江西赣州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

赣州市2025–2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 2026年7月 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A． B． C．2 D．120 2．已知向量，，若与共线，则（ ） A． B． C． D．3 3．若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 6．战国水晶杯为战国晚期水晶器皿，于1990年出土于杭州市半山镇石塘村，现藏于杭州博物馆．整器略带淡琥珀色，局部可见絮状包裹体；器身为敞口，平唇，斜直壁，圆底，圈足外撇；光素无纹，造型简洁．战国水晶杯是迄今为止中国出土的早期水晶制品中器形最大的一件，2002年1月18日被国家文物局列入《首批禁止出国（境）展览文物目录》．整座水晶杯高15.4 cm，口径7.8 cm，底径5.4 cm，和现代人所用的玻璃杯惊人的相似．现把该水晶杯看做圆台与圆柱（杯底为实心水晶）的组合体，其中杯底座高度为0.4cm，则该水晶杯的容积（不计杯壁厚度）为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上仅有两个零点和两个最值，则实数的取值可以为 A．4 B．5 C．6 D．7 8．长方体中，，，，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的为（ ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A． B．当时， C．若，且有两解，则的取值范围是 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．平面平面 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D．当点在平面上运动时，且满足平面，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． ． 13．在正三棱柱中，点D，E，F分别为棱，，的中点，则异面直线与所成的角为 ． 14．在中，，，，D为边上除端点外一动点，延长到P，使．若，则的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为锐角，为钝角且，． （1）求的值； （2）求的值． 16．（15分）已知函数． （1）求的最小正周期和对称轴； （2）求在上的解集． 17．（15分）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，从下列条件中选择一个条件作为已知：①，②，其中S为的面积，③ （1）求角A； （2）若D为边的中点，，求的最大值． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（17分）如图，四棱锥的底面为正方形，为正三角形，平面平面，为的中点，是线段上的动点． （1）证明：； （2）若经过，，的平面与平面的交线恰好经过线段的中点，求的值． 19．（17分）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角，，的对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，且，求的值； （3）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $赣州市2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学参考答案 一、选择题 题号 2 3 6 8 9 10 11 答案 B B D A AD ACD BCD 8.【详解】法一：设E,F分别为棱BC,CD的中点， 则三棱锥M-A4N与三棱柱AEM-ANF外接球相同. 在△EAM中，AE=3,AM=√6，ME=√5， 所以AM2+ME2=AE2,即∠AME=90°， 设△E4M外接圆半径为r,则，=AE-3 22 设三棱柱ABM-4MP外接球半径为R,由勾股定理R-1F+(-星 则三棱锥M-44V外接球的表面积S=4元R'=4×13-13元. A 法二：由题意可分别计算出AM=√6，MN=√7，AN=√13， 所以AM2+N2=AN2,即∠AMN=90°，又易知∠AA,N=90°， 则AN就为三棱锥M-A4N外接球的直径， 设三棱锥M-A4N外接球的半径为R,所以R=1W-V3 2 2 所以三棱锥M-A4N外接球的表面积S=4R:=4元x3-13元.故选：A. 11.