: 秒) 的函数关系式为 , 则该质点在 时的瞬时速度为 A. B. 2 C. D. 1 3. 已知集合 均为 的子集，且 ，则 A. B. C) D. 4. “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设随机变量 服从两点分布,已知 ,则 A. B. C. D. 6. 现用 Python 生成随机秘钥，该秘钥共 4 位，前 3 位在 1,2,3,4,5 这五个数字中进行选择(可以重复)，第 4 位要求从 ， ， 这三个字母中进行选择，则可生成秘钥的数量为 A 60 B. 75 C. 180 D. 375 7. 已知正数 满足 ,则 的最小值为 A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若函数 有 3 个零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D 二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知 ,则 A. B. C. D. 10. 已知函数 ,则 A. 在区间 上单调递增 B. 的最大值为 C. 过原点且与曲线 相切的直线方程为 D. 不等式 的解集为 11. 在一次篮球训练课上，教师为了训练学生投篮，规定:若学生出现连续 2 次投篮命中，则该学生停止投篮. 小明同学参加了本次训练，小明每次投篮的命中率为 ，且各次投篮是否命中相互独立. 则 A. 小明同学投篮 2 次就停止投篮的概率为 B. 小明同学投篮 4 次就停止投篮的概率为 C. 小明同学投篮 3 次后没有停止投篮的概率为 D. 小明同学投篮总次数的数学期望为 三、填空题: 本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数 的所有极值点之和为_____. 13. 某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定或移动目标一次，其中每轮中出现固定目标的概率为 ，此人击中固定目标的概率为 ，出现移动目标的概率为 ，此人击中移动目标的概率为 ，每轮是否击中目标相互独立. 则此人在一轮射击中击中目标的概率为_____. 14. 现有甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者将到 三个社区开展防电信诈骗宣传活动 (三个社区开展活动的时间不重复), 向市民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者选择 1 个社区或 2 个社区，且每个社区恰有 2 人选择，则不同选择方案的种数为_____. (用数字作答) 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (1)若直线 是曲线 的一条切线，求实数 的值； (2)求 的单调区间和极值. 16. (本小题满分 15 分) 某公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表: 性别 “微短剧”喜好 合计 喜欢 不喜欢 男 45 45 90 女 75 35 110 合计 120 80 200 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关？ (2)现从喜欢“微短剧”的观众样本中按分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 8 人， 进行调研，再从这 8 人中随机抽取 4 人，记这 4 人中女观众的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. (本小题满分 15 分) 某商家对其销售的一种商品的销售情况进行统计分析. (1)统计该商品在 2025 年 1-6 月的销售量如下: 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 (单位:万件) 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 已知销售量 与月份 具有较强的线性相关关系，求 关于 的经验回归方程 ,并求样本点 (2,2.3) 对应的残差: (2)经统计该商品的销售利润 (单位:万元)近似服从正态分布 ，求销售利润在 的概率. 附:回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 若 ,则 . 18. (本小题满分 17 分) 某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件, 经质检人员抽样检测发现: 甲机器生产的一批零件的合格率为 94%，乙机器生产的一批零件的合格率为 98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题. (1)现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这 2 个零件中恰有1件、 为合格品的概率; (2)若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为 97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取 件. (i) 当 时,记这 3 个零件来自甲机器生产的零件的个数为 ,求 的分布列和数学期望； ( ij ) 记其中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 取得最大值时 的值. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 . (1)求 的最小值； (2)若 恒成立，求 的最大值； (3)若 有两个零点 ，且 ，证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $