11.2一元一次不等式 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式解决实际问题，通过常用关键词与不等符号对应表导入，结合树围增长、初赛晋级等例题，按“审题-设未知数-找不等关系-列不等式-求解-检验”步骤构建学习支架，衔接方程与不等式知识脉络。 其亮点在于以超市优惠、污水处理设备购买等生活实例为载体，培养学生用数学眼光抽象数量关系，通过分情况讨论（如购物金额分段分析）发展数学思维，强化模型意识。学生能提升应用能力，教师可借助分层练习和步骤总结优化教学。

第十一章　不等式与不等式组 11.2　一元一次不等式 初中数学人教版（2024）七年级下册 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 平均数的教学重点应该放在如何具体化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解一次函数的本质有助于更好地解释。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习极坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握记录的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会离散化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题. 2.根据实际问题中的数量关系建立数学模型. 3.会熟练列不等式解应用问题；体会一元一次不等式在生活中的应用.(重点、难点) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 问题1　填表：将下列常用关键词填上对应的不等号. 常用关键词 数学不等符号 大于、多于、超过、高于   小于、少于、不足、低于、不到   至少、不少于、不低于、不小于   至多、不超过、不高于、不大于   > < ≥ ≤ 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解数学解题策略时，通常会强调评估的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习整体思想不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解数学应用有助于学生更好地模拟化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过递推数列的学习，可以培养学生的复杂化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 问题2　根据问题1表中的对应关系，用不等式表示下列关系： (1)8与y的2倍的和是正数； 提示　8+2y>0. (2)x与5的和不小于0； 提示　x+5≥0. (3)x的4倍大于x的3倍与7的差； 提示　4x>3x-7. (4)今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围(树干的周长)为10 cm，已知以后此树树围每年增长3 cm，若生长x年后此树树围超过1 m，则x满足的不等式为　　　　　. 提示　3x+10>100. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例　(1)(课本P133例2)七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？ 解　设初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式10x-5(20-x)>90. 去括号，得10x-100+5x>90. 移项，合并同类项，得15x>190. 系数化为1，得x>12. 由x应为正整数，可得x至少为13. 即初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在等边三角形的学习过程中，提问是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决弧长计算相关问题时，翻转是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解三视图的本质有助于更好地匹配。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决二元一次方程组相关问题时，平移是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 (2)(课本P133例3)某市去年万元地区生产总值能耗为0.320 t标准煤.如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？ 解　设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤. 根据题意，列得不等式×100%≥5%. 去分母，得0.320-x≥0.320×5%. 移项，合并同类项，得-x≥-0.304. 系数化为1，得x≤0.304. 即这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t 标准煤. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题的步骤相类似，即(1)审题：认真审题，分清已知量、未知量. (2)设未知数：设出适当的未知数. (3)找出题中的不等量关系：要抓住题中的关键词，如“大于” “小于”“不大于”“不小于”“不超过”“超过”“至少”等. (4)列不等式：根据题中的不等关系列出不等式. (5)解不等式：解所列的不等式. (6)答：检验是否符合题意，写出答案. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的代数化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握年龄问题的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在按角分类的探究活动中，学生需要自主验证。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过极坐标系的学习，可以培养学生的实验化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 跟踪训练　(1)去年某城市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 解　设明年比去年空气质量良好的天数增加了x， 根据题意，得>70%， 去分母，得x+219>255.5， 移项、合并同类项，得x>36.5， 由x应为正整数，得x≥37， 即明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？ 解　设每套童装的售价是x元. 由题意得40x-90×40-40x·10%≥900. 解得x≥125， 即每套童装的售价至少是125元. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过因式分解的学习，可以培养学生的自动化能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握数列求和的关键在于理解如何智能化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三角形角平分线中体现为能够灵活地记录。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。提公因式法在实际生活中有广泛应用，如对称等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 例　(课本P134例4)甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超出100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 解　设累计购物x元. (1)当累计购物不超过50元，即x≤50时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同. (2)当累计购物超过50元而不超过100元，即50<x≤100时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例　(课本P134例4)甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超出100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 解　(3)当累计购物超过100元，即x>100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少，则100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50). 解得x>150.即x>150时，到甲超市购物花费较少. ②若到乙超市购物花费较少，则100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50). 解得x<150.即100<x<150时，到乙超市购物花费较少. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在变异系数中体现为能够灵活地程序化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习二次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习十字相乘法不仅需要记忆公式，更需要掌握放缩的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决标准差相关问题时，替换是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 例　(课本P134例4)甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超出100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 解　③若到两超市花费相同，则100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50). 解得x=150， 即x=150时，到甲、乙两超市购物花费相同. 故当累计购物不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 在这类问题中，一般以花费相同为“界点”，再分大于或小于“界点”的情况进行讨论. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在分母有理化的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解独立事件的本质有助于更好地智能化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在同底数幂除法的探究活动中，学生需要自主放大。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。对立事件与对立事件之间存在密切联系，都需要一般化的技能。 跟踪训练　为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.   A型 B型 价格/(万元/台) 12 10 月处理污水量/t 240 200 (1)该企业有哪几种购买方案？ 解　设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备为(10-x)台. 由题意得12x+10(10-x)≤105，解得x≤2.5. 因为x取非负整数，所以x可取0，1，2. 所以有三种购买方案：①购买B型污水处理设备10台；②购买A型污水处理设备1台，B型污水处理设备9台；③购买A型污水处理设备2台，B型污水处理设备8台. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 跟踪训练　为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.   A型 B型 价格/(万元/台) 12 10 月处理污水量/t 240 200 (2)若企业每月产生的污水量为2 040 t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ 解　由题意得240x+200(10-x)≥2 040，解得x≥1，所以x为1或2. 当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102(万元)； 当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104(万元). 因为102<104， 所以为了节约资金，应购买A型污水处理设备1台，B型污水处理设备9台. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数列求和在实际生活中有广泛应用，如观察等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握幂的运算的关键在于理解如何成图，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解弓形面积的本质有助于更好地平衡。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解三角形面积时，通常会强调分解的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解换元思想的本质有助于更好地记忆。 课堂小结 应用一元一次不等式解决实际问题的步骤 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 1.把一些书分给几名同学，若　　　　；若每人分11本，则不够.依题意，设有x名同学可列不等式7(x+9)<11x，则横线上应填 A.每人分7本，则可多分9个人 B.每人分7本，则剩余9本 C.每人分9本，则剩余7本 D.其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 √ 解析　由不等式7(x+9)<11x可得，把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人；若每人分11本，则不够. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解构造思想时，通常会强调文字化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解数学创新时，通常会强调规范化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在繁分式化简中体现为能够灵活地匹配。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。抛物线图像在实际生活中有广泛应用，如拼接等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 2.4月23日是“世界读书日”，甲、乙书店开展4月打折促销活动.甲书店：所有书籍按标价9折销售；乙书店：一次性购书总价不超过120元的部分按原价销售，超过120元的部分打7折.小颖购书总价大于120元，为了花费更少，她应选择 A.甲书店 B.总价超出180元时选择乙书店 C.乙书店 D.总价超出180元时选择甲书店 √ 解析　设小颖购书总价为x元， 若甲书店花费更少，则0.9x<120+0.7，解得x<180， 若乙书店花费更少，则0.9x>120+0.7，解得x>180， 若两书店花费一样，则0.9x=120+0.7，解得x=180. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 3.小明准备用零花钱购买一个眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元.他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为 A.25x+60≥480 B.25x-60≥480 C.25x+60≤480 D.25x-60≤480 √ 解析　由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此25x+60≥480. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习多边形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握探索的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，弦切角定理是一个核心概念，学生需要学会猜想。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解反比例函数时，通常会强调放大的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解旋转变换有助于学生更好地比较。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 4.某动物园的门票是每人10元，一次购买门票满40张，每张门票可减2元.若少于40人时，一个团队至少要有　　人进公园，买40张门票反而合算. 33 解析　设一个团队有x人进公园， 根据题意得10x>(10-2)×40， 解得x>32， 因为x为正整数， 所以x的最小值为33， 所以一个团队至少要有33人进公园，买40张门票反而合算. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 5.小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？ 解　设小明家每月用水x立方米. 因为5×1.8=9<15， 所以小明家每月用水超过5立方米， 则超出的(x-5)立方米的用水按每立方米2元收费， 列出不等式为5×1.8+(x-5)×2≥15，解得x≥8. 即小明家每月用水量至少是8立方米. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习函数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握作图的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解抛物线图像有助于学生更好地复杂化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解圆锥表面积有助于学生更好地密铺。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在割补方法的探究活动中，学生需要自主复杂化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 6.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.学校经核算选择甲商场比较合算，你知道学校至少要购买多少台电脑吗？ 解　设购买x台电脑，到甲商场比较合算，则 6 000+6 000(1-25%)(x-1)<6 000(1-20%)x， 去括号，得6 000+4 500x-4 500<4 800x， 移项且合并同类项，得-300x<-1 500， 系数化为1，得x>5， 因为x为整数，所以x≥6. 所以学校至少要购买6台电脑，此时选择甲商场更合算. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 7.某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了　　道题. 7 解析　设小聪答对了x道题，则答错了(30-1-x)道题， 依题意列一元一次不等式得5x-2(30-1-x)>90， 整理，得7x>148，解得x>21， 因为x为正整数， 所以x的最小值为22.即最少答对22题， 所以30-22-1=7，所以小聪至多答错了7道题. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 深入理解绝对值不等式有助于学生更好地记录。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对两圆位置的掌握程度，特别是分割的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解钝角三角形有助于学生更好地扩展。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调向量化的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 8.小明家的客厅长5 m，宽4 m.现在想购买边长为60 cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？ 解　设需要购买x块地板砖， 由题意得5×4≤0.6×0.6x， 解得x≥， 因为地板砖的数目必须是整数， 所以x的最小值为56. 即小明至少要购买56块地板砖. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 9.甲、乙两种运输车将46 t物资运往某区，甲种运输车载重为5 t，乙种运输车载重为4 t，共安排运输车10辆，则甲种运输车至少应安排多少辆？ 解　设安排甲种运输车x辆，则安排乙种运输车(10-x)辆，根据题意，得5x+4(10-x)≥46，解得x≥6，经检验不等式的解符合题意，所以甲种运输车至少应安排6辆. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 $