4.1.2 多项式及整式（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦多项式及整式核心知识，涵盖定义、项、次数等概念及与单项式的关系。通过代数式分类观察和偶数求和回顾导入，衔接单项式知识，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以分类观察培养抽象能力，如多项式与单项式对比辨析，通过参数求解、新定义题型（如对称整式）发展推理意识，结合苗圃面积计算渗透模型意识。口诀与易错点汇总助学生系统掌握，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与应用能力。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 4.1.2多项式及整式 第四章 整式的加减 4.1.2 多项式及整式 知识点总结 一、核心知识点梳理 1. 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 简单理解：由多个单项式通过加法、减法连接而成的式子就是多项式。 示例：$$x+3、2a-b、x^2-2xy+y^2$$都是多项式。 2. 多项式的两大核心概念：项、常数项 （1）多项式的项 多项式中的每个单项式，叫做多项式的项。 重要易错：项必须包含前面的符号（正负号属于项的一部分）。 （2）常数项 多项式中不含字母的项叫做常数项。 注意：常数项是数字，有正负；式子中单独的数字就是常数项。如上式中常数项为 $$2$$。 3. 多项式的次数（必考） 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 核心规则： - 先求出每一项的次数； - 取最大次数作为多项式的次数； - 多项式没有“系数”的说法，只有项有系数。 示例：$$2x^3-4x^2y+5y$$ 各项次数：3次、3次、1次 → 最高3次 → 三次多项式。 4. 几次几项式（标准读法） 考试标准表述：几次几项式 判断方法：最高次数是几，就是几次；一共有几项，就是几项式。 示例： - $$x^2+2x-1$$：二次三项式 - $$3a^2b-5$$：三次二项式 5. 整式的定义（本章大概念） 单项式和多项式统称为整式。 整式判定黄金标准： - 分母中不含字母； - 根号内不含字母（现阶段不涉及）； - 只含加、减、乘、乘方运算。 反例（不是整式）：$$\frac{1}{x}、\frac{a+1}{b}$$（分母含字母，是分式，不是整式） 6. 单项式、多项式、整式 三者关系 - 整式包含：单项式、多项式； - 单项式：无加减，单独积式； - 多项式：多个单项式相加减； - 不是整式一定不是单项式、不是多项式。 二、常考基础题型 题型1：区分单项式、多项式、整式 解题关键：分母无字为整式，有加减为多项式，无加减为单项式。 题型2：找多项式的项、常数项 必考细节：所有项带符号抄写，不要丢负号。 题型3：判断几次几项式（核心考题） 步骤：数项数 → 算每项次数 → 找最高次数 → 读出几次几项式。 题型4：根据多项式次数求参数（中档压轴） 已知多项式次数，反求字母参数，期中期末高频。 示例：若 $$x^{m}-2x+3$$ 是二次多项式，则最高次数为2，得 $$m=2$$。 三、核心解题口诀 多项式口诀：单项和为多项式，项带符号不能弃；最高次数定次数，几项看清不遗漏。 整式判定口诀：分母无字是整式，单项多项两类齐；分母有字是分式，绝非整式要牢记。 四、高频易错点汇总 - 找多项式的项时漏掉负号，把负项当成正项； - 混淆多项式次数：误以为所有次数相加，实际取最高项次数； - 误以为多项式有系数：多项式没有系数，只有项有系数； - 误把分母含字母的式子当成整式； - 常数项判断错误：忽略负的常数项，如 $$x-5$$ 常数项是$$-5$$； - 不会区分几次几项式，漏数项数、看错最高次数。 五、4.1整节概念对照表（串联两节内容） 类型 运算特征 次数判定 归属 单项式 无加减，纯积式 所有字母指数和 整式 多项式 含加减，多个单项 最高项次数 整式 分式 分母含字母 无 不是整式 1.能叙述并理解多项式、多项式的项及其次数的概念. 2.知道什么叫整式，弄清整式与多项式、单项式的关系. 4.1.2 多项式和整式 第一页：情境引入——从“单项式和”到多项式 上节课我们学习了单项式，它能简洁表示数与字母的积。但生活中很多数量关系，仅用单项式无法表达。请观察以下场景，尝试用数学式子表示： - （1）一个长方形花坛，长为a米，宽为b米，为了美观在四周围上栅栏，栅栏的总长度是多少米？（提示：长方形周长=2×长+2×宽） - （2）小明买了3本单价为x元的笔记本和1支单价为y元的钢笔，他一共花了多少钱？ - （3）某超市上月盈利m万元，本月盈利比上月的2倍多5万元，本月盈利多少万元？ - （4）一个三位数，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，这个三位数如何表示？（提示：百位数字表示几个100，十位表示几个10） 学生尝试回答后，引出式子：2a+2b、3x+y、2m+5、100a+10b+c。这些式子都是由单项式相加组成的，它们就是我们今天要学习的“多项式”。 第二页：探究新知——多项式的定义与相关概念 1. 多项式的定义 观察式子2a+2b、3x+y、2m+5、100a+10b+c，它们的共同特点是：由几个单项式相加组成。 像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项。 注意：多项式中的“和”是代数和，项包括它前面的正、负符号。例如，多项式2x-3y+1可看作2x、-3y、+1的和，各项分别是2x、-3y、1，常数项是1。 2. 多项式的次数 多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式的次数是几，就叫做几次多项式。 3. 概念应用：分析多项式的项与次数 例1：指出多项式3x²-2xy+y³-5的项、常数项和次数，并说明它是几次几项式。 解答： - 项：3x²、-2xy、y³、-5（注意各项的符号）； - 常数项：-5（不含字母的项）； - 各项次数：3x²是二次项，-2xy是二次项，y³是三次项，-5是零次项； - 多项式的次数：次数最高的项是y³（三次），所以多项式的次数是3； - 结论：这是一个三次四项式。 例2：分析多项式100a+10b+c的项与次数。 解答： - 项：100a、10b、c； - 常数项：无（所有项都含字母）； - 各项次数：均为一次项； - 多项式的次数：1，是一次三项式。 第三页：核心概念——整式的定义与分类 1. 整式的定义 我们已经学习了单项式和多项式，它们的共同特点是：分母中不含字母，且不含字母开方的运算。 单项式和多项式统称为整式。 2. 整式的分类 整式的分类可以用如下结构表示： 单项式（如：3a、-5、πr²） / 整式 \ 多项式（如：2x+3y、x²-2x+1） 3. 概念辨析：判断是否为整式 请判断下列式子是否为整式，并说明理由： - （1）5x²y：是，单项式属于整式； - （2）3x+$\frac{1}{2}$y：是，多项式属于整式； - （3）$\frac{2}{x}$：不是，分母中含有字母，是分式，不是整式； - （4）x-$\frac{1}{3}$：是，多项式属于整式； - （5）$\sqrt{x}$：不是，含有字母开方运算，不是整式； - （6）-7：是，单项式属于整式。 整式的本质：分母不含字母，不含字母的开方、指数为负等非整数次幂的运算。分式和整式是并列关系，不是包含关系。 第四页：例题解析——整式相关综合应用 通过例题巩固多项式的项、次数及整式的判断，掌握相关知识的综合运用。 例1：根据多项式的次数与项数求值 已知多项式-$\frac{1}{2}$x²yᵐ⁺¹ + 3xy³ - 5x³ + 6是六次四项式，求m的值。 分析：多项式是六次四项式，说明次数最高的项的次数为6。 解答： - 步骤1：确定各项的次数： -$\frac{1}{2}$x²yᵐ⁺¹的次数：2 + (m+1) = m+3； - 3xy³的次数：1+3=4； - -5x³的次数：3； - 6的次数：0。 步骤2：根据多项式次数为6，列方程：m+3=6； 步骤3：求解：m=6-3=3。 答：m的值为3。 例2：整式的判断与分类 将下列式子填入相应的括号内： -3a²b、$\frac{1}{2}$x+y、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、$\frac{5}{x}$、0、a³-2a²b+b³、$\sqrt{2}$x - 单项式：{ -3a²b、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、0、$\sqrt{2}$x } - 多项式：{ $\frac{1}{2}$x+y、a³-2a²b+b³ } - 整式：{ -3a²b、$\frac{1}{2}$x+y、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、0、a³-2a²b+b³、$\sqrt{2}$x } - 非整式：{ $\frac{5}{x}$ } 例3：根据条件构造多项式 （1）写出一个二次三项式，使它的常数项为-5，且含有x、y两个字母：________________（答案不唯一，如x²+xy-5） （2）写出一个三次二项式，只含有字母a：________________（答案不唯一，如a³+2） 第五页：易错警示——常见误区剖析 1. 误区一：多项式的项忽略前面的符号 错误：认为多项式2x²-3x+1的项是2x²、3x、1； 剖析：多项式的项包括前面的符号，正确项应为2x²、-3x、1； 规避：确定多项式的项时，先将多项式按“+”号拆分为单项式，注意保留各项的符号。 2. 误区二：计算多项式次数时，误将所有字母的指数相加或漏看项的符号 错误：认为多项式-x³y+2xy的次数是3+1+1+1=6； 剖析：多项式的次数是“次数最高的项的次数”，不是所有字母指数的和。-x³y的次数是3+1=4，2xy的次数是2，多项式次数为4； 规避：先分别计算每一项的次数，再取其中的最大值作为多项式的次数。 3. 误区三：混淆“整式”与“分式”，认为分母含字母的式子是整式 错误：认为$\frac{x}{2}$和$\frac{2}{x}$都是整式； 剖析：$\frac{x}{2}$可看作$\frac{1}{2}$x，是单项式，属于整式；$\frac{2}{x}$分母含字母，是分式，不是整式； 规避：牢记整式的核心特征——分母不含字母，分母含字母的式子一定不是整式。 4. 误区四：将“π”当作字母，影响项的次数判断 错误：认为多项式πx²+2x的次数是3； 剖析：π是常数，不是字母，πx²的次数是2，多项式次数为2； 规避：π是常数，计算项的次数时，仅看字母的指数，与π无关。 5. 误区五：对“几次几项式”的表述顺序混淆 错误：将“三次四项式”表述为“四项三次式”； 剖析：多项式的表述规则是“次数+项数+式”，先说明次数，再说明项数； 规避：牢记表述顺序，如“次数最高项的次数是n，共有m项”，则表述为“n次m项式”。 第六页：能力提升——多项式与实际问题 多项式在实际问题中应用广泛，关键是根据数量关系列出多项式，再结合需求分析其特征。 例：几何与代数结合 一个长方体无盖纸盒，长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。 1. （1）求制作这个纸盒所需硬纸板的面积（表面积）； 2. （2）指出该多项式的项、次数，并说明它是几次几项式； 3. （3）当a=10，b=8，c=3时，求硬纸板的面积。 解答： 1. （1）无盖纸盒表面积=底面积+四个侧面面积，多项式为：ab + 2ac + 2bc； 2. （2）项：ab、2ac、2bc；无常数项；各项次数均为2，多项式次数为2，是二次三项式； 3. （3）代入a=10，b=8，c=3： 10×8 + 2×10×3 + 2×8×3 = 80 + 60 + 48 = 188（平方厘米） 答：硬纸板的面积为188平方厘米。 拓展练习：数字问题 一个两位数，十位数字为x，个位数字为y，将这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，得到一个新的两位数。用多项式表示这两个两位数的和，并判断这个多项式是几次几项式。（答案：11x+11y，一次二项式） 第七页：课堂小结与练习 一、核心要点总结 1. 1. 多项式： 定义：几个单项式的和； 2. 项：组成多项式的每个单项式（含符号），不含字母的项为常数项； 3. 次数：次数最高的项的次数，表述为“n次m项式”。 4. 2. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母不含字母是整式的核心特征。 5. 3. 关系：单项式是特殊的多项式（只有一项的多项式），整式包含单项式和多项式。 二、课堂练习 1. 1. 下列式子中，是多项式的是（ ） A. -5 B. $\frac{1}{x}$ C. 3x²+2x-1 D. $\sqrt{3}$xy （答案：C） 2. 2. 多项式-2x³y²+3x²y-6xy+8的项是________________，常数项是________，次数是________，它是________次________项式。（答案：-2x³y²、3x²y、-6xy、8；8；5；五；四） 3. 3. 若多项式xᵐ⁺¹ + 2x³ - 5是三次多项式，则m的值为________。（答案：2或1或0，提示：最高次项可为xᵐ⁺¹（次数3）或2x³（次数3），故m+1≤3且m+1为非负整数） 4. 4. 下列式子中，属于整式的有（填序号）：________________ ① $\frac{1}{a}$ ② 3a² ③ x-y ④ $\frac{x}{5}$ ⑤ $\sqrt{x+1}$ ⑥ 0 （答案：②③④⑥） 5. 5. 一个长方形的长为(2x+1)厘米，宽为(x-2)厘米，用多项式表示它的面积，并求当x=3时，长方形的面积。（答案：面积多项式2x²-3x-2；x=3时，面积=2×9-9-2=7平方厘米） 学习目标 0.8p mn a2h -n v + 2.5 v - 2.5 3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18 100t 单项式 ？ 