尊敬的评委，各位老师大家好，我是孙弼聪。接下来由我代表本组进行展示。本组其他成员有李向阳、韦文月。我们选择的题目是2026年全国二卷第十9题。先来看具体的问题，已知函数FX等于X乘E的X次方加AX加B曲线Y等于FX在0F0处的切线方程为Y等于-2X加1。第一小问求AB具体的值，我们只需要根据切线方程确定在切点处导函数的值，也就是直线斜率以及切点的坐标，就可以建立方程组，求出A等于-3，B等于一。重点看第二第三小问当X大于零时，FX加M减去FX大于M求M的取值范围。第三，当X大于零时，FX加K加上FK减X大于2FK求K的最小值。显然这两小子都是含参的恒成立问题，根据恒成立的情况来确定参数范围。我们先来分析第二问，在第二问当中我们可以考虑按照最朴素的含参问题解决思路，将所有项移到不等式的一边，建立新的函数，然后进行分析。在这样的大的思路之下，我们产生了两个小的思路。第一个以X为主源构造新函数，对M取正数负数的情况进行分类讨论。第二个先进行必要性的探路，利用端点效应或者说是连续性。既然FX在X大于零时，这个式子恒成立，那么我们先令X等于0，这个不等式也应当成立，解得一个M的初步范围，再来进行讨论求解。除此之外我们还可以发现这个不等式的结构，可以进行同构的构造，将M看做X加M减去X就可以了。由此我们引申出了第四种思路。第三种思路利用同构的思想构造一个新的函数。第四种在构造新函数的过程当中进行更多的化简计算，我们会发现会存在X乘E的X次方这样的一个超越函数，然后根据这个函数的性质来进行求解也是没有问题的。我们根据以上的思路分析，我们得到了这样一张思维导图，一共四种方法，我们来看具体的解法。在第二问当中，首先我们发现当M等于零的时候，FX加0减去F0，FX是等于零的，显然不满足题意。所以在后续的解答中，我们将不再单独讨论M等于零的情况。解法一，我们通过一项构造一个新的函数，当然在这里我们还做了对整体除以E的X次方这样的一操作，一方面它可以简化计算，另外也不影响我们所得到的这个结论。求导GPX等于一的M次方减1加4倍M乘上E的负X次方。显然当M大于零的时候，导函数也是很大于零的，所以GX在零到正无穷上是单调递增的。为了满足GX大于0，恒成立只需要G0大于等于0，可以解得M应当大于等于二倍ln 2。在讨论M小于零的情况，此时导函数也是小于零的那GX在零到正无穷上单调递减。显然当它X趋向于无穷的时候，这个值也一定会趋向于负。所以我们只需要取一个特殊值来否定这个结论就可以了。我们取X0等于负M加上ln代入计算发现的确小于0，所以GG0GX0小于0，那么此时XGX大于零恒成力就不对了。综上所述，M要大于等于二倍罗姆二。再来看解法二还是构造函数，只不过我们把M这个参数作为主元。而且在我们对M的范围进行讨论的时候，我们还可以进行必要性的探路。根据连续性，既然X大于零的时候，这个不等式要恒成立，那么X等于0的时候也应当成立，有FM减去F0大于等于M可以先解得M小于等于0或者M大于等于ln 4要注意在原结论当中是大圆，而在我们取X等于0的时候，则要加上等号大于等于M然后根据M小于等于0或者M大于等于ln 4进行分类讨论。我们先构造函数GM，组员变成了M等于FX加M减去FX减去M化简讨论。当M大于等于罗恩斯的时候，导函数GPM，化简后会发现它是大于零的，既然如此，GM在罗恩四到正无穷上就会单调递增。所以我们再去验证g ln 4的函数值，我们发现g ln 4最终化简得到3X乘上E的X次方加四倍，罗文4乘上E的X次方减1，而X又在零到正无穷的范围上，所以这个函数值也大于0，因此是成立的。在讨论M小于零的情况，我们还是可以取特殊值X0等于负M加ln 4来否定掉这一种情况就可以了。此时GX0小于0，所以不满足题意。综上可得M要大于等于二倍伦二。前两种解法都是构造新函数，而第三种我们前面提到了，把M看作X加M减去X我们可以构造一个同构的新函数，也就是FX减X即GX等于FX减X那么原问题就等价于GX加M大于GX在零到正无穷上恒成立，我们只需要研究GX的函数性质就可以了。