第一章四边形中考真题专练（暑假专题训练1）2025-2026学年八年级下册数学（湘教版）

**基本信息** 精选2026年多地区中考真题，系统覆盖四边形章节核心考点，注重几何直观与推理能力培养 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|6题|多边形内角和、对称性判断|从一般四边形到特殊四边形的概念递进| |性质应用|8题|菱形矩形计算、折叠问题|特殊四边形性质与勾股定理、方程思想结合| |推理证明|9题|平行四边形菱形判定、中点连线|判定定理与性质定理的双向应用| |综合探究|3题|动态几何、多步推理|空间观念与逻辑推理的综合运用|

2026年八年级下册数学（湘教版）第一章四边形中考真题专练（暑假专题训练1） 一、单选题 1．（2026·广东·中考真题）某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川巴中·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川广元·中考真题）如图，，经过正五边形的两个顶点，且，若，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川巴中·中考真题）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·云南·中考真题）在矩形中，若，则________． 10．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点E，则____． 11．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形中，厘米，厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接，将沿着直线折叠，顶点B的对应点是点F，连接．当是直角三角形时，则t为_______秒． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 13．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．    15．（2026·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，分别以B，C两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点P，则点P到所在直线的距离为_____． 16．（2026·广东·中考真题）如图，在四边形中，，连接，，，点，，分别是，，的中点，连接，，，则_____． 17．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 18．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 三、解答题 19．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，中，、分别垂直对角线于点、．求证：． 20．（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 21．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 22．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度； (2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 23．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状并说明理由． 24．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 25．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 26．（2026·重庆·中考真题）综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 27．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 28．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 29．（2026·新疆·中考真题）如图，在中，点E，F在对角线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 30．（2026·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，找一个格点，画一个以点，，为顶点的等腰三角形． (2)在图②中，找一个格点，画一个以点，，，为顶点的平行四边形． 31．（2026·广西·中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 32．（2026·四川广元·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：在边上作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 33．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，．求的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 3 4 5 6 答案 D B & 9.7 【详解】解：，四边形ABCD是矩形，AC,BD为矩形的两条对角线， .AC=BD. ,AC=7, .BD=7 10.1 【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解. 【详解】.四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AB=CD=3, ∴.∠EAB=∠DEA, ,EA平分∠DAB, .∴.∠DAE=∠EAB, ∴.∠DAE=∠DEA, .'AD=DE=2, ∴.EC=CD-DE=1. 1.15或3号或3 【分析】根据折叠的性质可得AF=AB=6,EF=BE=2t,∠AFE=∠B=90°，分 ∠EFC=90°，∠CEF=90°和∠FCE=90°三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角 三角形的性质建立方程求解即可 【详解】解：由折叠的性质可知，AF=AB=6,EF=BE=2t,∠AFE=∠B=90°， ,四边形ABCD是矩形， ∠B=90'AC=RVAB2+BC2=V62+82=10' ,点E在线段BC上， ∴.EC=BC-BE=8-2t 当△EFC是直角三角形时，分三种情况讨论： 答案第1页，共2页 ①当∠EFC=90时，，∠AFE=90°， ∴.∠AFE+∠EFC=180°， A,F,C三点共线， .FC=AC-AF=10-6=4, 在Rt△EFC中，由勾股定理得EF2+FC2=EC2即(2tY+4?=(8-2t, 解得t=1.5: ②当∠CEF=90°时， B .EF⊥BC, ∴.∠BEF=90°， 由折叠可知∠AEB=∠AEF, ·∠AEB= ∠BEF=45°， 2 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠AEB=45°， ∴.∠BAE=∠AEB, ..BE=AB=6, .2t=6, 解得t=3: ③当∠FCE=90°时，此时FC⊥BC,即点F在CD边上， 在Rt△ADF中，斜边AF=6,直角边AD=BC=8, ..AF<AD. ∴此种情况不存在。 答案第2页，共2页 综上所述，t的值为1.5或3 12.6 【分析】连接CD,利用三角形中线的性质先后求得S△ACD=2 SA ADE=6, S△BcD=S△ACD=6,再利用三角形中位线的性质求得DE‖BC,即可得到△BCF的面积 是6. 【详解】解：连接CD, D B ,点E是AC的中点， .S△4CD=2S△ADE=6, :点D是AB的中点， ∴SABD=SAACD=6, D,E分别是AB,AC的中点， .DE‖BC, ∴.S△BCr=S△BCD=6,即△BCF的面积是6. 13. 10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AO,再由矩形的性质得到 AO=BD=10cm,AB=AO=10cm. 【详解】解：，AE垂直且平分线段BO, ∴.AB=AO, ,四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O,BD=20cm, :A0=号AC=2BD=10cm, 2 ..AB=AO=10 cm. 14.10 答案第3页，共2页 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长CD,再根据 线段垂直平分线的性质得出CF=BF,从而将△CDF的周长转化为CD+BD进行计算 【详解】解：，四边形ABCD是菱形，AC=2V7,BD=6 AG L BD,OG-TAG-87,OD-BD-3 在Rt△COD中， 由勾股定理得CD=0C'+0D2=V7+32=4 ,EF是线段BC的垂直平分线 ∴.CF=BF .∴.△CDF的周长为：CD+DF+CF=CD+DF+BF=CD+BD=4+6=10: 15.4-7 【分析】连接PB,PC,过P作PE⊥BC,延长EP交AD于点F,如图，根据题意可得， PB=PC=AB=4,可得E为线段BC的中点，根据勾股定理求得PE的长度，即可求解. 【详解】解：连接PB,PC,过P作PE⊥BC,延长EP交AD于点F,如图， F 由题意可得，四边形ABEF为矩形，PB=PC=AB=4, 则EF=AB=4,E为线段BC的中点，即BE=BC=3, 线段PF的长为点P到AD所在直线的距离， 由勾股定理可得，PE=PB2-BE=7 .PF=EF-PE=4-7, 则点P到AD所在直线的距离为4-V7 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解 题意，作出辅助线，构造出直角三角形 16.2 【分析】利用三角形中位线定理求得EF,FG的长及EF‖AB,FG‖CD,再利用平行线 答案第4页，共2页 的性质求得∠EFG=90°，最后利用勾股定理求解. 【详解】解：·点E,F分别是AD,BD的中点， ∴.EF是△ABD的中位线， ∴.EF|AB,EF=AB=L, .∴.∠EFD=∠ABD=20°， '点F,G分别是BD,BC的中点， .FG是△BCD的中位线， .FG CD,FG=1CD=1, ∴.∠BFG=∠BDC=110°， ∴.∠DFG=180°-∠BFG=180°-110°=70°. .∴.∠EFG=∠EFD+∠DFG=20°+70°=90°， 在Rt△EFG中，EG=VEF2+FG=12+1P=V2 17.6V5或12V2/12V2或6V5 【分析】本题需分两种情况讨论，点F在线段BC上和点F在BC的延长线上，设菱形边长 为未知数，利用勾股定理列方程求解即可 【详解】解：设菱形ABCD的边长为Q, .AD‖BC,CD=AD=a, :点E是AD的中点， ·DE=2a DE=3CF, .'.CF=DE=a 361 .EF⊥BC, .∴.EF为平行线AD与BC之间的距离，即EF=4V10 分两种情况讨论： 情况1：点F在线段BC上， 过点E作EH‖CD,交直线BC于点H 答案第5页，共2页 :AD BC EH‖CD H ∴.四边形EHCD是平行四边形， ..EH=CD=a,CH=DE=1 0, FH=CH-CF=1a-1。=1 2-6a= 603a, 又.EF⊥BC .∴.∠EFH=90°，△EFH为直角三角形，EF=410, 在Rt△EFH中，由勾股定理FH+EF2=EH,得 112 3a+410=a +160=a2 9 8d=160 9 a2=180 a>0, .a=V180=6V5. 情况2：点F在BC的延长线上， D FH=GH+CF=a+片 12 +a-a H 在Rt△EFH中，由勾股定理FH+EF=EH,得 a+L4IY-o 12 答案第6页，共2页 4d2+160=a 5d=160 9 a2=288 a>0, ∴.a=V288=12V2. 18. OB=OD(答案不唯一) 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且AO=CO,只 需证明四边形ABCD是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形. 【详解】解：添加条件OB=OD即可， .AO=CO,OB=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴.平行四边形ABCD是菱形 故可添加为OB=OD(答案不唯一)· 19.证明：，AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠AEB=∠CFD=90, ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB‖CD ∴.∠ABE=∠CDF .△ABE≌△CDF AAS ..AE=CF. 【分析】根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF AAS. 【详解】略 20.证明：点F是BC的中点， ∴.BF=CF ,点E,G分别是边AB,CD的中点， ..BE=-AB,CG=-CD 2 2 答案第7页，共2页 ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°， ∴.BE=CG, 在△EBF和△GCF中， BF=CF ∠B=∠C BE=CG ∴.△EBF≌△GCF SAS. 【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出BP=CP,∠B=∠C,BE=CG,再利用 SAS证明三角形全等即可. 【详解】略. 21.证明：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 在△DAE和△ABF中， AD=BA ∠DAE=∠ABF AE=BF ∴.△DAE≌△ABF SAS. 【分析】根据正方形的性质，结合“SAS”证明全等即可. 【详解】略 22.(1)1 (2)证明：法一：.△ADP沿AP翻折得到△ADP, D D' ..AD=AD=1,DP=DP=1 ∴.AD=AD=DP=DP ∴.四边形ADPD是菱形， 又，四边形ABCD是矩形， .∠D=90, 答案第8页，共2页 .四边形ADPD是正方形： 法二： ,四边形ABCD是矩形， D D B .∠D=90° 又，△ADP沿AP翻折得到△ADP, .∠ADP=∠D=90°，∠DAP=∠DAP, .DP=AD=1, .∠DAP=45°， .∠DAP=∠DAP=45°， .∠DAD=2∠DAP=90°， 四边形ADPD是矩形， 又，DP=AD ∴.四边形ADPD是正方形： (3)0≤d≤2 【分析】(1)根据翻折得到AD=AD=1: (2)根据翻折得到AD=AD=1,DP=DP=1,则AD=AD=DP=DP推出四边形 ADPD是菱形，最后根据∠D=90°得到四边形ADPD是正方形： (3)①当B'与D重合时，此时d=0最小.②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时，根 据折叠证明四边形ABCD是矩形，得到d=BD=AC=2,此时最大，即可得到点B与 点D之间的距离为d的取值范围0≤d≤2 【详解】(1)解：△ADP沿AP翻折得到△ADP, ..AD=AD 又AD=1, .AD=1: （2)略 (3)解：①当B'与D重合时， 答案第9页，共2页 D' B 此时d=0 ②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时， B' D C(P) A(O) B D' :四边形ABCD是矩形，AB=3、AD=1, ∴.∠ADC=∠ABC=90°，CD=AB=3,AD=BC=1, ·AC=VAB2+BC2=3+12=2 由折叠可得 AD=AD=1,AB=AB=3,CD=CD=3,CB=CB=1, ∠ADC=∠ADC=90°，∠ABC=∠ABC=90°， ..CB=AD=1,AB=CD=3, ∴.四边形ABCD是平行四边形， :∠ADC=∠ADC=90, .平行四边形ABCD是矩形， ..B D=AC, ..d=B D=AC=2. .0≤d≤2 23.(1)证明：AF‖BC, .∠EAF=∠EDC,∠EFA=∠ECD, ,点E是线段AD的中点， ..AE=DE; 答案第10页，共2页 在△AEF和△DEC中， ∠EAF=∠EDC ∠EFA=∠ECD AE=DE .△DEC≌△AEF AAS: (2)解：四边形ADBF是矩形，理由如下： ,在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, AD⊥BC,CD=BD .∠ADB=90°： 由(1)得△DEC≌△AEF, .AF=CD, ∴AF=BD :AF‖BC,即AF‖BD .四边形ADBF是平行四边形， 又.∠ADB=90, .平行四边形ADBF是矩形. 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠EAF=∠EDC,∠EFA=∠ECD,由线段中 点的定义可得AE=DE,即可证得结论； (2)由三线合一定理得到AD⊥BC,CD=BD,可得∠ADB=90°，结合全等三角形 的性质可得AF=BD,由已知可得AF‖BD,可得四边形ADBF是平行四边形，结合矩形 的判定即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 24.(1)证明：∠ABC+∠BAD=180°， .AD BC, AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形， :AD‖BC,BD平分∠ABC, .∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CBD .∠ABD=∠ADB. .AB=AD, 答案第11页，共2页 ∴.四边形ABCD是菱形： (2)60° 【分析】(1)根据∠ABC+∠BAD=180°，得到AD‖BC,进而得到四边形ABCD是 平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出∠ABD=∠ADB,进而得到 AB=AD,即可得证； (2)根据角的数量关系，和差关系求出∠BAD的度数，再根据菱形的性质，即可得出结 果 【详解】(1)略 (2)解：，∠ABC+∠BAD=180°，∠BAD=2∠ABC, .3∠ABC=180°， ∴.∠ABC=60°， .∠BAD=120°， ,四边形ABCD是菱形， .∠BCD=∠BAD=120°， ·∠ACB=7∠BCD=60°， 25.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,即AD‖CE ∴.∠DAO=∠CEO,∠ADO=∠ECO, ,O是CD的中点， ..DO=CO. 在△AOD与△EOC中， , ∴.△AOD≌△EOCAAS, ∴.AD=CE, 又，AD‖CE, ∴.四边形ACED是平行四边形 (2)16 【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AD‖CE,进而推出两组内错角相等，再 结合O是CD中点即DO=CO,证明△AOD≌△EOC AAS,得AD=CE,依据“一组 答案第12页，共2页 对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形ACED是平行四边形： (2)由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD,结合(1)中AD=CE得BC=CE,即C 为BE中点，由此求出CE,再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AC,最后根 据平行四边形周长公式计算四边形ACED的周长即可. 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD. 由(1)得AD=CE, .BC=CE,即C为BE的中点， .BE=8,∠BAE=90°， CE-BE=4.AC=BE-4. ,四边形ACED是平行四边形 ,四边形ACED的周长=2AD+AC=2×4+4=16 26.(1)解：作图如下： B (2)证明：由作图知，BE是∠ABC的平分线， .∠ABE=∠CBE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC .∠AEB=∠CBE, .∠AEB=∠ABE, ∴AB=AE DE=AD-AE. .DE=BC-AB. 【分析】(1)按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可： (2)由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得AB=AE,从而可证明猜想. 【详解】(1)解：略： 答案第13页，共2页 （2)证明：略 27.(1)如图，点D即为所求： B (2) 证明：，AE‖BC, ∴.∠ADB=∠CBD .BD平分∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD .∴.∠ADB=∠ABD .∴AB=AD .AB=BC .AD=BC ,AEBC,即ADBC ∴四边形ABCD是平行四边形， 又，AB=BC, 四边形ABCD是菱形， 【分析】(1)根据作角平分线的尺规作图方法作出∠ABC的平分线与AE的交点即为点 D; (2)先根据平行线+角平分线证明AB=AD,然后进行等量代换结合平行证明四边形 ABCD是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可. 【详解】(1)略 (2)略 28.(1)添加条件：∠BCE=30°； (2)解：四边形EBGF是菱形，理由如下： ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90, 由折叠可得△CEF≌△CEB, .∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB,EB=EF, 答案第14页，共2页 ,BH⊥CF, .∠CHB=∠FHB=90°， .∠CGH+∠ECF=90° ,∠CEB+∠BCE=180°-∠ABC=90°， .∠CGH=∠CEB ,∠BGE=∠CGH, ∴.∠BGE=∠BEG, ..BG=BE, .BE=FE, ∴.BG=EF ,ㄥCHB=∠CFE=90°， BH‖EF, 四边形EBGF是平行四边形， EB=EF, ∴口EBGF是菱形. 3)5或2 5 【分析】(1)由折叠可得CB=CF,∠FCE=∠BCE,当∠BCE=30°时，可得到 ∠BCF=60°，即可得出△BCF是等边三角形： (2)连接FG.由矩形的性质得到∠ABC=90°，由折叠得到∠CFE=∠CBE=90°， ∠ECF=∠ECB,EB=EF,根据等角的余角相等得到∠BGE=∠CGH=∠GEB, 从而有BG=BE=FE,再证明BH‖EF,可得四边形EBGF是平行四边形，结合 EB=EF得出口EBGF是菱形： (3)设PA=PF=X,根据勾股定理构造方程，求得PA,PF,设BE=EF=y,在 Rt△EFP中根据勾股定理构造方程，求得BE,EF,由BG=EF即可解答. 【详解】(1)解：由折叠可得CB=CF,∠FCE=∠BCE, 当∠BCE=30时，∠FCE=∠BCE=30, .∠BCF=∠BCE+∠FCE=60°， ∴△BCF是等边三角形 （2)略 答案第15页，共2页 (3)解：①如图 D H G 设PA=PF=,则BP=AB-AP=4-X, ,由翻折有CF=CB=3, ∴.CP=CF+PF=3+x, ,在Rt△BCP中，BC+BP2=PC2, 3+4-x=3+x,解得x-号 .-PF-9 BP=20 设BE=EF=y,则PE=BP-BE=29-y, 7 ,∠CFE=90°， .∠EFP=180°-∠CFE=90, ,在Rt△EFP中，EF2+PF2=PE, y+9 部y是 ·BE=EF=6 ·BG=EF= 5 ②如图， 答案第16页，共2页 】 设PA=PF=X,则DP=AD-AP=3-X, ,由翻折有CF=CB=3, ∴.CP=CF+PF=3+X, :在Rt△DCP中，DC2+DP=PC2, 4+3-=3*水解得x专 PA=PF=4 bp- 设BE=EF=y,则AE=BA-BE=4-y, ,∠CFE=90°， ∴.∠EFP=180°-∠CFE=90°， .在Rt△EFP中，EF+PF=PE2:在Rt△EAP中，EA+PA=PE2, ∴.EA2+PA2=EF2+PF2, 即EF2=AE2,EF=AE, .y=4-y, 解得y=2, ..BE=EF=2, ..BG=EF=2. 29.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AB=CD, .∠ABE=∠CDF, 又BE=DF, .△ABE≌△CDF SAS: (2)证明：△ABE≌△CDF, 答案第17页，共2页 AE=CF,∠AEB=∠CFD :'∠AEB+∠AEF=∠CFD+∠CFE=180° .∴.∠AEF=∠CFE .AE‖CF, ∴.四边形AECF是平行四边形. 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB‖CD,AB=CD,根据平行线的性质可得 ∠ABE=∠CDF,结合已知条件根据SAS即可证明△ABE≌△CDF: (2)根据△ABE≌△CDF可得AE=CF,∠AEB=∠CFD,根据邻补角的意义可得 ∠AEF=∠CFE,可得AE‖CF,根据一组对边平行且相等即可得出. 【详解】(1)略 (2)略 B 30.(1) (答案不唯一) (2) 【分析】(1)根据等腰三角形的定义解答即可； (2)根据平行四边形的定义作图即可 【详解】(1)略 (2)略 31.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴·AD=BC,ADBC ∴.∠A=∠CBE .BE=AB ∴.△ABD≌△BEC SAS (2)只/3+7 【分析】(1)通过平行四边形的性质结合SAS证明即可； (2)先根据30度直角三角形的性质以及勾股定理求解AB=2,AD=3,再由平行四边形 答案第18页，共2页 的性质以及全等三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：∠A=30°，AD⊥DB,BD=1, .∴AB=2BD=2 ÷AD=VAB-BD=R22-=3 ,四边形ABCD是平行四边形，△ABD≌△BEC .CD=AB=BE=2,BD=CE=1 ∴.四边形AECD的周长=AD+DC+CE+BE+AB=V3+2+1+2+2=V3+7 32.(1)A E (②证明：：∠BAD=∠BCD,∠BCE=∠DCE, ∴.∠A=∠BCE, :BC‖AD .∠BCE=∠CED」 .∠A=∠CED, .AB‖CE, .四边形ABCE为平行四边形， 【分析】(1)作∠BCD的角平分线即可： (2)根据平行线的判定和性质证明ABCE可得结论. 【详解】(1)略： (2)略。 33.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD BC, ∴.∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC, .O为AC中点， ∴.OA=OC, .△AOE≌△COF AAS, 答案第19页，共2页 ..AE=CF, .AE CF, “.四边形AFCE为平行四边形； (2)∠BAF=30° 【分析】(1)由题意得AD‖BC,OA=OC,然后可得△AOE≌△COFAAS,则有 AE=CF,进而问题可求证： (2)由题意证出四边形AFCE为菱形，则有∠FAC=∠FCA,然后可得 ∠BAC=∠B=70°，∠ACB=180°-2∠B=40°，进而问题可求解. 【详解】(1)略 (2)解：，四边形AFCE为平行四边形，EF⊥AC, ∴四边形AFCE为菱形， ∴AF=CF. .∠FAC=∠FCA, .BC=AC,∠B=70, .∠BAC=∠B=70°，∠ACB=180°-2∠B=40°， .∠FAC=40°， ∴.∠BAF=∠BAC-∠FAC=30° 答案第20页，共2页