观察：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中. 探究点1：多项式的概念 v + 2.5 v - 2.5 3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18 思考：观察下面的代数式，分析它们有什么共同点： 探究点1：多项式的概念 v 2.5 v - 2.5 3x 5y 2z x2 2x 18 都可以看作几个单项式的和． v + (-2.5) 多项式：几个单项式的 叫作多项式. 和 多项式的概念： 现在，我们可以用字母来表示这些偶数. 如果我们把第一个偶数表示为 2a1， 第二个偶数表示为 2a2， 第三个偶数表示为 ， 那么第 n 个偶数可以表示为_____， 它们的和用式子表示就是 . 运用乘法的分配律可知，这些数的和一定是 2 的倍数. 2a3 2an 2a1+ 2a2 + 2a3+ ··· + 2an 【回顾导入】 探究点1：多项式的概念 常数项 1.每个单项式叫作多项式的项. 2.不含字母的项叫作常数项. 4.次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数. 一次二项式 名称： 多项式的相关概念 项数： 1 2 一次项 3.每一项次数是几就叫作几次项. 最高次项次数： 5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号. v - 2.5 v - 2.5 探究点2：多项式的相关概念 单项式 多项式 整式 单项式与多项式统称为整式. 整式： 探究点2：多项式的相关概念 例1 填序号： ① 3，② x + y，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ . 单项式有： ；多项式有： ； 整式有： ；代数式有： . ① ② ③ ⑤ 等式 ① ② ③ ⑤ 分析：⑤ ， ⑥整式的每一项都是数或字母的积， 是除法. 探究点2：多项式的相关概念 ①②③⑤⑥ 例2 用多项式填空，并指出它们的项和次数. (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为 a，b，则这个长方形的周长为 . (2) m 为一个有理数，m 的立方与 2 的差为 . (3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆. 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b 辆. 第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 . 2a＋2b m3－2 2a－12b 探究点2：多项式的相关概念 (4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由 18 个相同的正方形和 8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为 a，等边三角形的高为 b，那么这个印章的表面积为 . 18a2＋4ab 探究点2：多项式的相关概念 问题：你能完成下面的表格吗？ 多项式 项 常数项 次数 名称 2a， 2b 无 1 一次二项式 －2 2 二次二项式 2a，－12b 无 1 一次二项式 无 2 二次二项式 18a2 ，4ab 总结 一个多项式的最高次项可以不唯一. 2a＋2b m2－2 2a－12b 18a2＋4ab m2， －2 探究点2：多项式的相关概念 例3 若多项式 x| a | + 1 y3 - (a - 1)x + x2 是五次三项式，求 a 的值. 解：由题意，得 | a | + 1 + 3 = 5， a - 1≠0， 解得 a = ±1， a≠1， 所以 a = -1. 分析：项的次数依次为 | a | + 1 + 3， 1， 2； 五次 → |a| + 1 + 3 = 5； 三项 → 三项前的系数不为 0 → a - 1≠0. 探究点2：多项式的相关概念 知识点1 多项式 1. 在式子，，，，4，，， 中，多项式有( ) D A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 中考考法 13 知识点2 多项式的项与次数 2. 若是关于， 的六次三项式，则下 列说法错误的是( ) A A. 可以是任意数 B. 六次项是 C. D. 常数项是 【点拨】因为是关于, 的六次三项式， 所以六次项是，常数项是， .所以 ，，所以 .故错误的是A. 中考考法 14 3. 如果一个多项式是五次多项式，那么( ) D A. 这个多项式最多有六项 B. 这个多项式只能有一项的次数是五 C. 这个多项式一定是五次六项式 D. 这个多项式最少有两项，并且最高次项的次数是五 中考考法 15 4. 若多项式 是四次三项式， 则 ___. -2 【点拨】因为多项式 是四 次三项式，所以，，所以 ， ，所以 . 中考考法 16 5. 如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫 作齐次多项式.如： 是3次齐次多项式， 若是齐次多项式，则 的值是___. 1 【点拨】根据题意，得，所以 . 中考考法 17 6. 有一个关于， 的多项式，每项的次数 都是3. （1）写出项数最多的一个多项式：___________________； 项数最少的一个多项式：______________________ ； （答案不唯一） （2）写出同时满足下列要求的一个多项式. ①项数为3； ②各项系数之和为0. 【解】 .（答案不唯一） 中考考法 18 知识点3 整式 7. 下列说法错误的是( ) C A. 是单项式也是整式 B. 是多项式也是整式 C. 整式一定是单项式 D. 整式不一定是多项式 中考考法 19 8. 将下列式子的序号填在相应的横 线上. ①；②;③；④；⑤；⑥ ； ⑦；⑧；⑨ . （1）单项式：________； （2）多项式：________； （3）整式：______________； （4）二项式：______. ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 中考考法 20 9. 已知关于的多项式 与 的次数相同，那么 的值是( ) D A. B. C. 或 D. 或 中考考法 21 【点拨】当时， ，次数为2； 当时，的次数为3.多项式 的次数为.因为多项式与 的次数 相同，所以当时，，则 ； 当时，，则.所以 的 值是或 . 中考考法 22 需考虑和 两种情况，容易忽略其中一 种情况而出错. 中考考法 23 10. 一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字 母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式. 例如， 是对称整式， 不是对称整式. ①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该 和仍为对称整式； ②若一个多项式是对称整式，则该多项式中各项的次数必相同； ③单项式不可能是对称整式； ④若某对称整式只含字母,,,且其中有一项为 ,则该多项式的项数至 少为3. 以上结论中错误的个数是 ( ) B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 中考考法 24 【点拨】①假设两个对称整式分别为和 （含相同的字 母），由题意可知，任何两个字母互换位置，所得的结果与 原式相同，所以 为对称整式，故①正确；②例如 为对称整式，但是各项的次数并不 相同，故②错误；③例如单项式 为对称整式，故③错误； ④根据对称整式的定义易知该对称整式至少含有六项 ， ,,，, ,即该多项式的项数至少为6，故④错误. 所以结论错误的是②③④，共3个. 中考考法 25 11. 已知关于 的多项式 中不含和 项，则当 时，这个多项式的值为____. 【点拨】因为多项式不含和项，所以 ， 所以,所以原多项式为 当 时，原式 中考考法 26 12. 已知多项式 . （1）这个多项式是____次____项式； 九 十 【点拨】因为多项式 是按照 的指数从大 到小排列的，所以该多项式有10项，并且每一项的次数是9， 所以该多项式是九次十项式. 中考考法 27 （2）最后一项的系数 的值为_____； 【点拨】因为多项式 有10项，每一项的 系数是2，,6， ，其满足偶数项为负数，奇数项为正 数，所以第项的系数为 ，所以第10项的系数为 ，所以 . 中考考法 28 （3）这个多项式的第七项和第八项分别是________和_____ ______. 【点拨】因为多项式 第 项的系数为 ，所以第七项的系数是 ，第 八项的系数是 因为多项式 是按照 的指数从大 到小排列的，第项中的指数为 ，且每一项的次数是 9，所以第七项是,第八项是 . 中考考法 29 13. 小亮在自家土 地上整理出了一块苗圃，并将这块 苗圃分成了四个长方形区域，其尺 寸如图所示（单位： ），小亮计 划在这四个区域上按图中所示分别 种植草本花卉1号，2号，3号，4号. 中考考法 30 （1）用代数式表示这块苗圃的总 面积. 【解】这块苗圃的总面积为 . （2）这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式，请 你说出它是几次几项式. 这个代数式是多项式，它是二次三项式. 中考考法 31 $