同学们好，这节课我们继续来学习三角函数章节。今天我们来讲一下三角函数的概念。上节课我们把这个角度制与弧度制机器之间的一些换算已经讲过了。那么这节课我们来正式学习一下，高中阶段三角函数的概念到底是什么样子的。当然了，这样一个三角函数的概念跟我们初中的三角函数比的话，它的概念外延就更加广一些，研究的东西更加深一些。下面我们来看一下岛屿部分，我们都知道游乐园，一般游乐园都有一个摩天轮，相信大家绝大多数同学都去玩过。这里尤其是那个摩天轮，还有像那个大风车，它可以带着人们在空中旋转，当然了既好玩又刺激。像那种老年人就不行了，有心脏病了，他肯定不能做了。像我们在玩的过程当中，一般来说它是围绕这个中心在做这个圆周运动。这里我们假设一摩天轮的中心距地面的高度为H米，那么它的半径是R比如说这个OA的长是R沿着逆时方向旋转，那么这个时候它匀速转动的话，转动一周，如果说需要1 360秒，那么我们可以建立如图所示的直角坐标系。假设你现在位于A处，经过30秒，你离地面有多高？那么经过210秒、570秒，那么这些高度H与T之间肯定有一个函数关系式，那么这个函数关系式到底怎么列？也是我们今天要研究的新课，也是我们这一章节要研究的这个新课。如果说你想把这个东西列出来，那么就需要你把整个章节学完才可以。好，下面咱们来研究一下什么是三角函数。这里有这样的两个问题。第一个，初中的时候我们学过锐角的三角函数，有正弦、余弦和正切。当然以前老的教材还学过余切、正割和余割这样三个概念。现在我们不研究那么多，我们只研究正弦、余弦和正切这三个概念。那么这样的规定我们回忆一下，这是在直角三角形中定义的。比如我画一个直角三角形ABC那么对于角A的正弦，我们主要是对等于对边BC比上斜边AB这是定义余弦cosine a等于邻边AC比上一个斜边AB正切条件A等于对边比上一个林边就是BC比上一个AC这是初中的第一个。那么在学习到高中的任意角之后，如果说我们把这个任意角放到了平面直角坐标系当中，那么这里我们就需要借助于单品语言来研究。一般来说角的终边与单位圆必然有这个交点，这个交点而且是唯一的，这个也比较好理解。你比如说你画一个平面直角坐标系OXY，你再画一个单元，你随便做一个角，旋转一个角，那么角的中边与这个单边肯定有一个交点，这就是角的中边与它的交点P也叫中间上的一点。所以说对于知识梳理部分，你们看这样一个图就可以了。如图所示，这个阿尔法如果是说是一个任意角，阿尔法是属于R那么它的终边OP与单位语言相交于P我们可以设成XY这里面正弦，我们就把点P的纵坐标Y叫做阿尔法的正弦，记作sine阿尔法。GY等于sine阿尔法，这个原因是什么呢？我们以第一象限为例，假如说阿尔法位于第一象限，等一下我们再推广到其他的象限，这是阿尔法，这个是P就是XY大家看由P向X轴做垂线，假设垂足为M这个时候在RT3角形POM中，根据前面咱们回忆的sine阿尔法是等于对边MP除以这个斜边OP，OP的长度是一样，结果就等于MP，这个MP就是纵坐标的长，这里面我们把MP也叫做阵型线，还注意也叫做正斜线。同样这个余弦cosine阿尔法就等于邻边，OM比上一个OP的长是一就等于OM，OM的长就是X所以余弦就是Y如果MP的方向朝上，那么这个Y就是正值朝下，就是一个负，值得让人再说。所以在这里面，我们把这个Y叫做这个角的正弦值，这是一种规定。同样余弦刚才我已经点过了，就是横坐标X叫做余弦。Y比X就是刚才我们那个图中Y比X叫做正切。所以说这个正切可以用Y除以X来表示。这样的话，我们把Y等于sine x cosine x和tangent x这三个质量函数，我们称之为正弦余弦，分别称为正弦、余弦和正切。这就是我们高中阶段要研究的三个三角函数。其中正切是X不等于K派加二分之派，这个原因也是因为你这个探镜阿尔法是等于Y比上一个X其中这个X不能为零。而且大家注意X不能为零就相当于你这个终边上的一个横坐标不能为零。横坐标不能为零就是终边不能落在角的终边，就是这个角阿尔法的中边它不能落在Y轴上，而Y轴上角的集合就是K派加二分之派。我现在再画一下，照顾有一些基础较差的同学，你们看这个角度是二分之派，在它基础之上旋转半周。我们前面课不是讲过吗？旋转半轴就是落在直线上，所以说就在二分之派的基础之上加上一个K派就OK了。