精品解析：山西省晋中市祁县2025-2026学年八年级下学有数学期末试题

2025——2026学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共7页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 随着新能源汽车产业的快速发展，国产汽车品牌通过标志设计传递品牌理念与技术特色．以下四个国产新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明借助直尺和三角尺，先作，再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 一元一次不等式的最小整数解是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 6. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（ ）小时． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点，为平面内的点，且点的坐标为．若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为8，则下列说法正确的是（ ） A. ，为任意实数 B. ，为任意实数 C. 为任意实数， D. 为任意实数， 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 12. 徽州剪纸是安徽省非物质文化遗产之一，精美的剪纸作品中还蕴含着独特的数学奥秘．如图，这是徽州剪纸作品正八边形窗花，这个正八边形每个外角的度数为______． 13. 如图， △ABC 沿射线 AC 的方向平移， 得到△CDE.若 AE＝6， 则 B，D 两点的距离为___. 14. 如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 15. 在平行四边形中，，，，点是的中点，于点，连接，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成下列小题： （1）因式分解： （2）化简： 17. 下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： （1）小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． （2）请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． （3）根据总结的解题经验，解方程：． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向右平移个单位后的，点，，的对应点分别为，，． （2）再画出绕点顺时针旋转后的，点，的对应点分别为，． （3）直接写出点的坐标为 ． 19. 为响应国家“碳达峰、碳中和”目标，某建筑工地计划同时使用甲型（纯电动）和乙型（柴油）两种挖掘机．工地每日获得的碳排放限额为900千克．经测算，每台甲型挖掘机每日碳排放42千克，每台乙型挖掘机每日碳排放78千克．现需共调配15台挖掘机，且每日总碳排放不得超过限额．问甲型挖掘机至少需要调配多少台？ 20. 如图，为等边三角形，点D为的中点，连接．过点C作交的延长线于点E，点F为的中点，连接并延长，交于点G．判断与的位置关系，并说明理由． 21. 当前无人配送技术快速发展，某外卖平台计划购进一批无人送外卖车，分为小型和大型两种型号，共计12辆．已知每辆大型车的价格是小型车的2倍，且平台计划投入30万元专门用于购买小型车，投入60万元专门用于购买大型车（资金恰好全部用完）． （1）求每辆小型车的价格为多少万元． （2）车辆全部投入使用后，每辆小型车每天可完成10个配送点的任务，每辆大型车每天可完成15个配送点的任务，则所有车辆每天共可完成 个配送点的任务． 22. 阅读与思考下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的“和谐线” 【阅读材料】 在三角形中，从一个顶点出发向对边作一条线段，如果这条线段恰好将原三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段就叫做该三角形的“和谐线”，而线段在对边上的端点则称为“和谐点”． 例如，下列各图中的线段将分成了两个三角形，且和都为等腰三角形．图1中，；图2中，；图3中，．这些图中的线段都是的和谐线，点都是和谐点． 【问题解决】 问题1：如图2，在中，，，是的和谐线，图中的的形状是 ． 问题2：如图4，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条和谐线． 证明：是线段的垂直平分线， （依据）， 是等腰三角形，… 任务： （1）问题1中的的形状是 ，问题2中的依据是 ． （2）补全问题2的证明过程． （3）如图5，已知线段和线段，求作，使得点在边上，，且是的一条和谐线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可）． 23. 综合与探究 问题情境： 活动课上，同学们以平行四边形为背景探究图形变换中的数学问题：如图1，在平行四边形中，对角线，，，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别是点，）旋转过程中直线与直线相交于点． 特例分析： （1）如图2，“善思”，小组画出了点落在延长线上时的情形，猜想此时线段与的数量关系，并说明理由． （2）在图2的基础上，“勤学”小组连接并延长交于点，如图3，证明：四边形是平行四边形． 拓展探究： （3）在图1的基础上，若将继续绕着顺时针旋转，当直线垂直于直线时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共7页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的加法运算可进行求解． 【详解】解：原式； 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 2. 随着新能源汽车产业的快速发展，国产汽车品牌通过标志设计传递品牌理念与技术特色．以下四个国产新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此判断，只有A选项符合定义． 