同学们好，今天这一期视频我们来开始第五章三角函数的学习，这也是三角函数的一个入门。我们只讲到任意角的三角函数值诱导公式，之后希望大家对照课本可以自学。好，下面我们来看一下导语部分，大家肯定都知道这个钟表，你把这个钟表比如说慢了五分钟或者是快了30分钟怎么去校对？这个是咱们本节课可以说也可以通过三角函数来研究一下。你比如说你调快五分钟，调慢这个五分钟等等，它的时针、分针和秒针分别旋转了多少度的问题。再一个比如说我们在体操、花样游泳、跳水等项目中，包括前空翻转体540度，后空翻转体720度等。这样的解说相信大家在看这个奥运会的时候都已经听说过了。这些问问题都跟咱们的角度分不开的，包括像他们那个台球厅，还有这个足球等等，也跟角度是分不开的。好，下面咱们来看一下今天的这个新课。首先我们来学习一下任意角。初中时候我们学的角都是大于等于零的，那么角的范围一般来说学的都是0到360度范围之内。到高中之后，大家注意高中之后我们还学负角羚等。这里我们看一下，角可以看成是平面内一条射线绕着它的端端点旋转而所成的这个图形。如图所示，这个角阿尔法我们可以这样来写，写成角阿尔法或者减小写成就写成阿尔法角或者是角AOB这个始边就是OA终边就是OB顶点就是O那么到后面，我们在规定的时候，一般来说以X轴的非负半轴方向作为始边，这里面有一个正角、负角、零角的概念。好，一般来说我们看啊一条射线按照其端点，按照逆时针方向旋转所成角叫做正角。如果说按照顺时针方向旋转所成的角，我们称之为这个负角，是吧？一个逆时针叫正角负身，顺时针叫负角。一条射线不做任何旋转，那么就是零度角，这是角的三个定义。现在我们把角概念我们推广到了任意角，包括正角、负角和菱角。一般的我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转，所旋转相同的量所成的两角叫做互为相反角。所以角阿尔法的这个相反角，我们可以集中负阿尔法，这是第一个。下面比如说我们来看一个例子，如果手表的时针走过4个小时，那么时针转过的角转过的这个角度到底是多少？我们的这个手表走的时候都是瞬时的，前面我们已经讲过瞬时形成角角负角，4个小时每一个空都是多少度呢？大家可以算一下，每个孔都是15度，所以说不是每个孔都是30度，所以说咱们这个旋转就是负的120度，这个大家一定要注意，这个时钟比较的简单，希望大家要注意顺时针为负，历史为正。好，下面我们来看一下反思部分，这里面我们一定要搞清楚顺时针方向为负，逆时针方向为正，抓住把握住这个东西就可以了。所以说这个正角和负角是表示具有相反意义的一个旋转量。那么它的正负规定纯属习惯，就像正负和负数一样来理解就行了。正和负在很多事情中就代表一个方向来。像物理学大家应该学过这个速度，对不对？通过这个假期前课速度也是先规定正方向，跟这个是一样的。我们看根据训练一经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是多少？这个比较简单，大家直接做对，一个是-60度，一个是负的720度。因为我们一周知道是一周是360度，你12等分除以12之后，每个就是30。所以说你走2个70度走两格，两格乘以2就是-60度。因为是顺时针，那么分针也是顺时针走，对吧？一圈三百六转两圈，那就负的720。非常简单，这个我们就不再细说了。我们来看一下和下面的象限角。那么什么是相应角？现在我们将角的概念推广到任意角，那么如何更形象的表示一个角呢？这里我们通常在直角坐标系也在讨论角。为了方便使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负边组合，那么角的终边在第几象限，这个角就是第几象限。下面我们来画一个图来说明一下，就说明刚才的东西。假如说这个是角O始边，就是X轴顺时针方向旋转阿尔法，那么这个就是比如说旋转30度，那么这个角就是-30度角逆时针方向旋转45度。假设这是40度，那么这个就是正的40度，当然这个正可以省略不写。对于-30度，比如说这个P角的终边是落在第一象限，说明40度角是第一象限角。-35点终边落在第四象限，那么就第四象限角。如果是锐角终边很明显落在第一象限，就第一象限角钝角。比如说120度，那么就中间就落在逆时针方向旋转120度就跑到第二象限，所以说钝角一定是第二象限角。直角的中边在坐标轴上，那么你叫轴线，就是那个中间段的轴线上，我们叫做轴线角。这里它不属于任何一个象限，每一个象限，大家注意每一个象限都有正角和负角，而且无法比较哪一个角哪一个就是象限的角的大小。比如说你是第一象限较大还是第二项较大的不确定？对吧？有的大有的小，这个不好说。你包括你这个负的，比如说我们顺势旋转来看，迅速旋转330度，旋转330度再跑30度就跑到跑到这个X轴了，对吧？所以说负的330度也是第一象限角，希望大家能够理解我刚才讲的这样一个含义就行了。好，第二，在这四个角中属于第二象限的角，我们就转一转对吧？好，所以说此题的答案选C这个原因是这样的，160度是钝角直流上限。480度我们把480度减去一个360和拆一个360出来。因为你它转一个360之后就回去了，所以说跟120度角的中间是相同的，所以它属于第二象限角。那么负的960度我们可以拆333百6，再加上一个120，所以它也是第二圈角1530度，我们可以用4乘以360度再加上一个90度，那么它中间是落在外轴的正半轴上，所以说不是第二圈选角选C这个比较简单。好，我们来看一下这个反思部分。首先这里我们先正确理解象限角与与睿智顿平周等概念的关系。另外判断结论正确需要证明，只要不正确的我们就举个反例就可以了。这个也比较简单，好练一道题。大家看一下这道题答案选什么，此题的答案选ACD，就是多选，也是新高考地区的一个热点题型。三角形的内角是第一象限或者是第二象限角，这个明显是不对的，为什么呢？还有90度角，对不对？所以说这个是不对的。下面我们来看一下钝角是第二象限角，这是对的。第二象限比第一象限角，大家刚才说了不能比较大小。D选项小于180度角是钝角、直角或锐角，这个也不对的。你比如说你还有负的360度角，对吧？还有负角的，所以说这个说法都是有问题的。好，下面我们来看一下，这个解析我们就不再讲了。看第三类题型，终边相同角的集合。那么这里面给定一个角，那么它的终边是不是一定是确定呢？这里若两角的终边相同，那么这两个角相等，我们可以看一下给另一个角，它的终边确实是唯一的。两角终边相同，这两角不一定相等的。比如说你30度，我们逆时再转一圈390度，什么意思呢？我这个换个图解释一下更更清晰一些。比如说逆时旋转多少度呢？是30度，这是30度。我们在这基础之上，我们再再旋转一个360度。就是你旋转之后，绕一圈360度，然后再回来再多转个30度，那就390度。那么390度和30度终边相同，他们刚好差了360度。所以说390度很明显是大于30度的，但是两个角终边相同，但是两个角大小不一样。只要在旋转360度整数倍，加上一个365度就逆时针旋转，减去一个360度正整数倍，就是顺时针功能旋转。所以说给另一个角，它的终边是唯一的，但是两角中边相同的，这个两角不一定相等。好，我们看知识梳理部分也比较简单，像刚才30度对不对？30度我们只要在30度基础上加上一个K乘以360度，其中K是属于Z这样来写这个阿尔法角，那么这个就代表的是这个A集合，就代表的是与30度角中边相同角的集合，这个就是ZZ代表的整数集。这里面有一个定义，与阿尔法角中间相同角的集合，就用阿尔法加上K乘360度除以Z就可以了，所以说任意与角阿尔法终边相同角的集合都可以表示成角阿尔法与整个周角的和，这是知识梳理部的一个定义，希望大家理解。下面我们看到第三，已知阿尔法等于负的1845度，那么在与阿尔法终边相同的角中，求满足下列条件的角，一最小的正角。这个也比较简单了，我们直接把它拆分，拆分之后直接把负五倍的360度去掉。那么最小的这个负角是负的45度，最大的负角是负的45度，正面相同的，然后我们再加上一个360就可以了，对吧？最后我们再加上一个360，那就是360减去15度就是315度角。所以我们可以先把这个角的集合，把前面的这个小角画的绝对值最小，然后你需要求什么就带什么就行了。这个比较简单，不再细说了。然后我们看最大的副角，刚才已经解释过是负的45度。那么-360到470其实就负七那个正的720指数之间的角，我们直接取就行了。直接在-45度基础之上，你分别加上一个360，再加个360，再加个360，你连续加只要或者是连续减360只要运算之后，位于-360度和720度之间的所有角都可以取。故这里面有三个，一个是-45度，一个315度，还有一个675度，这三个角比较简单。好，下面我们来看反思部分，终边相同角的集合，这个表示都可以写成阿尔法加K乘360度的形式。另外终边相同的角相差都是360度的整数位，这是反思感悟部分。下面我们来看一下跟踪训练第一小题，你们就看啊是啊，这是落在直线上，这里我再说一下点讲一下。如果说是终边落在直线上，大家注意就相当于相差半周。大家看啊一周是360，这都是相差半周。所以说是要在阿尔法的基础之上加上K乘以180度，就代表的是终边落在直线上的相同角的集合。所以说这里面只要你加个180，180减53，我们这是127，这个是可以的。你减个180，你再加个180都是可以的所以说这个题答案选D比较简单。你看前面说了落在同一直线上，就是我刚才讲了，用负的53度加上K乘以180度就行了，就旋转半周就可以了，旋转半半轴就是180度指数变看第二小题，若角二阿尔法与240度角的终边相同，设阿尔法等于我们看这个选这个选的时候还是一样的，直接用240加也可以。这个是最简单的，加上二氧阿尔法。好，现在然后再在这个二的话中间上除以2，那么就得到的是120度加上K乘180。所以说此际答案选B比较简单，我们不再多说了。下面我们来看一下第四个小题型，区级区域家。以及终边。在已知直线上的角来表示。首先咱们来看一下，如图所示，已知角阿尔法的中边在图中阴影部分中是指出角阿尔法的范围。你们看它是从先看逆势方向旋转，逆势方向旋转的话就是30度对吧？三度角的中间，另外你这边是75度的话，那么这个整个就应该是105度。所以说这个范围一定是位于30度和150度直线扫过的区域。我们的直线就是K乘以180度对吧？所以说你是在30度到105度之间，我们同时加上一个K乘以180度，就让它同时变就可以了，这个希望大家能够理解。所以说最后这个范围位于这样一个区间，阴影部分的一部分开一部分闭，那就105度这里是用开，然后K属于一就可以了，这是我们点讲的部分，我们来看具体的解析。终边在30度角的终边上所在直线的集合S一就是阿尔法等于30度加K乘180，对吧？这是刚才已经说过了。第二个，就是用180度减75度，中间就是105度角上也有一个。所以说最后我们表示的时候，X阿尔法大于等于30度加K乘180，小于105度加K乘180，就是我刚才那个区间的形式。写的也可以，这是第四，不算难，只要理解透就行了。我们反思一下，象限角的判定方法。一根据图像判定，利用图像实际操作的时候，依据就是终边相同的角的思想。因为在0度到360度之间的角与坐标系中的射线可以建立一定关系。第二个也可以讲将角都画到0到360度范围之内。好，这个一般来说0度到360度之间没有两个角的中边是相同的对吧？只能是一个。第二个表示区域角的三个步骤，第一步，先逆时针找到起始位置和中间的一个终止边界。第二步是按照由小到大标出起始和终止终边对应的-360到360范围之内的阿尔法和贝塔，然后写出最简区间，最后再在两边加上360度整数倍就可以了，这个还是比较简单的。注意求区域角的三个步骤，这是咱们总结的方法和步骤。好，下面我们练一道题。这道题大家把视频暂停，给大家对一下答案就可以了。此题的答案是这样的，终边落在OA上是这样的，终边落在OB上是这样的。直接加就可以了，比较简单。下面阴影部分就是直接找这个范围就可以了。所以说阴影部分就是位于K乘360度加210度到K乘360度加300度就行了。好，我们这节课我们小结一下。这里我们学了这个正角、负角、零角的概念，还学了终边相同角的表示。同样学到象限角和区域角。这个方法主要是用了两个，一个数形结合，一个分类讨论。还要注意这个锐角就是大于小于90度的角，而小于90度角包括负角和0等等。所以说这是要注意区别另外一个终边相同角的情况。你写的时候不要把K搞漏了就可以了。好，下面我们还是一样的，我们虽然说加了几节三角函数的课，但是不会把这个内容减少的。所以说该有的随堂演练还有，只不过那个托管但究我们是没有了，我们只不过还是注重基础。希望大家还是要认真学，多学几节课，把它坚持完。好，随堂演练四道题还是一样的。先做第一题答案选A对，也很简单。因为锐角可以推出是第一象限，但是反之是不成立的，所以说选A。第二题还是一样，暂停此题答案选C直接去掉360度对吧？整数倍剩个220、一二百、21，我们这是第三象限角，它是位于180度和这个270度之间，其实也蛮好理解，你就转对吧？我这两个再点讲一下，你零度你看逆时方向旋转，这是零度，这个是90度，再旋转这里就是180度，对吧？再旋转这个就是270度，再回来就是270度到360度。360度和零度角的中间一样，你221度不就位于180到270之间。所以第三象限很简单，所以说这个20221度就和221的这个角的终边相同。第三题还是一样，负的460我们可以加个360对吧？或者再如果看不出来再加个360或者加个720。此题的答案选C就相当于我这个可以拆成负的2乘以360度对吧？再加个260就行了，或者是直接加一个720就行了。好，这是第三题，我们再看第四题。这个跟刚才一样，你要注意从45度到，我提示一下这个位置写个150度对吧？都是0到360度，60度之间角来判断也可以。此时这个集合那么就是45度到150度，两边同时加上K360度。如果说它是两段，就是延长两个直线扫过的，你就用K乘180就行了。把后面这个也对应改成K乘180，这是一个技巧，我延伸的讲一下。好，今天的课咱们就上到这里。后面大家注意后面，我们接着来学这个任意角的三角函数值，在前面的几节，下期视频我们再见。