所以说对于正切里面这个阿尔法范围，就是阿尔法不等于K派，加上一个二分之派才有意义，其中K是属于Z的，同样这个阿尔法就相当于这里面的X那么X也是不等于K派，加上一个二分之派，K除以Z前面这些余弦它就没有这个限制，可以取全体实数。下面我们来看一下注意点，首先三角函数值就是一个比值，就是一个实数，这是第一个要理解的。第二个三角函数值大小值与角的大小有关，这个也比较好理解，你看你算出来值是什么就是什么。第三个推广，这个推广很重要，以后我们在研究的时候，我们是是选用不是单位元单位圆的很麻烦，你还得求对不对？我们直接用普通语言。假设与某一个圆的中边，不就是这个中间与某一个圆有一个焦点是XY，我们把这个OP的长就定为R这个R就等于OP的长，就是根号下的X方加Y方。可以用两点间距离公式来写对吧？或者是用勾股定理，你看你做一个垂线，这段长是X绝对值，那么这一段长是Y的绝对值，那R不就是X绝对值的平方加Y的绝对值平方，那不就是根号下差。所以说在这里面再根据刚才定义Y比R余弦看这个三角形，这是阿尔法R4，X比R正切Y比X正在定义。有同学说老师如果跑到其他象限，比如说你跑到第二象限，你跑到第二项，这个P就是XY这个定义仍然是不变的。只不过你这个第二象限的时候，你Y仍然是正值，X就变成负值了。X变成负值就说明余弦为负值，正切XY11号那也变成负值。所以说就会有第一象限权为正，第二象限余弦和正切为负，正弦为正。同理其他四象限的符号依此类推可以推出来。所以大家可以先思考一下其他象限的符号到底是一个什么样子的。好，下面咱们来先求一个钝角的三角函数值。比如3分之2派，我们这是120度。你把它换出来之后，120度，这里面我们引入一个单位圆，大家看将角叁分之二派画出来，角的中间就是OB与单位圆的交点，把它求出来。这个根据条件，你这个就是三分之派，也就是60度，这个斜边长是一。根据初中的解，直角扇形就是你这个是30度，30度对的，这边是斜边的一半，这个就是2分之1，勾股定理算这边就是二分之根三。因为B点是在第二象限，所以说B的坐标就是-2分之1，二分之根三。再由前面咱们讲的任意角的三角函数值的定义，我们可以得到sine 3分之2派就是Y就是二分之根三，cosine 3分之2派就是X就是-2分之1，tangent 3分之2派就是Y比X就是负的根号3。也吻合了我们刚才说第二象限余弦和正切都是负值。大家注意，你们不要觉得这怎么正余弦还出现负值，这个三角函数值出现负值都是正常的这只是一个规定，也代表它有具有一定的意义。你们看这就相当于一个摩天轮一样，对吧？这个B点在它上面旋转，就像你在上面做的跑一样的，大家要注意。好，我们反思感悟一下，利用三角函数的定义求一个角的三角函数值。一般来说有以下的几种情况。第一，若已知角则是只需求出，就确定该角的终边与单边的交点坐标，根据定义求出来就可以了。如果角阿尔法的中边上有一点是P是单边厢的一点，我们就直接画这个公式。假如不是单边原创点就根据推广，根据Y比RX比R和Y比X这个R就是根号下X方加Y方。所以说以后这个公式，sine阿尔法就等于Y比上根号下的X方加Y方，这是一个通用公式，其中XY就是阿尔法终边上的任意一点。除了这个圆点之外，这个任意一点求出的值都是一样，这是通用公式，这个公式特别的重要。第四个，如果已知阿尔法桌面上的点还有参数，那肯定要需要进行分类讨论。因为你这个开方的时候，一个上面的时候，有时候是非正非正负不知道，有些时候涉及到上限问题，对吧？我们还是要讨论一下。好，下面我们来练几道小题。第一小题多选题，大家视频暂停做一下，此题直接套公式，答案选BC，我这个直接讲一下，不让你们看解析了，直接套刚才那个通用公式，也就是推广的公式。直接根据sine阿尔法是等于Y比R就是Y比上一个R就是根号下的X方加Y方。它这个公式中Y就是负三根号下X方加负三的平方就是加9，这个是等于负的十分之根号13，那就根号10分之3两个-3消掉，所以说X方加9就等于10，你看下面分母相等，对吧？所以说X方就等于一，解出X等于正负一。直接就这样来解，不要想其他的，直接套公式一解就OK了。这是我们用的这个一公式来做了。我们来看一下第二小题，如果说把正弦改成余弦的一样的，这些给余弦这个OP就是根号下X方加9，那么再用X比R来一套一样的。这样的话我们又因为这里要注意点，这里因为他是要注意象限了，对不对？所以说这个就是位于第，我们直接因为X小于0，所以说X取负一。下面我们来看一下第二，正弦余弦正切函数在各个象限符号。刚才我已经研究了，刚才跟大家说了，已经研究第二象限和第一象限，大家只需在研究第三象限和第四象限就可以了，下面我们来看一下这个问题。三以及提示。因为三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出来的。所以说根据三角函数的定义，我们可以知道sin阿尔法等于y cosine阿尔法等于x tangent阿尔法是等于Y比X那么这里正弦的符号大家注意，正弦的符号取决于纵坐标的符号Y余弦的符号是取决于X正切的符号是取决于纵坐标和横纵坐标共同来决定同为正因为负，那就说明一三象限为正，24象限XY是一号的那就是为负。那这不就搞定正切了吗？所以其他象限也很简单了，这里面就有这样一个图，大家注意，一二象限纵坐标为正，那就是一二象限正弦为正。那么三四象限正弦为负，包括中边落在外轴上。大家看啊余弦一四为正，二三为负，正切这个一三为正，24为负。这个以后你刚才讲的推导过程，对吧？以后大家直接对这三个象限直接把它记就OK了。这个口诀大家想记就记，不记也无所谓。什么一全正、二正弦、三正切、四余弦，要懂这个什么意思就可以了。好，我们下面再看例题，这个直接用我们刚才所讲的口诀一做就行了。Sine阿尔法乘tangent阿尔法小于0，且cosine阿尔法除以tangent阿尔法也小于0。那我们知道阿尔法底象限这里是第三象限，原因是这样的，因为sine阿尔法判定阿尔法小于说明sine阿尔法判定尔法一号，从而这个阿尔法只能位于第二象限和第三象限。因为第一象限和全没证，第四象限正切和正弦都是负值，所以说只能位于第二象限。第三象限如果说阿尔法位于第二象限，余弦为负，正切为负，所以两项数不可能小于0，所以说结果只有在第三象限。好，这是我们注意的这个例二的第一小题。那么下面我们接着来看第二小题，多选题下列选项中符号为负的是，那就看象限了，所以说这个答案也比较好选，你们做看能不能对上，此题的答案选ABD。这个原因是这样的，-100度就顺时针转一百多，那不就跑到第三象限，第三象限正弦为负，对的，负的220度。那加个360，跑到140就第二象限顿掉。所以说第二象限余弦为负值10，所以十不是十度，是不是有些同学已经搞错了，这是十弧度，这个稍微难一点。十弧度我们就看位于几分之派和几分之派之间。经过计算我们可以发现位于3派到2分之7派之间，那么这明显是位于第三象限，第三象限正确为正值派。最简单对吧？这个cos派就是负一，它落在X轴的负半轴上，所以说这个值就是一个负的，下面我们来反思一下判断三角函数值符号的两个步骤。第一定象限，首先要确定象限，第二定符号，你要利用三角函数值的符号规律，就是我们刚才那个口诀就行了，一定要理解，不理解不行。下面我们来练一道题，已知点p sine阿尔法、cosine阿尔法在第三象限，则角阿尔法终边落在哪里？如果说sine阿尔法cosine尔法在第三象限，那么这里的sine阿尔法就是一个负值，cosine阿尔法也是一个负值。那sine阿尔法和cosine阿尔法都是负值，那只有第三象限的正弦和余弦都是负值，所以说阿尔法是第三象限比较简单。好，下面我们再看这里面的诱导公式的第一组公式叫公式一。这个公式也很简单，就是终边相同的三角函数值都一样的。为什么呢？我们看一下由三角函数的定义，我们知道中间生成的角，它们的同13角函数值应该是相等的。为什么它中边上任意找一个点坐标都是一样的？你根据任意角的三角函数的定义，那它们的值肯定也是相等的，所以说这个比较好理解。下面我们来看一下，有这样一个公式，一终边相同角的同13角函数值相等。所以说根据终边相同角的集合后面加上一个2K派之后，值都是相等的。不管你是正弦、余弦还是正切线都是相等的。好，这个比较简单，我们不再多说。下面我们来计算一下值，全部都用公式。一我们来把这个大角画小角，大角画小角，副角画正角。好，这里我们这样来进行。首先1395度我们可以拆成3333百65度，再加上45度，这是第一个。第2个1110度我们可以拆成3乘360度加30度。同理后面两个如图，如这个解析所示，这样来拆解。好，下面我们把它化简，可以化简成sine 45度、cosine 30度和cosine 60度。Sine 30度这样的化简化。简完了之后，我们利用特殊角上的数值，根据图中所记把它直接带进去就OK了。最后计算的这个结果是4分之1加根号6，看一看跟你算的是不是一样的。好，这是第一小题。下面我们来看第二小题，第二小题还是一样的，大家暂停，暂停之后给大家对一下这个答案。这一道题还是一样的拆分原来是拆分360度倍数，现在相当于拆分2派的倍数。拆分之后第一项就变成sine 6分之派，第二项变成cosine 5分之2派乘以塔蒂斯派，就称为碳00叹定陵是0，为什么呢？你看说这个任意角的参长恒值，大家可以自己推导。比如我举个例子，碳金林tent 0，我们在终边上任意找一点就找10，那么tangent 0就等于Y比X就是0，比一就是0，直接推导完了对不对？所以说比如说我们像刚才的cosine派，派的终边是落在X轴负半轴，你就随便找一个点-1 0。Cosine派是X比R，那就是负一比上一个一就根号下的负一方加上一个平方，就套刚才公式，那么这个就是负一。所以说刚才的那个cosine派就是负一。同理所有其他都可以推导。比如说你sine派，sine派就是Y比R就是0，比一就是0。因为这段的R日常就是一，或者你把它看成单比原创一个点也行，以此类推，就比较简单。好，下面我们来看一下反思部分，利用诱导公式一进行化简求值。首先可以先将任意角化成改写成2K派加阿尔法的形式，一定要把这个阿尔法限制在0到2派范围之内，这样好算。第二步转化是根据诱导公式一转化为求角阿尔法的某一个生产函数值。第三个是求值，若这个角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值就可以了。好，这是三个反思的东西，大家一定要切记，后面我们来练一道题，练几个两个小题。我们看一下第一小题一样的，大家暂停之后给大家对一下这个答案。好，这题的答案是解析过程是这样。三先把405度拆成360度加45度，后面450度拆成360度加90度。这个很明显是2个360，720度加30度很简单，直接把360全部干掉，然后得到td 45度减sine 90度，再加cosine 30度，然后再根据特殊角的三号物质直接求解就OK了。这是第一问。我们来看第二问，一样的，大家暂停，我给大家对一下答案。此题的过程就是把3分之25派拆成二派的倍数，再加上某个值，那就拆成八派。因为3分之24派是八派，8派加三分之派，后面这一个就是四分之派减4派，所以说这个直接变成sine三分之派加判定四分之派，根据公式一，然后再把特殊角3分50换掉就OK了。第二问，这都是基础题，课本题。好，下面我们总结一下，我们学了这样的三个。第一，任意角的三大航母值的定义及求法。第三他们在各象限能力的符号，第四取得公式一就是这三个知识点。然后方法里面涉及到特殊到一般，你看就像哲学一样，对吧？由特殊到一般。第二个是转化与化规，第三个是分类讨论。常见的误区就是你这个三角函数值只跟角的大小有关，与终边上的点无关。你终边上随便找一点，这都无所谓。再一个正切函数，我们刚才已经解释过了，只要你一个角的终边落在Y轴上都不行。所以说X不能取二分之派加K派除以Z，这是小节的东西，我们下面再随堂演练几道题。第一题大家把视频暂停好，此题的答案选D这个也比较简单，我们直接设，设出来之后，Y就是sine阿尔法对吧？X就是cosine阿尔法，这样的话P的坐标就搞定了，P的坐标就直接根据定义不就来了，对吧？好，第二题答案选D，直接套公式X比R对吧？先把R解出来，R就是OP就是根号下的X方加Y方，所以说cosine阿尔法是等于X比R就是负的5分之4就完了。就有同学如果做的过程中忘了，你可以不妨把这个公式都记下来，然后再做。因为毕竟是新课，可能有些同学做的不够熟练，一定要注意。还有那个教材一定要自己看，要不然的话你这个课会跟不上的。第三个，此题答案选AC，这个比较简单。因为正余弦一号就是一三象限，那这个同号就是一三象限，一个是同时为正，一个同时为负。好，下面我们来看一下第四题，这跟刚才最后的那个例题一样的，题型是一样的。此题答案选2，填2。这个过程也比较简单，都往二派加上一个0到2派之间角，最后把这个所有的二派的倍数全部去掉，可以转化成sine 6分之派加cosine 3分之派，再加探径四分之派，这个算出来是2分之1加12。好，这节课咱们只要把基本的东西学会入门就OK了。好，这一节课我们就上到这里，下一下一讲我们来讲同角间的三角函数关系，然后就结束咱们这个本专栏的课程。好，下一期我们再见。