1.4.1线段的垂直平分线专项练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线性质与判定，通过概念辨析、性质应用、定理推导构建系统性训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1、3|外心性质辨析|从定义到三角形垂直平分线交点性质| |性质应用|选择2、11、15(2)|“垂直平分线上点到两端距离相等”直接应用|性质与等腰三角形、周长计算结合| |作图与综合|选择5、8、17|尺规作图（大于1/2AC画弧）、中垂线性质综合|作图原理到角度/周长综合计算| |定理推导|解答18|性质定理“线段垂直平分线上点到两端距离相等”证明|从折叠操作抽象出逻辑证明，培养推理意识|

1.4.1线段的垂直平分线专项练习 答案解析 一、选择题 1、答案：B 解析：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，这个点是三角形的外心。 2、答案：B 解析：直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此可以得到： AO=BO（垂直平分线平分线段 AB），A 选项正确； 点 A、B 关于直线 l 对称（垂直平分线是线段的对称轴），C 选项正确； PA=PB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），D 选项正确； PO 是点 P 到 AB 中点的距离，AO 是 AB 的一半，二者没有必然相等的关系，因此 B 选项不一定正确。 3、答案：B 解析：要让休息厅到三个景点的距离相等，即该点到△ABC 三个顶点的距离相等，根据垂直平分线的性质，这个点是三角形三边垂直平分线的交点。 4、答案：D 解析：在筝形 ABCD 中，AD=CD，AB=CB，BD 为公共边，因此： 在△ABD 和△CBD 中： ∴△ABD≌△CBD（SSS） 由此可得： ∠BAD=∠BCD，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，即 BD 平分∠ADC 和∠ABC； 同时可得∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，即 AC 平分∠DAB 和∠DCB，因此 AC 平分一组对角，D 选项正确。 由于 AD 与 AB 长度不一定相等，因此 DO 与 BO 长度不一定相等，即 BD 不一定被 AC 平分，因此 AC 与 BD 不是互相垂直平分，AC 也无法垂直平分 BD，因此 A、B 错误；BD 本身平分两组对角，C 选项描述不准确。 5、答案：D 解析：根据作图过程可知，FD 是 AC 的垂直平分线，因此 AE=CE，且 AC=2AD=4。 △ABE 的周长为， 因此△ABC 的周长为。 6、答案：B 解析：AB 的垂直平分线交 AC 于 E，因此 AE=BE。 △BCE 的周长为， 已知 AC=27，因此。 7、答案：B 解析：AB 的垂直平分线交 BC 于 E，因此 AE=BE，可得∠B=∠BAE； 同理 AC 的垂直平分线交 BC 于 F，因此 AF=CF，可得∠C=∠CAF。 在△ABC 中，∠BAC=115°，因此∠B+∠C=180°-115°=65°， 则∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=65°， 因此∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=115°-65°=50°。 8、答案：C 解析：根据作图可知，MN 是 AC 的垂直平分线，因此 AD=CD，可得∠CAD=∠C=36°。 在△ABC 中，∠B=72°，∠C=36°，因此∠BAC=180°-72°-36°=72°， 因此∠BAD=∠BAC-∠CAD=72°-36°=36°。 9、答案：C 解析：等腰△ABC 中，D 是 BC 中点，因此 AD⊥BC， △ABC 的面积为 18，BC=6，因此，解得 AD=6。 EF 是 AC 的垂直平分线，因此点 A、C 关于 EF 对称，即对于 EF 上的任意点 M，都有 AM=CM。 因此△CDM 的周长为， 根据两点之间线段最短，的最小值为 AD 的长度，当 M 为 AD 与 EF 的交点时取到最小值。 CD=，因此周长最小值为。 10、答案：C 解析：已知 AB=AC，OB=OC，因此点 A 和点 O 都在 BC 的垂直平分线上，即 AO 所在直线是 BC 的垂直平分线。 点 A 到 BC 的距离是 6，点 O 到 BC 的距离是 4： 若 O 在△ABC 内部，即 A、O 在 BC 的同侧，则 AO=6-4=2； 若 O 在△ABC 外部，即 A、O 在 BC 的异侧，则 AO=6+4=10。 因此 AO 的长度为 2 或 10。 二、填空题 11、答案：27 解析：AB=AC，AD⊥BC，因此 AD 是 BC 的垂直平分线， 点 P 在 AD 上，根据垂直平分线的性质，PB=PC，因此 PC=27。 12、答案：AC⊥BD 解析：筝形中，AB=AD，CB=CD，因此 AC 是 BD 的垂直平分线， 13、答案：32 解析：DE 是 AB 的垂直平分线，因此 AE=BE=6，AB=2AE=12，且 BD=AD。 △ACD 的周长为， 因此△ABC 的周长为。 14、答案：22 解析： BD 是△ABC 的中线，因此 D 是 AC 中点，AD=DC，△ADG 和△CDG 等底同高，因此。 四边形 ACGE 的面积为 13，四边形 CDGE 的面积为 8，因此，则。 由此可得。 EF 是 BC 的中垂线，因此 E 是 BC 中点，BE=EC，△BEG 和△CEG 等底同高，因此。 △CBD 的面积为， 由于 BD 是中线，。 三、解答题 15、解答： (1) ∵AB=AC，∠A=50°， ∴△ABC 为等腰三角形，。 ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°， ∴。 (2) ∵DE 是 AB 的垂直平分线，AE=4， ∴AB=2AE=8，且 AD=BD。 ∵AB=AC，∴AC=8。 △CBD 的周长为， ∴。 16、证明： ∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠AED=∠AFD=90°。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中： ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE=AF。 ∵AE=AF，DE=DF， ∴点 A 和点 D 都在 EF 的垂直平分线上， ∴AD 垂直平分 EF。 17、解答： (1) ∵l₁是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵l₂是 AC 的垂直平分线， ∴AE=CE。 △ADE 的周长为， 已知△ADE 的周长为 12cm，因此 BC=12cm。 (2) ∵l₁、l₂是垂直平分线，交点为 O， ∴OA=OB，OA=OC，即 OA=OB=OC。 △OBC 的周长为，已知 BC=12cm， ∴， ∴OB=OC=10cm， ∴OA=OB=10cm。 