5.3.1利用导数研究函数的单调性 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1利用导数研究函数的单调性 对点训练（学生版） 必备知识： 【1】函数的单调性与导数的关系：定义在某个区间内的函数 的正负 的单调性 单调递增 单调递减 提醒：在区间内，（或）是在区间上单调递增（或减）的充分不必要条件.如是上的可导函数，也在上单调递增，但当时，. 【2】利用导数判断函数单调性的步骤： （1）确定函数的定义域，求导数； （2）确定在定义域内的符号，在此步中，需要对导数进行通分、因式分解等变形； （3）得出结论. 【3】求函数 单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调区间. 【4】讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数在某一区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数的单调区间，实质上就是解含参数的不等式,. 【5】已知函数单调性求参数的方法 （1）在上单调递增（减）等价于在上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立. （2）若函数在区间上不单调，则转化为在上有解 对点训练： 一、单选题 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 4．设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 5．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 7．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 11．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数，则函数的单调增区间为 ． 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 16．已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 17．已知函数.讨论的单调性. 18．讨论函数的单调性. 19．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1利用导数研究函数的单调性 对点训练（详解版） 必备知识： 【1】函数的单调性与导数的关系：定义在某个区间内的函数 的正负 的单调性 单调递增 单调递减 提醒：在区间内，（或）是在区间上单调递增（或减）的充分不必要条件.如是上的可导函数，也在上单调递增，但当时，. 【2】利用导数判断函数单调性的步骤： （1）确定函数的定义域，求导数； （2）确定在定义域内的符号，在此步中，需要对导数进行通分、因式分解等变形； （3）得出结论. 【3】求函数 单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调区间. 【4】讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数在某一区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数的单调区间，实质上就是解含参数的不等式,. 【5】已知函数单调性求参数的方法 （1）在上单调递增（减）等价于在上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立. （2）若函数在区间上不单调，则转化为在上有解 对点训练： 一、单选题 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 2．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 4．设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 5．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、充要条件的证明 【分析】求出函数的导数，将问题转化为在上恒成立，求出的范围，与进行比较判断即可. 【详解】函数在上单调递增的充要条件为在上恒成立. ，因此需要在上恒成立，即在上恒成立. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 所以“”是“在上单调递增”的充要条件， 故选：C. 6．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 7．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数， 又，所以是以为周期的周期函数， 所以， ， ， ，即， 因为，， 所以，综上可知， 因为， 所以当时，，则，单调递减. 所以，即. 故选：D 8．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可． 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 二、多选题 9．已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由函数的单调区间求参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据函数导数和函数单调性之间的关系，通过函数单调性，判断导函数值恒大于0，进而根据二次函数性质，判断结果. 【详解】由题意知函数定义域为， 由可得， 当函数在单调递增时，即二次函数在上恒大于或等于0， 则必有，所以A，C正确； 如图，当时也满足题意， 所以，，B错误，D错误； 故选：AC. 10．定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 11．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由可以判断项，令，通过单调性可以判断C项． 【详解】，且，， ，即在上是减函数， 又，，，B、D正确， 令，则， ，在上是减函数， 由，得，故C正确. 故选：BCD 三、填空题 12．函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 13．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 14．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对求导，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，求出函数的最小值即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)单调递减区间为，递增区间为； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，定义域为R， ，令，即， 令，即，令，即， 所以函数的单调递减区间为，递增区间为； （2）函数的定义域为，又， 令，得，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，利用三角恒等变换化简得到，再令 ，可得函数 的单调递增区间是 【详解】当时，，则， 令 ，得到 解得： ， 所以函数 的单调递增区间是 17．已知函数.讨论的单调性. 【答案】在和上单调递增. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过求导判断函数单调性即可. 【详解】函数的定义域为. . 因为，所以，，所以. 所以在和上单调递增. 18．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 19．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $