江西省赣州市某中学2024-2025学年高一下学期数学期末复习卷二

赣州市赣县中学2025年春学期高一数学期末复习卷二 一、单选题 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C．3 D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若锐角，满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．设向量满足，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C．2 D．1 8．取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量与满足，且，则下列说法正确的是（   ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若向量与向量共线，则 10．在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 11．已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（   ）． A． B． C．若，则 D． 三、填空题 12．已知向量，，，则 . 13．已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ． 四、解答题 15．已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． 17．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． (1)求角B； (2)若边上的点D满足，，求的面积． 18．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 19．设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 赣州市赣县中学2025年春学期高一数学期末复习卷二参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B B C A BD ACD 题号 11 答案 BCD 8．【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，， 连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 因为棱长为4，可知，，． 过点B作于点C，则，，四边形为矩形，即，，则，即该“四角反棱柱”外接球的半径， 故该“四角反棱柱”外接球的表面积为， 11．BCD【详解】如图，过点作轴的垂线，垂足为，，， ，，所以， 由，则，所以， ，又，即，， ，即，故A错误，B正确； 对于C，令，则或， 解得或，，，故C正确； 对于D，是周期为4的函数，所以周期为12， 则， ，，， ，，，， ，故D正确. 12． 13． 14． 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心，取的中点，则，， 设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：，可得，即， 又因为平面，平面，则，可得，可知点在以点为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆相交，设圆与交于两点，则， 可知为等边三角形，则，结合对称性可知点运动路径的长度为. 15．【详解】（1）， （2）. （3）， 由题意知且向量与不同向共线，所以， 当向量与同向共线时，，即得， 解得（负值舍去）.所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 16．【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，． （2）由（1）知，，将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，∵，则， ∴，则，∴在上的值域为． 17．【详解】（1）在中，利用正弦定理可得：， 又，则， 则，即， 因，则，则，又，则. （2）因，则 两边平方得：，又，则，则， 在中，由余弦定理得，化简得 则，即，得或， 当时，，则； 当时，，，则． 18．【详解】（1）取中点，连接.因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以，又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为.因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，所以为与平面所成的角.因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，，过点作，垂足为，连接.由（1）知，平面，所以平面.又，平面，所以，.因为，，平面，所以平面.又因为平面，所以，所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以，所以在中，，由（2）知，平面，又平面，所以.在中，，即，解得， 在中，，所以二面角的平面角的正弦值为. 19．【详解】（1）如下图所示：由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立，则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 学科网（北京）股份有限公司 $$