同学们好，今天这一节课是咱们本专栏的最后一次课，也是咱们三角函数的最后一节课。当然了，这只是本专栏的最后一节课，你们的学习还是远远没有结束的。希望大家仍然再接再厉，在我讲的这这前四节的基础之上，争取自行把三角函数剩余的章节给学完。这个当然也是希望大家在假期培养自主学习能力的一个好的一个开端，对于你以后的人生也是有很大帮助的。因为学习优秀的同学都是自主学习能力很强的同学，这对于咱们以后终身学习的这种能力也是有好处的，希望大家加以重视。好。下面我们。来开始本节课的具体内容的学习。下面我们来看一下这样一个岛屿，大家看前面有一个影子，这是一首歌，可能对于现阶段你们来讲的话，这首歌是非常陌生的。你像对于70后和80后人来讲的话，这首歌非常的熟悉。这首歌可以说是当年的电视，很多的人都会唱什么像这首歌的调子，我唱歌的水平不行，所以说就是不再给大家唱了，你们直接看这样一个歌词就行了。这里面流露出一个东西，就是团结就是力量，团结就是胜利。什么一加十10加百百加千千万，你加我，我家里大家心相连。像这样的，这里就像我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系。比如说我们刚刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间也有一些联系。也就是说对于同样一个角阿尔法，那么我们来看一下这个sine阿尔法、cosine阿尔法还有tine阿尔法，这三个三角函数值之间，它们到底之间有什么联系呢？好，下面我们来研究一下利用同角三角函数的关系来求值。这里我们先看一下这个表，这也是特殊角的财产物资。这个表我就不再说了，你们自己下去推导，这个也很简单。当然了有同学利用初中的1根号32来记忆六分之派和3分之派对应的三角函数值，利用。等腰直角三角形。11根号2来记四分之派对应的三角数值也是可以的这个也是可以的。好，那么下面我们来看一下问题2，PXY是角阿尔法中边与单位圆的交点，那么则阿尔法三个三阿尔法的三个三角函数值之间有什么关系呢？那现在我们来找一下，如果余弦不为零，则正切一定等于正切比余弦。因为P在单面上有购物地点，我们可以得到X方加Y方等于BX就是cosine，y就是sine对吧？所以说会有一个这样的两个关系。第一sine方加cosine方是等于一，第二个sine除以cosine是tg这是一个是平方关系。一个叫做什么关系呢？一个叫做商数关系。大家注意，商数关系也就是说同一个角的正弦余弦的平方和为一，而商是等于角阿尔法的直接。这个关系比较简单，我不再多说了。这里面我们要注意这样的三个注意点。第一，同角的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都是成立的这是要注意的。第二个，这个公式大家注意，对于一切X属于R成立，但是这个不行，这个行为为什么不行呢？因为你cosine化不能为零，我们看一下这有什么样限制条件，cosine阿尔法如果等于零了，那就相当于Y是等于零的。就是你这个中间不是上有1点XY，对吧？相当于Y为零，Y为零是不是中间就落在X轴上？中边路的X我们就用零加K派对，零加K派，说错了，就是XX这个cosine 20X就是X为零，那就中边路在Y轴上，那前面我们不是说过吗？中边路在Y轴上的话，那就说明你这样一个的，你这样的一个不能取二分之派加上一个K派。你看前面我们讲了tangent法如果等于零了，不是tent阿尔法如果说存在了，那就阿尔法不能取二分之派才可以吗？他说阿尔法如果不存在，你中间绝对不能落在Y轴上，因为tine尔法是Y比X，就相当于X取0，对不对？这是大家要注意的。另外缩写的时候，我们sine方阿尔法可以写成sine阿尔法乘sine阿法你不能把平方加在这个位置，如果说你把平方加在这个位置也就错了，这是咱们要注意的三个方面。下面我们来练一道例题，是这个都比较简单，我跟大家所以还是要得抓基础，把基础抓好就可以了。Cosine阿尔法是等于负的5分之3，求sine阿尔法和tine阿尔法还是一样的。我们用臀脚尖的三角函数值来进行，这就简单一些。首先就两个公式，一个sine方加cos方减一等于sine除以cosine。首先我们看啊，因为cosine阿尔法是等于-5分之3小于0，所以阿尔法是第二象限和或第三象限角因为是负值，一四为正，二三为负，对吧？所以说有这样一个条件，所以说当阿尔法是第二象限角的时候，sine阿尔法大于0，cosine尔法小于0。这样的话sin 2化开根号之后就是一个正值，直接将值代你算出是5分之4。最后再算这个正弦，是正弦比余弦就是负的，3分之4就OK了。同理当阿尔法是第三象限角的时候，正相为负，正切为正。所以说cosine 2号这个时候就带负号了，因为是开根号就是负号，就是负的根号下一减去括起来负的5分之3的平方就是负的5分之4。所以这个正切就是3亿笔cosine，把这个值往里面一带就是3分之4就OK了。这是你课本难度，比较简单。我们反思一下，已知一个这个反思也希望大家如果基础差的同学可以把这个记下来。已知一个三角函数值，求其他三角函数值的方法。如果说已知sine阿尔法等于M那我们可以先求cosine法，注意带正负。如果说你能判断它的象限，直接该取证就取证。根据余弦。依次为证。以四为正，23为负对。二三是负的来决定决定这个前面是正还是负，求得这个值。再根据正切用正弦比余弦，这两个都是已知的这一出就OK了，这是第一种。第二种跟向量一样的，对吧？先求sine再利用摊记公式，三笔扣三就OK了。第三个提醒刚才没有，如果知道正西怎么办呢？先写sine除cosine等于M这样的话把这个分式化整式，然后再和3亿方加构成方联立就OK了。这一步我可以大家操作一下，你看你把这个整体代到这个里面来，它的平方就可以写成M方cosine方阿尔法，再加上一个cosine方阿尔法等于一。这个整理一下，就是M方加一倍的cosine方的话就提公因式，或者是合并系数等于一。这样我们可以推出cosine方，阿尔法就等于M方加1分之1。你看然后再一开，就在正负还是一样的。如果说具体的题有象限，这个正负就可以确定。如果说不确定的就进行分类讨论，或者带正负都可以。然后这个声音就是M倍的，它所以说上面的乘个M就是sin的就OK了。在这里面第四点大家要重点关注一下，就是注意要根据角的终边所在的象限，我们来判断三角函数值的符号就OK了。这是我们反思感悟，我们额外的多讲一下，这个因为很重要，尤其是符号，往年有很多同学都判断有问题。所以说大家在新学这个课的时候，一定要的把老师额外强调的地方一定要多加小心了。下面我们来练练题，大家把视频暂停，暂停之后我们来对下答案。此题的解题过程，实际上你看你这个过程对不对？因为sine加三倍的cosine是等于0，所以说sine就等于负三倍的cosine。那么根据两个关系，一个是平方关系，一个是商数关系，对吧？这是平方关系，把它代换进去，就光我就是我刚才讲的那个M，M相当于负三对吧？解除cosine阿尔法等于正负十分之根十分两种情况。这个讨论你看一个是中边落在第二象限，一个是第四象限。当在第二象限的时候，余弦为负，正弦正弦正弦指正。同理，当阿尔法中间的第四选项的时候，一正一负，反过来就OK了。此题比较简单，我们来看第二类题型，化简的题型。下面我们来看一个问题，我们看同角间的三角函数关系有哪些变形。今天我们来看一下有哪些结论的变形。大家看有这样的几个，第一个用余弦表示正弦，注意这个含义，用余弦表示正弦就是把正弦换掉。第二个是用正弦表余弦。把余弦换掉。结果保留正弦的，这个是直接开出来。这两个公式也是经常用的，大家知道就行了，这一个公司才有意义。这个公司它体现了和差之间的关系和差之间的关系还有一个结论，我可以先给大家介绍一下，就是大家看你不是正负，所以说我们会有一个sine阿尔法加cosine阿尔法的平方，再加sine阿尔法减cosine阿尔法的平方，居然是一个定值2。大家看这就是和差之间的一个关系这是和差之间的关系。你们看一个一加两倍的差，一个一减两倍的差不就完了吗？有同学老师这个怎么怎么得到的？打开会，打开的话，你看我只写一个它的平方，你打开之后就是谁啊，sine方加上一个两倍的sine cos。再加cosine方阿尔法都在阿尔法没有读。Sine方加cosine方是一，不就是一加两倍的sine阿尔法乘以cosine阿尔法，比较简单，这是提示部分的，下面正切好。我把这个。屏清一下，你们该做笔记往前拼一下，或者橡皮擦把它擦掉。这个我擦掉这个位置，最后做个笔记，你可以把视频往前拉拉一点再看，这个就是它变形，你看分式化整式，我换个颜色。大家看这个原来是谁啊？原来是分式把cosine 2号乘过来分式化整式这个调换都是它的变形。所以说这里面利用上述变换，我们可以对三角函数值函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换。我变形的目的就是说我在化简的时候能最优解，就最优化计算过程最少，次数最低，项数最少，运算过程最简单，能不含根号就不含根号，反正就是那些怎么简单怎么来就OK了。好，这是咱们变换的一个要求。你像后面三角恒等变换那一块就难了，对吧？涉及到二倍角半角等等。这个因为大家暂时还没有学到，所以说我先只讲这么多，我们看利润化简。好。大家暂停做一下。这个题比较简单，我们直接化简就行。此题过程是这样的，通分的通分，这是第一步。通分然后打开，然然后把它打开，合并分母直接用平方差公式换成1减3 1方分子。你看sine阿尔法减三元方，消掉负三一方，负三方就是负二倍的sine方。把下面换成cos方，化简之后删除cos就是弹性，这是化简的最后结果。所以化简结果不一定就是一个值，有可能是个代数式，其实这就。练基本功。第二个这个就是带度数的，暂停之后做一下对答案。此题过程是这样的，上面根据我们讲的公式的变用和利用，就是倒着用。我们前面不是有一个cosine加sine方不等于一加两倍的sine乘cosine，对不对？所以这里面可以写成cosine十度加sine十度开根号，下面这个转化成sine十度的平方，对吧？Sine十度平方开根号就是sine十度，因为它是个正值。注意根号A方开出来是A的绝对值，所以说这里开出来直接是34度。如果大家注意，如果人家这边是sin跑到第三象限是190度，190度的平方开根号，你们看这就应该是绝对值下的乘以190度，绝对值绝对值。那这个190度B第三项就是负值，那你开出就是负的sine 190度要这样写，这道题我额外多加讲一下，就是怕你们搞错。好，换到这一步之后，上面因为十度都是锐角，这些余弦都是正值开出来直接本来是应该加绝对值，因为它是正直直接开出来。你看这边第二步加绝离子去绝，这个不变化，一除一就完了。第三个还是一样，先暂停，这个过程是这样的，这个也比较简单，七块钱7万年之后，该消消该约约，该通风通，对吧？我把它通分通分，大家一看哟这么复杂，上面刚好是个完全平方式，因为前面咱们已经讲过因式分解了，这个就小儿科了。你们看啊，由今天的这个式子，你们现在应该更加理解我们这个衔接班课为什么要讲这个因式分解，原因也在于此，高中的计算比较复杂，如果说你的因式分解底子不行，那你这恐怕就看不出来，这是一步，然后上面写成了完全平方式就是一。所以这个结果就是sine阿尔法乘cosine阿尔法分之一，目前没有学过2B角，只能换点到这里。好，我们反思一下这中间化简技巧有哪些。第一，化纤为险，有些时候化简为清，所以说这里面我把这个它改一下，改成什么七弦护发。原来。9几年. 的时候，我上高中的时候，我们那叫什么切割化弦。而现在叫做切弦互换的不一样了。因为书本在改版，改版我们再谈切割画线就没有意义了。我们叫切弦互换。既把正切函数化为正弦余弦，从而减少三角函数。总之统一名称。在这里面我总结一下，叫统一名称。你不把名称统一起来你怎么搞，对吧？要统一名称，对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号就可以了。想办法开开根号开出来，对吧？对于化简含有高次的质量函数值，往往要借助于一的代换，这个也称之为常值代换。这都是有专业名字的，叫长治代办。好，这是三个反思。下面我们来练一道题，你看这个次数很高，下面大家来画一下，我给大家对一下这个答案。好，这个过程是这样的，首先画同名对吧？这个解析，我们这个过程还是搞得有点复杂了。你比如说你要不会全都画这些，它肯定能换掉，对吧？所以说我们把这个一的代换换掉，一的代换换掉，后面那个弹警方七块钱。然后大家注意上面。第一项居然。就消掉了，就是一。第二项乘开之后也是一，你看两个一消对吧？也是一，所以说这个答案就是2，课本难度。如果说你课本难度都攻不破不了，那这个数学就危险了。下面我们看恒等式的证明，而且是一般的恒等式。有人说老师为什么这一般呢？因为他确实很一般，为什么呢？还有复杂的可能是我们高考不研究，自主招生里面有啊那么复杂的方程式多的很，在此我不再讲了。讲了之后怕大家学习数学的压力更大了，对不对？你这个衔接班课我们已经讲的是相对比较基础的。当然了同步课堂我们会很难同步拔高，那就是奔到985去的。好，第三，由左边。推右边。可以由右边推左边也可以左边推一部分，右边推一部分，找共同之分也行，方法很多，随便你选中哪一个，总之一定要画一致。好。放上一，左边画圈，然后等于上面是一个完全平方式，消去一个公因式。你看下面用平方差公式打开，消去公因式，消去sin加cos消掉一个。上面是一项，下面是钱。有没有同学看不出这一步到这一步怎么来的这一步到这一步就是把分子分母我讲慢点，分子分母同时除以cosine阿尔法。就OK了。或者是同时乘以cosine阿尔法分之一也行，那分式的值不变对吧？相当于每一项都除以。cos阿尔法。就得到这个式了。反而从右边推左边，你看前面是左边推右边，那么下面是右边推左边右边推左边。切换嫌这是第一步，切换嫌然后将这一步到这一步怎么变呢？上下同乘以乘以cosine阿尔法，你们看每一项都乘以cosine阿尔法，第一项乘以sine尔法，第二项cosine法，以此类推，分子变成它那不就完了吗？所以说再把它分子分母同时乘以sin加cos所以你是往左边画的，再乘以sin加cos就OK了，在一一整理一变形就可以了，这是两种常见技巧。下面我们来反思一下，证明三角恒等式常用的方法有这样5种方法，每一种都要会。这里由左向右推导或者是由右向左推导。一般来说遵循一个由繁到简的原则。你看哪个是复杂，就从复杂式出走，你会从简答式出走。这里大家给大家提示说一下第二个，左右归一法。什么叫左右归一法呢？左边正一正，右边正一正，也就是说左右都很复杂。我把左右都画到一个，最简单是然后它俩相同就OK了。第三个化异为同法，针对题舍与结论之间的差异，有针对性的变形就可以了。第四，变更命题法，比如说A出B等于C出D10字交叉相乘。大家都会，你看这样把分式的证明转化成等等式的证明多舒服。这实际上也叫什么？也叫综合分析法，专门有名字，我们前面课程已经讲过了，叫做综合。分析法。第六。比较法，左边加右边等于0，或者是左边除右边等于一，这叫等价变形叫比较。一个是做差比较，一个是做商比较就可以了。好，这是吴总给大家整理总结了。好，下面我们来看注意的。第一个证明三角恒等式的实质就是清楚等式两端的差异，有目的的化解，你不要没有目的，对吧？第二个基本原则就是由繁到简，常用方法就是由左到右正，由右到左正，还有左右同时针。前面已经讲过了不再说了，练一道题，这就分式来了，对吧？分式来大家不用怕，方法也很多，想用哪种就用哪种证。证出来我们再对答案。给大家赏析一下几种方法。首先方法一，右边大家看画成这种形式，然后再打开大家看这个形式怎么老是这样呢？有同学。讲好画到这一步之后，我们再进行变形，最后就推到右边了。我觉得这种方法不是蛮好的方法，为什么你还得不能随便变，你要的把余弦都变成正弦和正切就可以了。有同学看到，密密麻麻都是弹力生一节，你看花了没有我估计有同学眼睛已经看花了了，大家注意，我给大家点播一下。因为我们学过tent阿尔法是等于sine阿尔法除以谁啊？Cosine阿尔法，因为你的左边是谁啊？你左边只有正弦和正切，你没有余弦，把余弦移过来，cosine阿尔法就等于sine阿尔法除以谁啊？看见了吗？现在懂了吗？把它全部关掉，一做就OK了，这是一种技巧再看方法2，左边画到最简，右边再画到最简。你看切换线，这个是sine除以cosine，这个解析没有具体讲解，我从这里推一下，给大家推一下。判定是3E注意，你退到这一步之后，把这个摊定直接消掉就可以了。这边没有这个细说，消掉这项是一对吧？走到这一步我们再看右边，右边是不是也有胎记，全部消掉。我们下面只需证明右边的这个式子等于左边就可以了。把这个分子分母同时乘以一减cosine。这样的话你上面一减cosine方才是会出现sine的对吧？出现声音之后，消去了声音就OK了，这个方法也比较好好，这就证明完了。好，我们小结一下。今天咱们讲的有两个，一个是同角三角函数的关基本关系，第二个利用同角三角函数的基本关系求值化简与证明。这个方法就是由部分到整体，整体单方法误区一定要注意阿尔法取值范围，如果无法确定，一定要对阿尔法的象限进行讨论。谁不讨论谁将来就要丢分，一丢至少丢五分，五分就代表着你落后五操场的人，对吧？这个原理倒。也不再。多说了啊，我们练四道题，第一题大家把视频暂停，对下答案就可以了。D题答案选D，这个原因也很简单，因为它是锐角对吧？由sine求cos cosine就是5分之4，然后再用正切等于sine除cosine就是4分之3就OK了，这是第一题。我们再看第二题，此题的答案选C大家看阿尔法已经告诉我们了，这是第三象限角余弦一定是负值。你看在这个都是不靠谱的对吧？只有C对，这个题好像连算都不用算，对不对？有人说老师这个题高考会不会这样考？绝对不会。他绝对我两个比如说葛军来设计出题都会搞个负的5分之3。当然葛军不会也会出一些简单题，但是他不会这么，那你一步就是排除了，对吧？排除三这是不太可能的。现在高考题都可以这样来设计，9几年高考题有，这个具体算就这样了。就是根据正切等于正线除余弦等于4分之3，然后年利对吧？把这个当做一次，这个是二次隐含式，二次一二次年利。你消去正弦，保留余弦就OK了。最后化简是它开方去复制就OK了。第三个。暂停。然后对答案，答案选A原因是由三角函数定义tg尔法等于3除2倍的sine阿尔法。然后再把sine阿尔法sine尔法由sin处扣成十字交叉相乘，sine阿尔法乘两倍的sine阿尔法等于3乘4 cos阿尔法得到这样的是，最后再把sine化cos用一减cosine方等于sine方阿尔法换掉，得到这样一个式子。最后解关于cosine阿尔法的1元2次方程，把cosine范围-2舍掉，因为余弦值不可能超过-1到1，余弦的范围就是-1到1，所以说此题答案。选A下一道。最后一道答案负的五分之根号10，看一下为什么这里阿尔法不可能是锐角，阿尔法更不可能是90度，90度不存在。前面我跟你讲过，90度边度在外轴上怎么可能存在，对不对？那阿尔法只能是位于90度到180度角，当然这里面我们有弧度写，因为是三角函数，阿尔法是只能位于二分之派到派写完之后把它和sine可加cosine方，加Q乘方等于一点力就OK了，所以说得出这个式之后，我们把它带入到剩余方，阿尔法加扣减方法法等于一，这样的话我们再化简就OK了，就应解除sine和扣成，然后再相加。有人说老师这题有没有简单方法？有啊，所以结尾课我再给你介绍一种。还有一种方法就是涉及到判断正负。因为我们可以将分母看成一把，这个平方求出来就OK了，只不过需要判断正负。我再强调一遍，需要判断正负。Sine方阿尔法加cosine阿尔法，阿尔法不就等于一吗？所以说原式就变成它比它，然后等于上面打开变成sine方阿尔法加两倍的sine阿尔法乘以cosine阿尔法，再加cosine方阿尔法除以sine方阿尔法加cosine方阿尔法。我如果先化前把分子分母同时除以cosine方尔法，第一项就变成碳氢方尔法，第二项变成加上两倍的tent阿尔法，第三项变成加一除以sine方，除cosine方就是塔径方，阿尔法方除cosine方就变成一了。把这个值往里面一带，看到希望了吗？-3分之1的平方加上2乘以负的3分之1，再加一除以负的3分之1的平方，再加上一个一整理分子分母同时乘以9就是9分之1乘9是1-3分之2乘以9就是-6，再加一对吧？我们看啊不是加9，写错了，加9除以9分之1乘以9是1 1加99，这个是等于10分之405分之2. 一开方，这不是相当于原式。就等于它出它，就相当于它的平方是等于5分之2，一开方就是正负五分之根号10。这种方法有一个弊端，就是你如何来判断？听好了，如何来判断你取正还是。取负？隐含。条件在这里。因为tangent阿尔法等于sine除以cosine，阿尔法就除以零到派之间的角，第二象限一二象限正相为正。所以说sine阿尔法一定大于cosine阿尔法一定小于0，对吧？因为你这个是负值。好，再看绝对值，tangent阿尔法就等于sine阿尔法除以cosine阿尔法的绝对值。因为cosine阿法是正值，这个是3分之1，小于一说明sine阿尔法是小于绝对值下的cosine阿尔法。Cosine阿尔法去绝对值就是负的，cosine阿尔法移过来，所以说sine阿尔法加cosine阿尔法就是小于零了，就这么了，暗中玄机，你看到没有？好，后面我们就不再说了。最后结语部分我给大家说一下，在此咱们这个专栏算是结束了，但是你们的学习还远远没有结束。当然了，如果说你跟着我我的课已经学到现在的话，相信学的也很疲惫。大家可以适度的休息一下之后，咱们把这个前期学的东西好好的去回忆回顾一下。回顾一下之后，然后如果再有精力，争取把必修第一册把它学完，学完之后回学校之后也有一个很好的衔接。回头我会再逐渐推出一些同步拔高的课程，希望大家继续关注。最后感谢你关注我，成为我的粉丝并购买此课程，谢谢。中间有这个课程，因为时间比较紧，肯定有一些不足处。这个课可能有一些同学觉得简单，也有一些同学感觉难度比较大，这是肯定的。因为它不是一个针对个体同学的课，所以说肯定存在的一些瑕疵。后面我会逐渐优化，希望大家在学习的过程当中，汲取我这个课程中非常对你有帮助的一些东西。并且没有帮助，你们可以可以快进跳过，谢谢你们的购买，谢谢你们的支持，衷心感谢。好，这个专栏我们就此结束。