3. 如图，小明借助直尺和三角尺，先作，再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4. 一元一次不等式的最小整数解是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解： ， 解得：， ∴最小整数解是， 故选：C． 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 6. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 7. 一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（ ）小时． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间． 【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米， 该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米， 则从A城到B城需要小时， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 8. 如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由旋转性质得到相关角度与线段关系，再由等边三角形的判定与性质得到，进而确定，在中，由含直角三角形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由旋转性质可得， 在等腰中，，则是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 在中，，，则， ， ，则由勾股定理可得， 则，即点与点之间的距离为． 9. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点，为平面内的点，且点的坐标为．若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为8，则下列说法正确的是（ ） A. ，为任意实数 B. ，为任意实数 C. 为任意实数， D. 为任意实数， 【答案】C 【解析】 【分析】根据的面积为8，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，，四边形是以为边的平行四边形， ∴的边长为4， ∵的面积为8，的坐标为， 即， ， ， 可为任意实数． 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 12. 徽州剪纸是安徽省非物质文化遗产之一，精美的剪纸作品中还蕴含着独特的数学奥秘．如图，这是徽州剪纸作品正八边形窗花，这个正八边形每个外角的度数为______． 【答案】45 【解析】 【分析】多边形的外角和是固定值，正八边形有8个相等的外角，用外角总和除以外角的个数，就能求出单个外角的度数． 【详解】解：任意多边形的外角和都为， 正八边形的外角数量为8个，且8个外角度数全部相等， 因此每个外角的度数：． 13. 如图， △ABC 沿射线 AC 的方向平移， 得到△CDE.若 AE＝6， 则 B，D 两点的距离为___. 【答案】3 【解析】 【分析】根据平移的性质计算出AC=BD=3即可． 【详解】解：∵△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE， ∴AC=CE， ∵AE=6， ∴AC=3， ∴BD=AC=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 14. 如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 15. 在平行四边形中，，，，点是的中点，于点，连接，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线与，可证明，则，可证明，，则可求得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：延长交的延长线与， ∵在平行四边形中，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成下列小题： （1）因式分解： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式再用完全平方公式进行因式分解； （2）先算括号里分式的加法，再计算分式的除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： （1）小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． （2）请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． （3）根据总结的解题经验，解方程：． 【答案】（1）②；增根 （2）解分式方程必须检验 （3） 【解析】 【分析】（1）由分式方程的解法步骤分析题中解答，再结合分式方程增根定义求解即可； （2）解分式方程最关键的步骤是验根，据此提出一条即可； （3）由分式方程的解法步骤求解即可． 【小问1详解】 解：由阅读材料中的分式方程解法步骤知不是原方程的根，而是去分母后所得整式方程②的根；由增根定义可知是原分式方程的增根； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 整理得， 方程的两边同乘，得：， 解得， 检验：将代入原方程，得左边，右边，左边右边， 是原分式方程的根． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向右平移个单位后的，点，，的对应点分别为，，． （2）再画出绕点顺时针旋转后的，点，的对应点分别为，． （3）直接写出点的坐标为 ． 【答案】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点，，向右平移个单位后得到点，，，连接三个顶点即可得到； （2）将的顶点，绕点顺时针旋转后得到点，，连接三个顶点即可得到； （3）由（2）中作的图形，在网格中即可直接写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点的坐标为． 