18、解答： (1) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 (2) 已知：如图 1，MN⊥AB 于点 C，AC=BC，点 P 是直线 MN 上的任意一点． 求证：PA=PB 证明： ∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°， 在△PCA 和△PCB 中： ∴△PCA≌△PCB（SAS）， ∴PA=PB。 (3) 答案：72° ∵CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∠APC=90°， ∴∠CAB=∠CBA=50°。 ∵∠CAD+∠DAP=∠CAB， ∴∠DAP=∠CAB−∠CAD=50°−22°=28°。 ∵∠DAP+∠ADP=90°， ∴∠ADP=90°−∠DAP=90°−28°=62°。 19、解答： (1) 证明： ∵BG∥AC， ∴∠GBD=∠C。 ∵D 为 BC 的中点， ∴BD=CD。 在△BDG 和△CDF 中： ∴△BDG≌△CDF（ASA）， ∴BG=CF。 (2) 猜想：，理由如下： 由 (1) 可知△BDG≌△CDF， 因此 BG=CF，DG=DF。 ∵DE⊥GF， ∴DE 是 GF 的垂直平分线，因此 EG=EF。 在△BEG 中，根据三角形三边关系，， ∵BG=CF，EG=EF， ∴。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1线段的垂直平分线专项练习 一、选择题 1、到三角形三个顶点距离都相等的点是这个三角形的（） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 2、如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，下列说法不一定正确的是（ ） A.AO=BO B.PO=AO C.点A、B关于直线l对称 D.PA=PB 3、如图，某景区有A，B,C三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（       ） A. △ABC 三条中线的交点 B. △ABC 三边垂直平分线的交点 C. △ABC 三条高的交点 D. △ABC 三条角平分线的交点 4、如图，在四边形 ABCD 中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作 “筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的是 ( ) A. AC 与 BD 互相垂直平分 B. AC 垂直平分 BD C. BD 平分一组对角 D. AC 平分一组对角 5、如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，分别以点 A，C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧交于点 F，直线 FD 交 BC 于点 E，连接 AE，若 AD＝2，△ABE 的周长为 12，则△ABC 的周长为 ( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6、在△ABC 中，已知 AC=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，则 BC 的长是（ ） A．22 B．23 C．32 D．33 7、如图，△ABC 中，∠BAC=115°，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F，连接 AE、AF，则∠EAF 的度数是（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 8、如图，在△ABC 中，∠B=72°，∠C=36°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为（ ） A．40° B．38° C．36° D．32° 9、如图，等腰的底边的长为 6，面积是 18，腰的垂直平分线分别交，边于 E，F 点．若点 D 为边的中点，点 M 为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 10、在△ABC 中，AB＝AC，OB＝OC，点 A 到 BC 的距离是 6，点 O 到 BC 的距离是 4，则 AO 为 ( ) A. 2 B. 10 C. 2 或 10 D. 无法测量 二、填空题 11、如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC，点 P 是 AD 上一点，连接 PB、PC，若 PB=27，则 PC 的长为 ． 12、如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 “筝形”，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 13、 如图，将三角形纸片ABC的一角沿AB的垂直平分线翻折，折痕为DE，点B与点A重合，已知△ACD的周长是20，AE=6，则△ABC的周长是______ 14、如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连接AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACGE的面积分别为8和13，则△ABC的面积为______ 三、解答题 15、如图,在△ABC中,AB =AC,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E . (1)若∠A =50°,求∠CBD的度数; (2)若AE =4,△CBD的周长为13,求BC的长. 16、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．求证∶AD 垂直平分 EF． 17、如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，AD，AE.若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm. (1)求线段BC的长； (2)连接OA，求线段OA的长． 18、演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答． (1) 如图 1，直线是线段的垂直平分线，P 是MN上任一点，连接PA,PB，将线段AB沿MN直线对折，我们发现PA与PB完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理： ． (2) 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图 1，MN⊥AB 于点 C， ，点 P 是直线上的任意一点．求证： 证明： (3) 如图 2，CD 是线段 AB 的垂直平分线，∠CAD=22°，∠CBA=50°，则∠ADP= °． 19、如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF． （1）求证：BG=CF． （2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $