浙江绍兴市诸暨市2026届高三下学期5月适应性考试（二模）数学试题

**基本信息** 诸暨市2026届高三二模数学卷以真实情境与综合探究为特色，如概率游戏问题（15题）、双曲线定点证明（18题），考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、函数、抛物线与双曲线|第5题以二项式展开定义“无理项”，考查抽象能力| |多项选择题|3/18|概率分布、解三角形、圆柱与椭圆|第11题结合圆柱截面与三角函数图象，体现几何直观| |填空题|3/15|三角求值、数列递推、古典概型|第14题用集合取数构三角形，考查应用意识| |解答题|5/77|概率统计（15题）、数列（16题）、立体几何（17题）、解析几何（18题）、函数导数（19题）|17题结合面面垂直与线面角范围，19题导数极值点与不等式证明，发展推理能力与创新意识|

诸暨市2026年5月高三适应性考试试题 数 学 注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（ ▲ ） A. B. C. D. 3．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ▲ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则=（ ▲ ） A. B. C. D. 5．在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限不循环小数形式的根式），则该项称为无理项. 在的展开式中（ ▲ ） A．一定有常数项，没有无理项 B．一定有常数项，可能有无理项 C．一定没有无理项，没有常数项 D．一定没有无理项，可能有常数项 6．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．已知是，的等差中项，若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则直线的斜率为（ ▲ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8．已知，，且满足，则的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（ ▲ ） A．随机变量，则 B．随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量的分布列为，则 D．随机变量，满足，且，则 10．设的内角，，的对边分别为，，，若，且 ，则（ ▲ ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是 11．如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（ ▲ ） A．圆柱底面的直径为 B．圆柱底面和平面所成角为， 则 C．椭圆的焦距长为 D．椭圆的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ▲ . 13．已知数列满足，且，，设，则当时，的值为 ▲ . 14．已知，从集合中随机取出两个数,且，连接原点和，两点，则的概率为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本题13分）甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球. 定义一轮游戏：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱随机摸出个球放入乙箱；如果点数为，从乙箱中随机摸出个球放入甲箱. （1）求一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数的概率； （2）一轮游戏后，设乙箱中白球的个数为，求的分布列及数学期望. 16. （本题15分）在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中在区间内的项的个数记为，求数列的前项和. 17. （本题15分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，， 为的中点． （1）若，证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 18. （本题17分）已知双曲线的离心率为，是双曲线上关于原点对称的两个动点（在第一象限），当的斜率为时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点. （i）求证：直线恒过定点； （ii）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程. 19. （本题17分）已知函数． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围； （3）证明：． 高三数学试题 第 1 页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $诸暨市2026年5月高三适应性考试 数学参考答案 一、 单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 3 6 8 答案 D B B C D 二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD BD ABD 三、填空题（每小题5分；共15分) 13.4或5 14.月 四、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分） 15.(6分+7分) 解：记事件A为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱， 事件B为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个红球放入乙箱， 事件C为一轮游戏中，从乙箱随机摸出1个红球放入甲箱， 则：P=P团 P(BA)= PC团- …2分 (1)记事件M为一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数， 则M=AB+AC,AB与AC互斥，则： PUM=PAB+AC)=PA团+PaC)=PAPE④+P④PC1D=x+2x47 …5分 323510 (2)由题意知，X=1,2,3, …7分 房--8=月 x-)=x& 326 分布列为 X 1 2 3 2 7 15 10 6 ……11分 80n-1号 1_61 …13分 16.