19. 为响应国家“碳达峰、碳中和”目标，某建筑工地计划同时使用甲型（纯电动）和乙型（柴油）两种挖掘机．工地每日获得的碳排放限额为900千克．经测算，每台甲型挖掘机每日碳排放42千克，每台乙型挖掘机每日碳排放78千克．现需共调配15台挖掘机，且每日总碳排放不得超过限额．问甲型挖掘机至少需要调配多少台？ 【答案】8台 【解析】 【分析】设甲型挖掘机需要调配台，则乙型挖掘机需要调配台，根据题意列不等式求出满足解集的最小整数解即可． 【详解】解：设甲型挖掘机需要调配台，则乙型挖掘机需要调配台， 由题意可得， 解得， ∵为整数，取最小值， ∴， 答：甲型挖掘机至少需要调配8台． 20. 如图，为等边三角形，点D为的中点，连接．过点C作交的延长线于点E，点F为的中点，连接并延长，交于点G．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得．由点D为的中点得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，得出．再根据三角形定理可得． 【详解】解：． 理由如下：为等边三角形， ，． ∵点D为的中点， ． ，点为的中点， ． ． ． ． 21. 当前无人配送技术快速发展，某外卖平台计划购进一批无人送外卖车，分为小型和大型两种型号，共计12辆．已知每辆大型车的价格是小型车的2倍，且平台计划投入30万元专门用于购买小型车，投入60万元专门用于购买大型车（资金恰好全部用完）． （1）求每辆小型车的价格为多少万元． （2）车辆全部投入使用后，每辆小型车每天可完成10个配送点的任务，每辆大型车每天可完成15个配送点的任务，则所有车辆每天共可完成 个配送点的任务． 【答案】（1）每辆小型车的价格为5万元； （2）150 【解析】 【分析】（1）根据“每种车型的数量该车型的总投入该车型的价格”以及“小型车数量大型车数量12辆”列出分式方程即可求解． （2）由（1）可计算出每种车型的数量，再根据题意建立等量关系即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆小型车价格为万元，则每辆大型车价格为万元． 由题意得，， 解得． 答：每辆小型车的价格为5万元． 【小问2详解】 解：由（1）得每辆小型车的价格为5万元，每辆大型车价格为10万元， 小型车的数量为（辆），大型车的数量为（辆）， ． 答：所有车辆每天共可完成150个配送点的任务． 22. 阅读与思考下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的“和谐线” 【阅读材料】 在三角形中，从一个顶点出发向对边作一条线段，如果这条线段恰好将原三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段就叫做该三角形的“和谐线”，而线段在对边上的端点则称为“和谐点”． 例如，下列各图中的线段将分成了两个三角形，且和都为等腰三角形．图1中，；图2中，；图3中，．这些图中的线段都是的和谐线，点都是和谐点． 【问题解决】 问题1：如图2，在中，，，是的和谐线，图中的的形状是 ． 问题2：如图4，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条和谐线． 证明：是线段的垂直平分线， （依据）， 是等腰三角形，… 任务： （1）问题1中的的形状是 ，问题2中的依据是 ． （2）补全问题2的证明过程． （3）如图5，已知线段和线段，求作，使得点在边上，，且是的一条和谐线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可）． 【答案】（1）直角三角形；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）证明：是线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， 是等腰三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的一条和谐线； （3）解：如图所示： 即为所求． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角、三角形内角和定理即可得证；由垂直平分线性质即可得到答案； （2）由垂直平分线性质、等腰三角形的判定与性质、外角性质求证即可； （3）以点为圆心、为半径画弧交于点；再以点为圆心、为半径画弧；作线段的垂直平分线交于点，连接即可得到满足题中条件． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则在中，， ，则， 的形状是直角三角形； 垂直平分， ，即依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 是线段的垂直平分线， ， 在中，， 由“和谐线”定义可知是的一条和谐线． 23. 综合与探究 问题情境： 活动课上，同学们以平行四边形为背景探究图形变换中的数学问题：如图1，在平行四边形中，对角线，，，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别是点，）旋转过程中直线与直线相交于点． 特例分析： （1）如图2，“善思”，小组画出了点落在延长线上时的情形，猜想此时线段与的数量关系，并说明理由． （2）在图2的基础上，“勤学”小组连接并延长交于点，如图3，证明：四边形是平行四边形． 拓展探究： （3）在图1的基础上，若将继续绕着顺时针旋转，当直线垂直于直线时，请直接写出的长度． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，． ， ， 中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得线段与角的关系，进而证明，则可解决题目； （2）由直角三角形和旋转的性质可证得是等边三角形，可得，又可知，根据同旁内角互补两直线平行可证明，，题目得证； （3）因为，若，则与共线，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：∵在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转得到 ∴，，，， ∵， 若， 则与共线，如图有两种情况： ∵， ∴， ∴， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $