同学们好，今天。这是。我们第四章的一个章末复习课，这一个章节终于学完了，马上还有这个第五章。我们这个系列课程我准备讲四节左右，把我们的第五章的三角函数开一个头，剩下来大家可以自己预习自习，自己学习。中间有不懂的不会的我们再交流。好，今天我们对第四章指数函数和对数函数招募我们进行一次总结复习。首先我们来看一下知识网络这一章节，我们学了指数与指数函数以及对数与对数函数，主要是这两块板块的内容。当然了我们还学的有函数实际模型的一些应用。这里指数我们主要学了分数指分泌及其公式，还学习到了这个无理数指数幂以及运算性质。指数函数我们学的定义图像性质，同样对数函数都是一样的定义图像性质，还有应用对数函数，我们还学到定义及其运算性质。而且我们知道同底的Y等于A的X次幂与Y等于log，以A为底X对数，这两个是互为反函数，也就这两个图像是关于这个Y等于X对称。你像尤其是咱们在拔高课里面，会有一个FX0等于N等于X0的时候，如果说你这个FX0不等于X0，那就说明这个函数本身是关于Y等于X对称的。大家可以想一下，我给这个拔高课，我给有很多同学讲过，你们可以试看一看为什么老师把这个结论告诉你了，为什么是等于Y等于X对称的？想一想，还要学习第三块就是函数的应用，这里面主要学习了函数与方程涉及到函数零点及方程根的个数问题，以及二分法同样模型及其应用里面我们学习了几类不同的增长的函数模型，学了用已知函数模型求解问题，还有学习到了建立实际问题的很复杂性，这是咱们整个的知识网络。好，那么下面我们。来看一下。看一下第一个内容，就是指数和对数的预算。我们一块回忆一下，有同学可能公司已经忘记了。首先咱们来看一下这一块指对的运算主要考察是对数指数的互换，对数指数的运算性质以及换底公式，尤其是要会利用运算性质进行化简计算，包括有一些证明也得会。第二步是掌握基本运算性质，重点提升咱们数学运算方面。的一些能力。下面我们来回顾几道题，这个公式我就不再回忆了，大家可以参照以前前面的这个视频课。你们通过这个复习，这个公式肯定都记在笔记本上了。做题的时候可以顺带的再复习一下，我就不再串讲了。好，这道题我给大家对一下，这个过程比较简单。首先1减3的2分之1次幂减去这个2加根号3分之1。把四抄一遍之后，我们来看一下，第一项是一，第二项就是根号3，第三项将2加根号3分之1，分子分母同时乘以2减根号3，就是分母有理化，这个中间这个化成8分之27，其实就是2分之3的3次方，后面零次幂就是一。所以说最后运算的这个结果，那个3乘3分之1就是一，最终结果就是负责任之三。比较简单，我不再多讲了。我们来看一下第二小题。第二小题这个过程是这样的，首先第一步log以二为底0.25可以写成4分之1，就是二的负2次方。所以说第一项这个值它就是-2，运算结果是-2，这个运算值就是2分之1。这个换同理把这个四换到A的，就是转换到A的就是3到4次幂放在指数位置。然后根据对数恒等式，那么这个结果就是3到4次幂不动，把它放到里面。五的平方它俩可以运算，就是log 192，4次方开4的根式开出来就是二的，就本来是负二的绝对值，这个本来是负二的绝对值这一项开出来反正也是个2，消化负化正也可以。所以说最后下一步的计算，就是我刚才点讲了，三的次方就是九九八十一，最后的运算就行了，是2分之159。这题。是个老题了。我们反思一下指数对数运算应遵循的一个原则，这是我们要重点复习的方法。首先要注意化简顺序，一般来说负指数先要转化成这个正指数，大家注意这是一个计算习惯。同样根式化为分数指数幂运算，这是首先要进行的。其次如果说出现分式，一定要注意分子分母是不是可以通过因式分解达到约分的一个目的，或者是简化的一个目的，那约分不就是简化，对吧？第二个对数运算，首先要注意公式应用过程当中范围的变化，前后一定要注意要等价。还有熟练的要运用对数的三个运算性质，并结合对数恒等式。我想问同学们什么是对数恒等式？你还记不记得呢？但是我写一下，这个对数恒等式就是A的log 1AB底N的对数是密，这个是恒等于N这个就是对数恒等式。同样换底公式及其三个推论。也要来熟练。我们练几道题。首先跟踪训练一暂停，直接给大家对答案。这一题的答案是5，这个过程也比较简单，没什么好讲的这题非常简单，不再说了。我们看第二类题型指数对数函数的图像进行应用。这里要注意两个方面。第一个指数函数，对数函数的图像及应用要注意两个这样的小方面。第一个已知函解析式是做函数图像，叫做知识求图的提交。注意。