(6分+9分) 解： （1)两式相减得：42-4=46-4-3 .d=2d-3.d=3 …2分 代入得：4=4 …4分 即a,=3n+1 …6分 (2)对任意m∈N,3m<3n+1<9m, …8分 3”-1<3n<9m-1,即3m-1-1<n<32m1-1 3 而neN,故3m-1≤n≤32m-1-1, 由题意可知bn=(32m-1-1)-3m-1+1=32m-1-3m-1, …11分 于是Sm=b+b2++bn=3+33+…+32m-1-(30+3++3m-1) =30-9)1-3m 1-91-3 32m+1-33m-1 8 2 即8-。31或写成3 32m+1-43m+1 …15分 8 2 8 17.(6分+9分) P 解： (1)取AB中点M,连接DM交EA于Q,连接PM, 'PA=PB=AB,:△PAB是正三角形， B M是AB中点，.PM⊥AB …2分 D 面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PM⊥AB, .PM⊥面ABCD, MA=EB △MAD与△EBA中∠MAD=∠EBA, BA=AD ∴.△EBA~△MAD,.∠EAB=∠MDA ∴.∠AQD=180°-∠QAD-∠QDA=180°-∠QAD-∠EAB=90° .EA⊥MD …4分 'EA⊥MD,E.A⊥PM,PM、MDc面PMD,PM∩MD=M .EA⊥面PMD …5分 .AE⊥PD …6分 法一：几何法 (2)作AH⊥PB于H,连EH :面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,而CB⊥AB, H ∴.CB⊥面PAB B C…1分 又，CBC面PBC,面ABPL⊥面PBC AH⊥面PBC …2分 ·A到平面PBC的距离即AH,则直线AE与平面PBC所成角为∠AEH, …4分 sin∠AEH= BH AB 25 ,.cos∠AEH=V1-sina∈ 5 …5分 AEAE 5 ∴.直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围为 …6分 法二：坐标法 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立如图空间直角坐标系，设AB=2,则： A(0,0,0),B(-2,0,0),E(-2,1,0),D(-2,2,0),P(,0,0) ·.BC=(0,2,0)BP=(6+2,0,=)AE=（-2,1,0) …8分 且+6=4 …9分 设面PBC的法向量为n=(x,y,1) B C ,[n.BP=0m(+2)x+261=0 即 n.BC=0 24=0 A D 可令￥=，h=0,名=-2-，即n=(30,0,-2-)x …11分 A亚. ∴.sin<AE,n> F-2zo a同56+(2-) 、2 4-x …14分 √5/4-+(2-x) 1 2 店-6e0 5 即直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围为 5,1 …15分 18.(5分+7分+5分) 解： (1)由题意知，e=C=2,c2=a2+b2,所以ad2=m,b2=3m, …2分 a 则双曲线为上=1设AB为y=x, m 3m 3x2-y=3m,得2x2=3,解得x4 由 √6m y=x 2 3 4B=V1+k2x4-x=V1+1V6m=2V5,则m=1, 故双曲线E为x-少 =1 …5分 3 (2)(i)设A为(，y),则B为(-x,-y), 设Ar为x=2y+2,BF为x=2y叶2， -% 由 2+2潮92，-9=06 3x2-y2= x=2 yo 又3x-y6=3,(*)式可化简为(5-4x)y2+4(x-2)yy+3y6=0 3后，放y054 故yy%=5-4x' %,代入直线AF得： 4-5x230-) -230+2=4，所以D为54x5-4x 05-4x 5-4xm …7分 3 -3y 4+5.二3h）,则k如=-524+5西 同理，C为5+4x5+4x, 5-4x,5+4x=-50 …9分 3.x0 5-4x5+4x CD为y- 3y-5(-5-4网 4 5-4x3x0 45),整理得x= y*5 5yo 教直线CD血过定点(0， …12分 )1白知，n-五gk>0.o<0 2 tan(a+B)= tana+tanpkas+kcp= 2kap53kcD 1-tan a.tan p 1-kia kcp 5+3kcp …14分 2 2 2 √15 5+3kcD 5+(-3ko) 5_x(-3kcD) 15 kcD 当且仅当 5=-3ko时，即kp= 西取等号 …16分 3 故直线CD为x=- V15.,4 …17分 5 19.(5分+6分+6分)解： (1)g(x)=x sinx, ..g'(x)=3x2sinx+x cosx=x2 cosx(3tanx+x). …1分 令h(x)=3tanx+x,h(x)单调递增， 且=-33+2<0，爱=-5+>0， 3 6 6 唯e受爱位得)=0， 8)在写)递赠，在化爱递减， …3分 a=m写a学》=m写器-号 …5分 (2)令g(x)=f"(x)=2x·sinx+(x2+a).cosx-a g'(x)=2sinx+2x.cosx+2x.cosx-(x2+a).sinx =(2-x2-a).sinx+4x.cosx 令p(x)=g'(x)，,易知p(x)=一p(-x),故p(x)为奇函数 而p'(x)=-6x·simx+(6-a-x2)cosx,p'(0)=6-a. 1°当a≥6时，有p'(0)≤0， 又因为xe0牙，有p()=-6 sin+(6-a-c0sN<0, 故()在(0孕单闻递减，因为)为奇西数，则)在[20也单调递减，且以0=0， 即xe-三0时，g)=9)>40=0,8在[-三0)单调递增： x∈(0孕时，8()=9()<0)=0,8)在(07单调递减， 又因为g'(O)=0,则x=0是g(x)的极大值点. …8分 2°当a<6时，有p'(0)>0, 令M(x)=p'(x),则M'(x)=-8xr·cosx-(12-a-x)sinx 又因为x∈0，孕，有-8 k.cO5x<0,2-a-).sinx>0,故M()<0, 则M()在Q,孕单调递减，因为M)为偶函数，则M)在[0)单调递增， 又因为Mc受=M(孕=-3x<0,M0)=p0>0, 由零点存在性定理得，M()在[-受0和(Q,各有一个零点，分别记为，出 则x∈(5，)时，p(x)=M()>M()=M(化)=0，p(x)在(：，x)单调递增； 即x∈(：，0)时，g'(x)=p(x)<p(O)=0,g(x)在(5,0)单调递减： x∈(0，x)时，g'(x)=p(x)<p(0)=0,g(x)在(0，x)单调递增， 又因为g(O)=0,则x=0是g(x)的极小值点，不符合题意. …11分 综上说述，a≥6 (3)nsin-)=2sinco )≤2sim} …13分 由(2)知a=6时，f()在(0，单调递减，f0)=0, fk0,ae0》 f<f0,即simx<x+6 6.x …15分 :sim'3-12 21+6 25 …16分 4 sin0.01+sim0.03+…+sin0.99<50-simg=24 …17分 6