我们先对GX化简，并且求导，GPX等于X加1乘1的X次方减4，这个单调性其实是比较好看出来的。我们还是求一下二阶导G2PX等于X加2乘上E的X方，所以GPX在零到正无穷上单调递增。求一下01这2个地方的导函数值。GP0等于负三小于0，G撇一等于2 1减1大于0，而G撇X又单调递增，这说明在0到1上会存在唯一的一个GPX的零点，我们取为t GPT会等于0。所以GX在零到T上会单调递减，而在T到正无穷上会单调递增。其实在得到这样的一个单调性的结果之后，我们已经可以大致来想到，M是必然要大于零的，M不应当小于0，M不应当小于0。因为一旦M小于0，由于后面存在了T到正无穷这一整段单调递增的区间，所以一定会存在这样的X使得GX加M小于GX当然我们后续还会用具体的问题，具体的步骤来进行分析。首先分析XM大于零的情况，取HX等于GX加M减去GX直接求导。由于GPX单增，所以HPX一定是大于零的，所以HPHX是单调递增的。因此只需要H零大于等于0，解得M大于等于二倍ln 2。而当M小于零的时候，我们刚刚已经分析过了，它应当是不成立的。我们也只需要用一个特殊值，X0等于负M加T来否定掉这种情况就可以。此时是不满足题意的。综上可得M大于等于2倍02。再来看第四种情况，第四种解法我们对FX加M减去FX大于M做恒等变形。第一步可以化简到这里的形式，对吧？进一步做化简，我们会发现得到的是X加M乘上E的X加M次方减去X乘E的X次方大于4M要恒成立，这也是一个同构的形式。为了方便理解，我们可以将K等于M分之X加M乘上E的X加M的次方减去X乘E的X次方，看作这个F0X等于X乘E的X次方。这个函数图像上两个点连线的斜率。那我们就可以。画一下F0X的函数图像来结合分析了。图像长这样，显然为了让刚才我们画出来这个斜率要满足那个不等式，在M小于零的时候，这个地方的不等号要变号的对吧？那它就要小于4，显然无法能成立。M大于零应该是上述不等式恒成立的必要条件。所以我们只需要研究M大于零的情况。M大于零的情况，那么这个斜率就变成了零到正无穷上这个函数图像上的两点连线了。为了使得不等式成立，我们也只需要让X等于零的时候，这个式子恒成立解得M大于等于二倍隆二即可。我们继续来看第三问，第三问与第二问类似，还是一个含参的含成立问题。FX加K加FK减X大于二倍FK求K的最小值，那我们还是可以沿用第二小问的思路，将所有项移到一移到不等式的一边，构造一个新函数，然后研究新函数的性质，求出K的取值范围。与第二小问不同的地方在于这里，我们其实分离参数K是可行的一种思路，所以我们可以考虑局部分离K然后做换元，或者说也可以完全分离出参数K然后求另外一个函数的最值即可。事实上这个不等式也让我们看到了同构的可能，对FK进行移项就可以利用同构来构造新函数，并且求出K的取值范围。四种思路的思维导图，与第二小的类似，第一步基本上都是做恒等变形，目标是构造出一个可以研究的新的函数。在研究过程当中可能需要做分类讨论，可能需要换元，可能需要构造新函数，最后求得参数K的取值范围即可。我们来看具体的解法，解法一对GX做恒等变形，这里我们也采取了除以E的K次方的操作，这样可以方便我们计算求导。我们发现GP0是等于零的这是一个比较重要的零点。求二阶导。二阶导在前面一部分是X乘上E的X次方减去E的负X次方恒大于。而后面一部分K加2的正负性直接决定了后面这一部分的正负性，而G2撇0刚好又等于二倍K加2，所以K与负二的大小关系直接影响了整个函数的性质。我们讨论K与负二的大小关系，当K大于等于-2，可以得到G2撇X大于0，所以G撇X在零到正无穷单调递增，所以G撇X大于GP0等于0，所以GX在零到正无穷也单调递增。GX大于零满足题意。再看K小于负二的情况，此时我们发现一撇零是小于零的，而当X趋趋趋向于正无穷的时候，GPG2撇X是趋向于正无穷的。因此一定会存在X0属于零到正无穷，使得G2撇0等于0，而在零到X0上，G两撇X就会小于0，所以G撇X在零到X0单调递减，那么G撇X就会小于零了。而在这一段上GX就会单调递减，而GX零显然就会小于G0，也就是小于0，不满足题意，所以只有K大于等于负二这个范围。第二种思路进行分离，参数分离之后，我们初步得到的结果是X加K乘E的X次方加1分之1的X方减一大于对任意的X属于零到正无穷恒成立。我们可以考虑直接研究不等式左边的这个函数，为了方便研究进行换元，令X等于ln t那T就等于E的X次方。所以我们构造的新函数是GT等于ln t加上K乘T加一分之T减1。求导得到的导函数是一个分式型的，分母是三次，分子是二次。对于分子的这个二次，我们可以对它进行求解，判别式是4K乘上K加2的。同样出现了K加二这样的一个分类范围，我们对K与零和负二的大小关系进行讨论。如果K大于0，我们得到GT会等于ln t加上K乘上T加一分之T减一仍然大于零恒成立。而当K在-2到0之间，此时的德耳塔是小于零的，所以整个一阶导函数是恒大于等于零的，所以GT在一到正无穷上单调递增，GT大于零没有问题。在讨论当K小于负二时，此时根据韦达定理T1加T2大于0，T1乘T2等于一也大于0。所以一T1在0到1之间，而T2是大于一的，因为GT在T属于1T1到T2上是单调递减的，所以GT2就会小于G1，也就是零，显然不满足题。综上我们得到了K的范围大于等于-2。再来看第三种思路，第三种思路是建立在第二种思路的基础之上的。我们在分离变量的时候，分离参数K的时候，分离的彻底一点。原命题就等价于K大于负E的X次方减一分之E的X次方加一乘X对任意的X属于零到正无穷恒成立，那么我们只需要求右边函数的最最大值就可以了。我们注意到当X数趋向于0的时候，GX是趋向于负二的，所以我们考虑去证明GX小于负二恒成立再做恒等变形，就得到了X乘E的X次方加一减去二倍E的X次方减一大于零恒成立。我们记它的一个新函数HX分析HX的性质求导发现二阶导是恒大于零的，所以一阶导在零到正无穷上单增，所以一阶导恒大于0，所以HX在零到正无穷上也单调递增，所以HX大于零没有问题。综上得到K要大于等于-2。解法四，我们刚才提到了这个不等式仍然可以通过一项来构造同构的这个形式。所以我们可以将原命题转化为FK加X减去FK大于FK减去FK减X而这里的话我们选择以K为主元来看待会更加顺利，即GK等于XK加X减去FK那么原命题就是让我们证明GK大于GK减X在X属于0到1上恒成立。看一下这个式子，它其实对应着GK这个函数的单调性。K是大于K减X的。对于任意的K大于K减XGK要大于GK减X那其实是说明GK要落在单调增区间上。所以我们希望找到GPK什么时候会大于等于0，求导GPK就等于F撇K加X减去F撇K，它大于0。如果再进一步移项的话，就是F撇K加X大于F撇K以K为主元，这好像又变成了F撇K这个函数的单调性，只需要FPK能够落在单调增区间上就可以了。所以我们只需要求出FPK的单调增区间就可以求二阶导F2撇K刚好等于K加二倍E的K次方，令它大于等于0，解得K大于等于-2。还是比较顺利的。那么这道题的所有小问的全部解法我们就都分析完了。接下来我们进行试题的溯源和辨识探究。试题溯源本题是以指数函数为载体考察，利用导函数来研究函数的单调性，并且求参数的取值范围。它与2024年甲卷的这道题是一致的。在基础层面上考察的是求导和利用导函数分析单调性、极值和最值。提升层面上则是要求我们在给定区间上的不等式的恒成立问题，反求参数范围进阶层。我们需要会学会构造函数，需要能够进行分类讨论。通过高阶导函数的分析来判断函数的凹凸性、单调性，分析函数边界情况。接下来我们来进行一些变式练习的探索辨识一，我们在原函数FX的基础之上增加了一个最小值，FX0等于M1方面需要我们证明X0在0.6到0.62之间，另外一方面需要我们证明最小值M在5分之1到3分之1之间。这其实是一个相对简单的零点存在定理的应用的问题。当然对于计算的要求会比较高一点。首先求导。分析函数的性质。最后我们发现FPX1阶导函数在零到正无穷上单调递增。在求解F撇0.6小于0，F撇0.62大于0。由零点存在定理可以确定，唯一的0减X0在0.6到0.62之间，使得F撇X0等于0。那么对于X0来说，我们就有X0加1乘上E的X0次方减三等于0。这样一来FX在零到X0上单调递减，在X0到正无穷上单调递增，最小值M就等于FX0。化简的结果是X0加1分之负三倍，X0平方加X0加1。接下来我们要计算它的大致区间，对吧？还是一样求导，发现它在零到正无穷上单调递减，所以GX就应该在G0.62到G0.6之间，应该在5分之1到3分之1之间。链式二还是取原函数FX找到它的极值点X0与数列AN相结合，其中A一等于0，AN等于ln AN加1分之3。需要我们证明当N大于等于2的时候，有如下不等式成立。首先还是分析函数性质，发现FPX在零到正无穷上单调递增。结合第一小问的结合第一个辨识的一些结论对吧？我们得到了X0等于ln x0加1分之3，所以我们要想证明原不等式，就只需要证明AN加一减去X0的绝对值小于4分之3倍。AN减X0的绝对值。我们经过计算发现AN加1减X0就等于ln x0加1减去ln AN加1。所以我们就可以证明，下面的这个式子。我们注意到对于这个式子，我们要想证明可以先做一步放松。对于任意的正实数UV都有不等式，ln u减UV小于mini UV分之U减V的绝对值。所以我们只需要证明左侧的绝对值小于我们刚才得到的转化放缩出来这个结论就可以了。我们可以证明meaning AN加一和X0加1大于3分之4即可。我们要注意到一加X零大于1加0.6大于3分之4，所以只需要证明N大于等于2的时候，AN大于3分之1就可以了。最终转化成了一个纯数列的问题。我们用归纳法来进行证明，当N等于2的时候显然成立，假设当N等于K的时候也成立，所以N等于K加一的时候，ANAK加一等于ln AK加1分之3，它也会落在这个区间内。面试三还是取原函数FX只不过又构造了一个新的GX这个GX其实是与原函数有同构的性质的，有同构的一个关系在里面的。如果FX大于等于GX恒成立求K的最大值。我们首先计算FX减去GX得到它的表达式，最后换元对吧？发现同时出现了X加上ln x令它等于T所以T属于R因此我们只需要证明E的T次方减去K乘上T加一大于等于0，在T属于R上恒成立就可以。所以很快可以得到K的最大值。应该等于一，因为这个有一个成立的不等式。便是4. 还是取原函数FX如果FX小于K倍，右侧这个分式对于任意的X属于负无穷到零恒成立，求K的取值范围，这是单参数的恒成立问题。我们可以做放缩，也可以进行分离变量。如果做放松，我们则要注意到在X小于零的时候，E的X次方大于2减X分之2加X最后可以证明K大于等于一。如果我们要进行分离变量，那么则要分析这个新的函数GX对它进行求导，求出它的导函数2个0点，并且发现GX的，并且找到GX单调区间。当X趋向于负无穷的时候，GX趋向于一，G0也等于一，所以只要要求K大于等于一就可以。这是我们所有的辨识的问题的分析。对于这道试题我们做一下评价，它的特点比较明确。特点1，考点层次分明，梯度设置合理，考察的方向比较完整。第二，思想方法非常丰富，综合度也非常高有函数与方程的思想，有分类讨论，也有转化和化归的思想。第三，易错点非常突出，重视细节的分析。比如在我们做恒等变形的过程当中，计算要求是很高的，非常容易算错。那么对于这样的一些特点，我们给出如下的复习建议，第一，一定要夯实导数基础运算与几何意义。第二，应该系统梳理恒成立问题的解题思路，比如分离变量，比如构造函数。第三，一定要强化高阶导数与对称型函数的训练。在两个小问当中我们都用到了二阶导，或者说是对称型的新函数的构造。第四，一定要复盘错题，聚焦推理锻炼。以上是我们本组的全部内容，谢谢您的倾听，请您批评指正。