2026-2027学年高二数学上学期----导数在研究函数中的作用

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数的关系”，通过复习定义法、图象法判断单调性的局限，以eˣ - x单调性问题导入，结合高台跳水实例引导观察导数正负与函数增减的联系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于从现实情境抽象数学关系，通过多个函数实例归纳推理，体现数学眼光与思维。规范“定义域、求导、判符号、定单调”步骤培养数学语言表达，学生能提升直观想象和逻辑推理能力，教师可借助结构化流程和实例提高教学效率。

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 普通高中教科书人教A版 数学选修第二册 在之前的学习中，判断函数单调性的方法有哪些？ 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 定义法 图象法 严谨，但遇到复杂函数， 计算繁琐. 不易计算. 直观，但复杂函数的图象较难画出，并且画图容易出错，不够精确. 在的单调性? 1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2、能利用导数研究函数的单调性. 3、对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 学习目标 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 【探究】图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象. 是函数的零点. 【问题1】运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 图(2) 图(1) 通过观察图象，可以发现 （1）运动员从起跳到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加. 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 即单调递增，相应地，； （2）从最高点到入水，离水面的高度随时间的增加而减小. 即单调递减，相应地，. 【问题2】我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系. 那么，能否由的正负来判断函数的单调性？ 从跳水问题中能发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系？ 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 【思考】这种情况是否具有一般性呢？ 当时,, 函数的图象是“下降”，函数在内单调递减. 当时,, 函数的图象是“上升”，函数在内单调递增； 下列几个函数的单调性和导数的正负有关系吗？ 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 7 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 在上，单调递增. 在上， 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 在上，单调递减. 在上，单调递增. 在上，, 在上，. 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 在上，单调递增, 在上，单调递增. 在上，, 在上，. 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 在上，单调递减, 在上，单调递减. 在上，, 在上，. 11 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 【思考】能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？ 导数表示函数 在点处的切线的斜率. f (x0)>0 f (x1)<0 f (x)在x1附近单调递减 f (x)在x0附近单调递增 12 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 一般地，函数的单调性与导函数的正负具有如下关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减. 函数的单调性与导数的关系： 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 不一定. 思考2：在区间内，若，则在此区间上单调递增，反之也成立吗? 例如：在上为增函数，但其在处的导数等于零． 是在某个区间上单调递增的充分不必要条件. 函数在这个区间上是常数函数. 思考1：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性? 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 【例1】求 在的单调性。 解: ∵ ， ∴ ， ∴ 在单调递增. 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 【例2】利用导数判断 的单调性。 和 不能用∪，解释一下 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 ⟹ 单调递增， ⟹ 单调递减. 注：单调区间不以“并集”出现. 判定函数单调性的步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求导数； (3) 判定导数的符号； (4) 确定函数的单调性. 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数； ③ 判定导数的符号； ④ 确定函数的单调性. 在某个区间内, 跳水问题 一般函数 函数单调性与导数符号的关系 判定函数单调性的步骤 复习回顾 作业布置 新知探究 例题分析 课堂小结 算一算 画一画 尝试画出满足下列条件的一个函数图象： 当时， ； 当或时， ； 当或时， 课本97页复习巩固1、2； 课本99页综合运用12； 课本99页拓广探索13. 谢谢！ 普通高中教科书人教A版 数学选修第二册 $