第二个，判断方程根的个数，通常不具体去解这个方程，凡是具体解方程都属于基础题。不解方程一般来说好多都是什么方程呢？超越方程难度很大。我可以先给大家说一下，这个一般来说是转化成双函数的图像交点个数问题，或者是分餐。分餐与函数有交点，就相当于是求值域，这个前面题型我们都已经讲过了。第二个我们要掌握指数函数、对数函数图像的做法，以及简单的图像平移、翻折、变换，这是我们要注意的两个方面。下面我们来看一下具体的例题，和这个变数训练也是相关的。这个练习跟踪训练。首先看第二大家暂停，然后把这个答案选一下，对此题的答案选C看你做的对不对。这个讨论就可以了对吧？你比如说你这个GX定义就-3到0了，我再调到前面让大家看看图片。你们看这个真数要大于0，那推出X小于零的那说明GX图像只能是在Y轴的右侧，对吧？不是说错了，半轴的左侧对吧？外侧左侧有图，那你那你这个大家看看这个它就是一个指数型的。你看一个指数一个对数，所以说你这个B选项肯定是错的，A选项肯定也是错的。因为这两个对数型的都在右侧，所以只有这两个，这两个你们看啊这个对数的都是单调递增，都是单调递增。由内部这个内函数是U等于负的，X分之一就是X分之一，这是反比例函数。K小于就是单针，内部是单针，那外部也是单增的，所以A一定是大于一大于一的话说明这个指数函数一定是单调递增的，所以答案选C。这是根据我们前面讲的复合函数的单调性，叫做同增异减的法则去进行的这也是咱们讲单调性那个习题课上一个重难点，大家一定要得重视。你看我们这个专栏，我们这个专栏系列里面，就这期视频我是专门做这个免费视频的。就是让大家看一看你到底哪一块还没有学好，哪块没学好。你可以再进行购买，再再学就可以了。你反正都学好了，你不用花钱也可以，这个都无所谓。好。所以说。我们这样一个百家号的这个专栏，如果说有同学还没有购买，可以在百度搜百家号，数学方程式，就是我前面的主讲人。把这个搜一下。搜一下之后可以输入你们的专栏，可以购买。这里面我的个人的微信号，就是有需要的同学可以加数学方程式的汉语拼音。对，这是他的汉语拼音，来搜就可以了。你在备加我的时候要备注一下，是已经购买的这个家长或者是同学有具体的问题也可以再私聊。好，我们来看一下，刚才解析已经讲过了，我不再说了，这是具体的过程。你们还可以再看，我们反思一下。指数函数、对数函数图像既是直接考察的对象，又是数形结合求交点最直接不等式的一些工具。所以说我们要熟练画出这两类函数图像，并进行平移、对称、翻折。你看这三个变换伸缩咱们暂时不讲，在三角函数里面讲好，我们练一道题，大家一样的把视频暂停之后，我们的对象答案就行了。这题跟刚才题型的难度一样的，此题答案选A这个原因就是先让这个如果A小于大于小于对数单点抛物线的开口方向向下，对轴是X等于二的，A减1分之1对吧？这个又是在它的左侧，我们可以排除CDA大于1。同理开口向上，对轴在右侧再排除一个就可以了，所以说答案是选A我们看第三类指数对数性质的应用。这里面我们要把握两个方面。第一，以函数的性质为依托，一般来说就是考察图像和性质及其应用，性质上比较大小，包括这个解方程、解不等式。无外乎就是这种东西，不会去喊餐的东西。第二个方面，还是要是重点提升咱们数学方面的运算能力和逻辑推理能力。你看第一节课，我们专栏课的第一课时，这是个也是个免费课时。已经告诉大家高考数学对我们有七大能力要求，其中包括数学运算能力，还有逻辑推理能力，对吧？这两个能力像空间小能力，我们后面要学的，这是大家注意两个方面。下面我们来看。一下这个例3. 这个例三就是比较大小。前面我们已经讲过两种解法对吧？第一，如果说没有同增速同比等等这些情况，就用取中间值和特殊值。如果有我们就画图像或者是构建函数，利用单调性来比较。所以说此题的答案大家暂停之后，我来给大家对一下答案。此题答案选择A这原因也很简单。刚才说了先跟特殊值01等比较，比较完了之后AB比较完之后，A是大于一，B是小于零的，而C是大于0小于一。那么这个直接可以选出答案是C好，下面我们来看第二小题，你看又是最大值、最小值、之差，原来前面咱们讲的有一个例题是之和，之和就不用讨论，但是之差要讨论。所以说因为如果说能判断大小就不用讨论。因为这个log以A为底3，就是大于log以A为底二的，就是它这个增速三越大值越大说明是单调递增的，所以说可以推出这个A一定大于一。既然是单调递增，那么最大值就在3A处取得，最小值就在A处取，我们直接带进去。所以用log以A为底3A的对数减去log以A为底A的对数，最乘法的优先级，乘法的优先级要低于对数优先级，所以这里面要加括号。好，然后把这个打开。打开之后。这个是一，这个有一个log以3以A为底三对数，加上一个log以A为底A的对数，对吧？然后再减去一个消掉，所以说它为一很明显可以推出AV3。第一问就解决了，我们看第二问又跟前面的题型一样，涉及到换元对吧？换元之后要注意新元取值范围，大家还是先做做完对答案好，然后我们。先把。它打开，这里面最好换元，焕媛看的明白一些。我们就令T等于log以三为底由，X范围是1到3，很明显可以推出这个范围是0到1，根据单调递增的对吧？0到1当然这个可以写成7减4分之3，4分之1的平方，那么最小你们看啊这个对称轴相当于二次函数型的开口向上，这是T等于4分之1。4分之1处有最小值，那就是66分之31最大值。谁离4分之1远谁就取最大值。很明显一离4分之1元一可以取得最大值，对吧？所以说此题我们再计算两个，再计算一个量，把一单去就行了。所以说我们换元之后，换元之后会发现取一的话对应的是2分之5，取4分之1对应的最小值是16分之31，这就是1元2次函数在给定函数的给定区间上的一个最值问题比较的简单，直接根据图像来解。好，这是第二小题。我们反思一下，对于这个图像和性质的题，大家注意方程不等式的求解。一般来说可以利用单调性进行转换参数的问题往往离不开分类讨论，同时还要注意变量本身的范围。尤其是这里面我要再写一下换元法的应用，还要避免出现这个增根这个大小比较。刚才说了可以利用单调性构造函数，还可以选用这个中间值。这个是两个要注意的东西，我就不再多说了。我们来练一道题，来大家把这个题训练一下，等一下给大家对一下答案。此题的答案选C看你做对。了没有。对于这个XY都位于0到1之间，因为Y等于三的X方，它是单调递增的，所以说A是错的。B也很简单，根据底数A对对数函数的影响，A如果说是0到1之间的话，那就是抵小图高。在前面咱们讲过，所以说会有这样一个反向或者此题。但是注意这个B选项，你们还可以用换底公式转换，换成同底的log以X为底三的对数，可以写成log以三为底X对数分之一和log以三为底2的对数分之一比较它是单调递增的。X比Y小分，分母就比它小，反过之量就比它大对吧？反过来就可以了，这是我提供的第二种解法。C根据它是单调递增的一个函数，直接判断就行了，比较简单。D根据它是单调体检，也直接判断就行了，也比较简单。所以那个BB相对难一些。好，我们看第四类题型函数的零点，这个零点大家注意一个是零点的个数问题以及零点分布问题，就是它在哪些区间上。其实零点的问题主要是解决一个是个数，一个是分布这两个集中的问题。好，我们看啊主要利用了转化思想，将函数的零点问题转化成函数与X轴交点以向量函数图像交点问题，这是要注意的。第二个是根据零点存在性定理及转化思想。这里零点存在性定理绝对是一个重点，大家一定要的重视它，这是我们要注意的两个方面。下面我们看例题，这是咱们练过很多例子，我们复习的。就是根据零点存在定理区间这个一号的函数值对应的函数值异号就可以了。此题答案选B这个原因就是F1算出来的是负值，F2算出来是一个正值。这个一算所以说答案选B好，下一个第二题。给大家对。一下这个答案，第二题选D这个也比较的简单，你们可以直接一步一步解，能直接求解就直接求解。像第一个，要不是第二段没有参数的直接求解X3分之1符合有一个零点了，对不对？所以说只需满足上一段也有一个力量就可以了。那我们就可以转化成一X加A等于0，在小于等于零有一个实根就可以了。有个实根你想一下根据图像平移的知识，那么就相当于我们向下平移是不是才可以？向下平左加，就是上加下减，对不对？所以说A肯定是一个负值，但是你还不能平移太多，为什么呢？因为前面这里我需要画个图像看更好一些，它就相当于有一个渐进线，就是它部分图像它不是全部的。你比如说把这个图像画出来，大家都懂的，就是你画一个Y等于一X方EX方，它不是小于等于0，它的图像就是这一段。大家看这一段，它到一处结束了对吧？那一处结束了就这一段。如果说你在它基础上加个A相当于它有交点了。有交点就向下平移取零的话，这个位置就相当于是一加1，对吧？一加一你这只要动往下平移一点，它都是有焦点的。但是你这个一加一肯定还得大于0，或者是等于零也可以，大于等于零那就可以了。所以说可以推出这个A的范围是大于等于负一，再加上它本身要向下移，对吧？小于零就行了。你A不能是正值，正值，你看你这个是大于0，这个也是大于0，等于零怎么有根呢？不可能的，在此题答案选D好，下面我们来看一下反思部分的第一个函数的零点与方程的根的关系。这里面有这种关系就是方程的根也是函数与X轴交点有交点也相当于函数有零点，就是方程的根就是零点。零点就是图像与X轴交点的横坐标，就是三个等价关系。第二个我们要注意确定函数图像的个数，有两种基本方法。第一个，利用图像研究与X轴交点的个数，或者转化成两个函数，图像交点就是这两个函数，一般来说解决超越方程比较多。注意是双函数法。我们来练一道题，我们先练这个第一小题，还是一样的画图看，对吧？或者是直接移向都可以，所以此题答案选B比较简单。你像我们那个可以整体构造或者是画双函数也行。他这个是根据单调性判断的，单调性判断之后，就是一个增函数减去一个减函数就变成一个增函数了。根据解析式算，F0小于0，F1小于0，F2大于0。所以说零点一定是在1到2之内，这是根据零点存在性定理的，而且有且唯一存在唯一的理念。你像人家有很多题目证明什么性呢？唯一性，唯一性就需要证明函数的单调性，只有这个单调的才很明显可以证明这个唯一性。好，这是解析部分。我们来看一下第二小题，这个叫取整函数也叫高斯函数，高斯函数这是一个高斯函数方程。我们首次建。接触到了。这个方程，我们来看一下有几个，大家解一下，此题答案选B，这个原因就是方程的根的个数等价于Y等于2，X减Y等于二的X绝对值图像的交点个数。大家注意，第一个图像很好画，你们看这个图像怎么画这个图像，大家注意先写成分段函数形式再画，它就像一个阶梯一样的上阶梯。那咱们来看一下这个图像这么来画，右侧的你们看像一个小小阶梯的几个就是这样的。实际上它这个解析式有解析式的话，我把有几段解析式写给大家看一下就知道了。我写几段，首先我写这个当X大于等于三小于4的时候，这个时候X取整就是3，那么对应的就是6，这是第一个。第二段，当X大于等于这个二小于3的时候，这个S取整就是2，就二点多取准就是2，所以说这个2乘2就是四。当X大于等于一小于2的时候，那么对应的就是2。以此类推，当X大于等于0小于一的时候，这就是零。那同理下个就是负二对吧？就是当X大于等于这个负一小于0的时候，变成取整就是-1-1-2就是它依此类推，我就不再写了。所以说你看它每一段都是水平的这一小段是左闭右开。所以说你这个左边的是实心的，右边是一个什么呢？空心的，你看这个3到4这一段。好，那下面我就不再说了。你画出这个图像之后，你要让他们有多少个交点呢？直接根据图，只要把图画准了，这个就可以看出来。所以说共有三个不同的焦点，这是第二小题。我们来看一下。随堂演练的几道题。第一题大家将视频暂停，一定要暂停自己做做了之后再看人家我们这个视频和其他视频都不一样，我也老是直接讲，也不给你暂停，所以说你们自己暂停都没办法。网课就是这样的，全靠自觉，如果自律性不强，还不如不上这个网课。答案选D看他做的对不对。这个比较简单不再讲了，直接根据这个式来做就可以了。好，我们看一下第二题，也跟前面一样的，此题答案选B。你看这是无声教学推动，咱们好多什么无声教学，这个比较简单，幂指数一样，像那个A和C就构造一个。我还是先讲一下，A和C都是0.4，0.41样的话，你就下面再动，你就把上面搞成变量来写成X的0.4次幂。只要阿尔法大于0，就是单真的就是只要这个上面是大于零的，单针在零到正它是单针，所以说0.4大于0.6它就比较大，所以A大于11分。这两个底数一样，那就构造的是Y等于0.4的X次幂。只要底数大于0小于一就单点下面越大反而越小，所以B小于C从而可以推出这个答案。第三题也跟刚才一样的，直接答案选C好，不再细讲。你们直接判断F9和这个F11个是正值，一个是负值即可，所以说答案是选C。第四题这个前面也讲过是两个，一个是A大于一，或者是A大于0小于3分之2，看你做的对不对。这里最后用区间来写，分两种情况讨论。当A大于一的时候，很明显这个不成立，不是成立。当A大于小于一的时候，原不等式可以转化成log，以A为底3分之2的对数，小于log ABDA的对数。所以说根据那个单调递减，所以说3分之2就等于A即A大于0小于3分之2。最后把那两个并起来就行了。我们这一章。的章末我们就讲到这里，后面还有几节小课，我们重点的去探讨一下三角函数的一些东西，希望大家继续收听，继续收看。希望能对你们的这个衔接课有一定很大的帮助。利用这个暑假将高中的数学彻彻底底的前四章的东西把它搞透。对你你们开学之后，你们进入学校学习会有很大的帮助。好，下期我们再见。