【详解】对于A,E,F分别是棱B,C,C,D,的中点，取AB的中点K,AK∥DF, KC∥AF,故面AKC∥面AFD,面AKC,∩AE=A,AE与面AFD不平行，故A 数学答案第1页（共8页） 错误； 对于B,在正方体ABCD-AB,C,D中，可得A4⊥平面ABCD,因为BDC平面 ABCD,可得A4⊥BD,又在正方形ABCD中易知AC⊥BD,AA∩AC=A, 且A4,ACC平面AACC,所以BDL平面AACC,又因BDC平面ABD, 所以平面ABD⊥平面A4CC,故B正确： 对于C,在正方体ABCD-AB,CD中，因AC∥AC,AC女平面DAC,ACC 平面DAC,故AC∥平面DAC,所以AC上任一点P到平面DAC的距离都为定值， 即点P到平面DAC的距离等于点A到平面DAC的距离， 所以瑞-4a4g=ag=64o写CDx5 1 1 为 32x×2x2=4 定值，故C正确； 对于D,当点P运动时，要始终保持AP∥平面BDFE,则点P在过点A D 且平行于平面BDFE的平面内，如图，设M,N分别是棱AB,AD的中 M 点，连接AM,AN,N,易得平面AN∥平面BDFE,可知P的轨迹 为线段MN,连接AP,AP,显然∠APA即为直线AP与平面ABCD所 成角，且tan∠APA=4=2 ，因此当AP最小即AP⊥N时，tan∠APA有最 APAP 大值2V2,此时4P=W-2 故D正确 22 二、填空题 12.-2 13.π 14.2 2 14.【详解】法一：由题意得，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系， 数学答案第2页（共8页） 所以C(0,0),A(2,0),B(0,2V5),设P(a,b),所以PC=(-a,-b),pA=(2-a,-b), 明=(a25-b,N为元=am两昼m丽所以 -a=m2-aj+}n叫j-a [a =4m 解得： b=2w56-2m）又C=6,即Va+6-6m2+123-2mF-6, 3或m-=,m时，P333,所以∠PcM=60,即∠D☑ 4 又因为∠DAC=60°，所以△ACD为等边三角形，所以AD=CA=2,所以BD=2; 3 m=三时，P(6,0),此时点D即为点A,不符合题意，故舍去，综上：BD=2. 2 法=：因为元=nA合m历，设历=c,所以而=n+}n历，又 因为A,D,B三点共线，所以m+2 m1,解得=所以D-,因为cP=6, 所以DP=4,即可得CD=2,又因为△ABC为直角三角形且AB=4=2CD,所以点D为 线段AB的中点或即为点A,又点D不与端点重合，故点D为线段AB的中点，所以BD=2. 三、解答题 5.【答案D216 3 63 【详解】(1)因为 a8-1_ tan0+1 2,所以tam6=3,即sin6=3c0s0,2分 sin= 3W10 10 又sin0+cos20=1且0为锐角，解得 cosθ= √10 ’4分 10 所以sn20=2sim0cos0=2x3V10xV10_3】 10X10536分 (2)由(1)tan0=3可求得tan20= 2tanθ3 1-tan20 4 8分 因为0x为钝角，又sino= 3'所以cosa=V-sina=-12 3 数学答案第3页（共8页） 所以tano= sina= c0S12 y10分 5 tan(a-28)= tana-tan2θ 16 1+tan a tan 20 63 13分 16.【答案】(1)T=元，x= cz:e) 十1 【详解】(1)f(x)=2W√3 sinxcosx+2sin'x=√3sin2x-cos2x+1 2sin 2r .3分 所以函数f(,)的最小正周期为T=2π=2 |02 =,5分 今2x-6 -=卫+m,kZ,解得x=+买，keZ 23 所以f(x）的对称轴为x三+TkZ分 23 2x+净2m2+9-}1-2m2x+引-12aw2-1,9分 由fx+5)>2,可得cos2x> 11分 又e0对，得r0 15分 7.【答案】DA子：2)4V 【详解】(1)选①V5sinC+cosC=c+b ,由正弦定理得： 3sin C+cosC= sinC+sin B sin A 数学答案第4页（共8页） 又B=元-(A+C),所sinB=sin(C+)=sinCcos4+cosCsinA,2分 所以V3 sinCsinA=sinC+cos AsinC, 所以V3sinA-cosA=2sim(A-乃)=1 .4分 61 因为0<4K元，所以A-元又，所以4 3 6分 66 选②由余弦定理：b+c2-a=2 be cos 4, 知SEV3b+c2-a23bcco843分 4 又S=-bcsinA,所以V5cos4=sinA,得tan4=5, 因为0<4K元，所以4=亚 56万 选国a+b c-b ,由正弦定理得： a+b c-b sinC sin A-sin B a-b 即b2+c2-d2=bc,3分 由余弦定理得：c0sA=行因为0<1K,所以4 6分 3 (法：在△MCD申，这40=90c0,学》， 则Ac AD CD 234,….8分 sinθ 2m-0) sin sin A 3 3 2 2-) 所以4C=4sn0,AD=4si 10分 所以b+c=4sin8+8sin( 27-0)=8sin8+45cos6=4万sn(0+p)≤4…l3分 (其中tanp= 5)当0十p=时取等号，所以b+c的最大位为4W厅.l5分 AD-5,在△ACD中，由余弦定理CD'=4C+AD24 化简得6bc+g-12,即46-2bc+c=48. 9分 24 令b+c=1,则4b2-2b(t-b)+(t-b)2=48,即7b2-4bt+t2-48=0,…11分 △=16t-28(t-48)≥0，解得0<t≤4W万. 13分 数学答案第5页（共8页） 当4W7时，8 AD=10 ,符合题意，14分 7 7 所以b+c的最大值为4√7. 15分 18.【答案】(1)见解析；(2) 2-3 【详解】(I)因为M为PD中点，侧面PAD是正三角形，所以AM⊥PD,1分 因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD, 又MC平面PAD,所以CD⊥M,4分 又AM⊥PD,PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD, 所以AM1平面PCD,6分 又PCC平面PCD,所以AM⊥PC.7分 (2)设线段BC中点为G,连接AG延长，与DC的延长线交于点H,连接MH与线段PC 交于点Q,该点即为符合题意的点.10分 因为G为BC的中点，CG∥DA,所以 HC CG 1 HD DA 2 所以C为HD的中点.12分 在△MDH中，过Q作QN∥DH交PD于N, 所NN,即N-N 所以QN-2N 又OWPw HD MD 2CD MD CD MD CD PD 所以2yPV MD PD 又M为PD中点，所以N-MD_1 PN 2PD 4 所以=N P≌ON2N MD=PM=3'所以P心=CD=MD=3 17分 19.【答案】(1)A= 2:2)tM=5 MB·MC 的最小值为4+25 MA 【详解】(1)因为cos2B+cos2C-cos2A=1, 所以1-2sin2B+1-2sinC-(1-2sin2A=1, 所以$inB+sinC=sin2A,由正弦定理，所以b2+c2=a2,2分 数学答案第6页（共8页） 由勾股定理，所以A=刀 .4分 (2)因为A=子即△4BC是直角三角形， 由费马点定义知，∠AMB=∠BMC=∠AMC= 2n 3 设M☑4=m,M@=n,MC=t,m>0,n>0,≥0， MA.MB+MB.MC+MA.MC=mmn.co 2π+t.c0 +M.cos2-1. 2 3 3 所以n+nt+1mt=2....... .5分 由S△ABC=S△AMB+S△BMC+S△AMc得： -nt· ,?s40m+m+m0=3 因为c=1,所以b=3,a=√b2+c2=2,… 7分 i设∠MBA=9,所以∠BAM=∠MBC=T-日，∠BCM=6, 3 法一：易得△CBM∽△BAM,所以 BM CB AM AB 2 8分 -0 在△BAM,由正弦定理可得 BM_sin∠BAM 3 =2 .9分 AM sin∠MBA sine 即sin 3 /2n6,即 cos0-1、 n8=2sin6,解得tam6=V5 2 即tam∠MBA= 3 .10分 AB BM 法二：在△B4M,由正弦定理得 sin∠AMB sin∠MAB 2sin 所以、 BM 3 得到BM= 2元 8分 sin sin -8 3 数学答案第7页（共8页） BC BM 在△MBC中，由正弦定理得 sin∠CMB sin∠MCB BM 所以2元9 ,得到BM= 4sin .9分 3 11n 3 2sin (θ (3 4s1n0 所以一 3 所以 cos0-n0=2ain9,即5 0s0= 5 sin, 3 2 2 所以tam6=V ,即tan MBA=5 …10分 (3)因为M为△ABC的费马点，所以∠B=∠BMC=∠CA=2 设M=4MA,MC=4A,wM=x,0,心0,0，所以M@:MC. MA 在△M4B中，由余弦定理可得4B:=r+x-2xcos2红=(a2+元+1)x, 3 在△MAC中，由余弦定理可得AC2=x2+x2-2ux2co 2=d+u+0x, 在△MBC中，由余弦定理得BC2=2x+x-2x2cos2红=(a+2+0x2, 3 又AC2+AB2=BC2,所以(2+4+1)x2+(22+元+1)x2=(22+42+元)x 所以元十儿+2=，14分 又>0，l>0,所以2=元+l+2>2√+2,15分 解得√≥1+V5或√≤1-5（舍去），即≥4+25 16分 当且仅当2=4，即元==1+√3时等号成立， 所以：MC的最小值为4+25. 17分 MA 数学答案第8页（共8页）