2.1有理数及其应用（七大题型2）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴核心应用，以七类递进题型构建从概念理解到综合拓展的训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴三要素|3题|考查原点、正方向、单位长度的规范画法|概念生成：从数轴构成要素切入，夯实基础| |表示有理数|3题|结合相反数、分数小数在数轴上定位|原理应用：建立数与形的对应关系| |比较大小|3题|通过数轴位置判断数的大小关系|深化理解：利用几何直观发展推理意识| |点的平移|3题|含动点移动及距离计算|动态应用：培养空间观念与符号意识| |找原点|3题|根据点的位置关系确定原点|逆向思维：提升抽象能力与问题解决能力| |整点覆盖|3题|计算数轴上被遮挡的整数个数|实际应用：强化数感与数据分析能力| |规律探究|3题|结合圆滚动、距离总和最小等情境|综合拓展：发展创新意识与模型观念|

2.1 有理数及其运算 题型一 数轴的三要素及其画法 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 3．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)略 (2) 略 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 题型二 用数轴上的点表示有理数 4．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，点A表示的数为， 所以点A表示的数的相反数是． 5．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 6．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型三 利用数轴比较有理数的大小 7．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 8．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 9．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【详解】（1）解：略 （2）解：由数轴知． 题型四 数轴上点的平移（动点问题） 10．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 11．若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【答案】8或2 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：点A到原点的距离为3， 点表示的数为或， 此时点B表示的数是：或． 故答案为：8或2． 12．画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 【答案】(1)数轴见详解； (2)图见详解，向右平移4个单位长度得到的数是3． 【详解】（1）解：， 数轴如图： （2） 解：点的位置如图： 将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数是． 题型五 数轴上找原点 13．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 14．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 15．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来．，，0，，2.5． 【答案】(1)见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则，绝对值，数轴的认识，能在数轴上表示各数是解题的关键． （1）根据A，B的数值，找出原点即可； （2）先对有理数进行化简，再在数轴上表示各数，按数轴上右边的数总大于左边的数原则，依次从左往右用“＜”把各数连接即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）， 如图所示． ． 题型六 数轴上整点覆盖问题 16．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 17．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 18．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型七 数轴上的规律探究 19．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 20．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 21．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)当为奇数时，P应设在台机床处；当为偶数时，P应设在和台机床之间处 (2)95172 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法，解题的关键就是要能够从材料中得到有用的信息． （1）根据给出的规律进行求解即可，分为奇数和偶数两种情况进行解答； （2）根据给出的规律找到的最小值，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当为奇数时，P应设在台机床处； 当为偶数时，P应设在和台机床之间的任何地方． （2）解：本题可以看作在数轴上找一点，使该点到1，2，3，…，617的距离和最小， 根据题目给出的规律，该点位于处， 即， ∴ ∴原式的最小值为95172． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 有理数及其运算 题型一 数轴的三要素及其画法 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 3．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 题型二 用数轴上的点表示有理数 4．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 6．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 题型三 利用数轴比较有理数的大小 7．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 9．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 题型四 数轴上点的平移（动点问题） 10．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 12．画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 题型五 数轴上找原点 13．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 14．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 15．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来．，，0，，2.5． 题型六 数轴上整点覆盖问题 16．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 17．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 18．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型七 数轴上的规律探究 19．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 20．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 21．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $