新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年第二学期期末监测高一数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷以向量共线、概率应用、立体几何证明等问题为载体，通过分层设计考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配学段核心素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量性质、复数几何意义、解三角形|基础概念辨析，如单位向量性质判断| |多选题|3/18|复数运算、统计图表分析|结合折线图考查数据稳定性（乙同学阅读时间）| |填空题|3/15|向量夹角、概率公式、几何体体积|圆锥挖圆柱体积计算，体现空间观念| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、统计概率、立体几何|统计题（频率分布直方图）考查数据处理，立体几何题（四棱锥证明）发展逻辑推理|

2025-2026学年第二学期期末监测卷 高一 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校，班级，姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（每小题5分，共计40分） 1．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（    ） A．2 B． C． D． 4．在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（     ） A． B．或 C． D．或 5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（     ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 6．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选不得分，选不全得3分，共计18分） 9．已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 10．某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动.如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（   ） A．甲同学阅读时间更加稳定 B．乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间 C．乙同学阅读时间的极差为20 D．甲同学阅读时间的75%分位数为25 11．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中（     ） A．与异面 B．平面 C．平面 D．平面与平面的夹角为 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 13．设随机事件满足， 则_______． 14．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为___________． 四、解答题（共计77分） 15．（13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与夹角的余弦值． 16．（15分）在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 17．（15分）期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； (3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率. 18． （17分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，， 为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 19．（17分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共4页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学期末考试卷 双向细目表 考查范围：平面向量、复数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 零向量与单位向量,相等向量,平行向量（共线向量） 2 容易 共轭复数的概念及计算,判断复数对应的点所在的象限,复数的乘方 3 适中 已知向量共线（平行）求参数 4 容易 正弦定理解三角形 5 容易 判断所给事件是否是互斥关系,互斥事件与对立事件关系的辨析 6 适中 独立事件的乘法公式,互斥事件的概率加法公式 7 适中 平面向量共线定理的推论,用基底表示向量 8 适中 圆台表面积的有关计算,球的表面积的有关计算 二、多选题 9 容易 共轭复数的概念及计算,求复数的模,判断复数对应的点所在的象限,求复数的实部与虚部 10 适中 计算几个数的平均数,总体百分位数的估计,计算几个数据的极差、方差、标准差 11 适中 判断线面平行,异面直线的判定,求二面角,判断线面是否垂直 三、填空题 12 容易 平面向量数量积的定义及辨析 13 容易 概率的基本性质 14 适中 锥体体积的有关计算,圆锥的展开图及最短距离问题,求组合体的体积 四、解答题 15 容易 向量夹角的坐标表示,坐标计算向量的模,向量垂直的坐标表示,由向量共线（平行）求参数 16 适中 余弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 17 容易 由频率分布直方图估计平均数,由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,利用概率的加法公式计算古典概型的概率 18 适中 求线面角,证明线面平行,证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直 19 适中 独立事件的乘法公式,利用对立事件的概率公式求概率 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末监测卷 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A C B C AD BD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误； B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误； C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误； D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确． 2．B 【分析】先化简计算复数，再根据共轭复数的定义和复数的几何意义求解. 【详解】， 则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 3．B 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 4．D 【分析】根据，利用正弦定理求解. 【详解】解：在中，， 由正弦定理得， 所以， 所以 或， 故选：D 5．A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 6．C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 7．B 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线向量定理的推论列式求解. 【详解】在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得， 则，即， 而，，则， 由共线，得，所以. 8．C 【分析】根据球体内切于圆台的两个底面与侧面可知上下底面半径之和为圆台母线长，利用圆台侧面积公式、球体的表面积公式分别求出圆台的侧面积和球体表面积，再作比值即可. 【详解】由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可. 如图，于，则，， 由切线长相等可知，，， 所以， 故圆台侧面积， 再算球的半径，在中由勾股定理求解即可. 设球的半径为，则， 在中，，即， 所以球的表面积， 故该圆台的侧面积与球的表面积之比为． 9．AD 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10．BD 【详解】甲同学阅读时间从小到大排列为， 乙同学阅读时间从小到大排列为， 则甲同学的平均阅读时间为， 乙同学的平均阅读时间为， 故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间，B正确； 甲同学的阅读时间的方差为 乙同学的阅读时间的方差为， 因为，所以乙同学阅读时间更加稳定，故A错误； 乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 因为，所以甲同学阅读时间的75%分位数为第个数，故D正确. 11．ABD 【分析】将展开图还原为正方体，根据异面直线、线面平行、线面垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】将展开图还原为正方体，如下图所示， 由图可知，与是异面直线，A选项正确. 根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，所以B选项正确. 由于与所成的角为，所以与平面不垂直，C选项错误. 平面即平面，根据正方体的性质可知， 平面与平面的夹角为，D选项正确. 12．6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 13． 【分析】根据随机事件概率的加法公式直接计算即可. 【详解】由题意得． 故答案为： 14． 【分析】先利用圆锥侧面展开图，结合“底面周长 = 展开图弧长”的关系，求出母线长，再通过勾股定理算出圆锥的高并用相似三角形求圆柱高度，最后根据几何体的体积等于圆锥体积减去圆柱体积，分别代入圆锥和圆柱的体积公式，计算后得到最终结果. 【详解】设圆锥的母线长为，圆锥的高为， 因为圆锥侧面展开图的圆心角为， 所以，所以，圆锥的高， 设圆柱的高为，则，解得， 所以该几何体的体积为． 故答案为：. 15．(1) (2)． 【分析】（1）由向量垂直关系求得，再由模长公式即可求解； （2）由平行关系求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 则，故． （2）因为，所以， 解得，则， 所以， 即与夹角的余弦值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理边角转化可求得的值，进而求得的大小； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解可得的值，进而求得三角形周长. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. （2）因为，，且，即，则 又因为的面积为，即，则， 可得，即， 所以周长. 17．(1) (2)（分） (3) 【分析】（1）根据频率之和为1求解即可； （2）根据求解即可； （3）由频率分布直方图知样本成绩属于第六组的有（人），设为，样本成绩属于第八组的有（人），设为，，再用列举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：； （2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； （3）由频率分布直方图知， 样本成绩属于第六组的有（人），设为， 样本成绩属于第八组的有（人），设为，， 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有 ，，，，， ，，，，共10种， 其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有 ，，， ，，共6种， 所以他们的分差的绝对值大于10分的概率. 18．(1)证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． （3）因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期末监测卷 高一数学答题卡 准考证号 姓 名 000□0☐010]0☐0□0 班 级 1□1□1口1□1□1□101□1□ 2222]2222☐2 3]3333]33]33 考 场」 4 4 4☐44☐4☐4☐44 5 515]5]5☐5☑515I5 6 6]6]6]6]6]6]6]6] 座位号 7 7 17777777 8888]88888] 9]99□999n9]9□9 注 选择题部分用2B铅笔填涂：非选择题部 分用0.5毫米的黑色签宇笔书写。 意 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 条码粘贴区 事 3、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破， 禁用涂改液，涂改胶条。 项 缺考标记口 填涂样例 正确填涂一 错误填涂☑区一中 是否作弊☐ 一、二、选择题（第1-8题每小题5分，第9-11题，每小题6分） 1 A]B]C]D] 5A][B]C]D] 9A]BCD] 2ABC]D 6AB]CD 10A]B][C]D 3 [A[B[C[D] 11A]B]C]D 4A1B1C1D] 8A▣BCD] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共计77分） 15、(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 理科数学答题卡第1页共2页 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16、(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17、(15分) ◆频率 组距 0.030 0.020 0.016 0.012 0.006 0.004 0 65758595105115125135145分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18、(17分) P E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 理科数学 答题卡第2页共2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19、(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2025-2026学年第二学期期末监测卷 高一数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校，班级，姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦 千净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（每小题5分，共计40分) 1.下列命题正确的是() A.单位向量都相等 B.若aIb,b‖c,则aId C.零向量没有方向 D.若d=b,则alb 2.复数z=2+3+32的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设e,e2是两个不共线的向量，若向量m=-e+ke2与n=e2-2e共线，则k=() A.2 B. C.-2 D 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边为4，b,c,若a=4,b=4v3,A=30°，则B=() A.30° B.30°或150° C.60 D.60°或120° 5.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事 件是() A.“恰有一名男生”和全是男生” B.至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生 D.至少有一名男生和全是女生” 6.现要举办A,B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A,活动A失误的概率为， 不失误的概率为若活动A没有失误，则活动B失误的概率为好，不失 误的概率为：若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则 这两个活动有且仅有一个失误的概率为() 1 A.6 B.3 D. 3 6 第1页共4页 7.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、 AC于点M、N.设AB=mAM,AC=2nAN,则m十n的值为() A.1 B是 C.2 D.3 8.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台 的侧面积与球的表面积之比为（) 8 B. C. D.- 8 4 二、多选题（每小题6分，有错选不得分，选不全得3分，共计18分) 9.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则() A.z的实部是-1 B.z的虚部是-2 C.z=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 10.某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活 频率组距 动如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图， 30 25 根据该折线图，下列结论正确的是() 20 1 A.甲同学阅读时间更加稳定 10 B.乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间 5 1234567日期 C.乙同学阅读时间的极差为20 D.甲同学阅读时间的75%分位数为25 11.在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中() A.EF与GH异面 B.DG//平面AEF C.BH⊥平面HGC D.平面DGF与平面ACD的夹角为 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知向量=2=2，且向量à与向量的夹角为号则(2)-(30= 13. 设随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(AB)= 则P(AUB)= 。 14.某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图 所示，已知该圆锥的底面半径R=2,圆柱的底面半径r=1,且圆锥侧面展 开图的圆心角为π，则该几何体的体积为 第2页共4页 四、解答题（共计77分） 15.(13分)已知向量a=(1,2),五=(2，x). (1)若a1b,求a+: (2)若c=(-1,2),b/,求a与b夹角的余弦值. 16.（15分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 acosC+c=2b (I)求角A的大小： ②)若a=V3,三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长 17.(15分)期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成 绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二 组[75,85)，…，第八组[135,145].如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分 (I)求第七组的频率； ◆频率 组距 (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考 0.030------------- 试成绩的平均分： 0.020 (3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学 0.016 生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大 0.012 于10分的概率 0.006 0.004F--- 065758595105115125135145分数 第3页共4页 18.（17分)如图，四棱锥P一ABCD中，PD1平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=2, E为PC中点. (1)求证：PA//平面BDE; (2)求证：DE1平面PCB: B (3)求直线PA与平面PBD所成角的大小. D----- B 19.（17分)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过： 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是影？品，且三门课程考试是否及格相互之 间没有影响.求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 第4页共4页