湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

HUN202607 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.样本数据1,2,4,5,7,10的第40百分位数为 A.2 B.2.4 C.3 D.4 2.已知复数z=1-i,则+ 1+i A.1- B.Lti C.1-i D.1+i 2 3.已知集合A=-1,0,1,2,3,B=x1x3=3x2-2x{,则A∩B= A.{0,1 B.0,2 C.11,2 D.{0,1,2 4.不等式-3≤3的解集是 x+1 A.x|-3≤x≤-1 B.{x|-3≤x<-1 C.x|x≤-3或x>-1 D.|xlx≤-3或x≥-1 5.某班要从3名男生和4名女生中选出3人参加学校的演讲比赛，要求至少有1名女生参 加，则不同的选法共有 A.30种 B.31种 C.34种 D.35种 6.已知等差数列|a,}的通项公式为a,=3n-2,在ian中每相邻两项之间都插人2个数，组 成一个新的等差数列bn},则b2o26= A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 数学第1页（共4页） 7.设函数x)=万sin wx+cos wx((0>0),若fx+2m)=fx)恒成立，且存在0∈[0.g】,使 得f(x)=2,则w的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,准线为l,与y轴平行的直线与l和E分别交于点 A,B,且(AB+AF)⊥BF,若△ABF的面积为43，则p= A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设等比数列an的前n项和为Sn,若S4=30,a3-a1=6,则公比g的值可以是 A.-2 B号 C.2 D.3 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=（x+2)e-2,则 A.当x>0时、f八x)=（x-2)e+2 B.f(x)的图象是一条连续不断的曲线 C.f(x)的图象在x=2处的切线方程为e2x-y-2e2+2=0 D.f(x)的单调递减区间为(-2,2) 1.已知椭圆C若+写=1的左右焦点分别为R,R,点P在C上且位于第一象限，过点P作 ∠F,PF2的平分线交x轴于点M,过点F,作PM的垂线，垂足为N,延长F,N交PF2的延 长线于点Q,0为坐标原点，则 A.IPF,I=IPOI B.ON∥PQ C.存在点P,使得点Q与C的下顶点重合 D.10M1的取值范围是(0，) 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,1),b=(x,3).a·b=1,则1a-3b1= 13.已知函数∫(x)=(x+a)(x+4)2的极小值点为x=-2,则f(x)<0的解集为 14.在三棱锥A-BCD中，AB LBD,CD⊥BD,AB=CD=√3，BD=1,若A,B,C,D四点都在同- 个表面积为13π的球的球面上，则AC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,记a2+c2-b2=k,△ABC的面积为S. (1)若B=60,求的值； (2)若k=40,S=105,b=2√10，判断△ABC的形状，并说明理由. 16.（15分) 已知双曲线C名1(a>0,6>0)的离心率为3，且C经过点A(0.2 (1)求C的方程； (2)过点D(1,1)作直线l与C交于P,Q两点，与直线x=-1交于点E,若E⑦=EP+E0, 求直线L的方程 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D,中，DD,⊥底面ABCD,下底面ABCD是边长为4的正方 形、上底面A,B,C,D,是边长为3的正方形，M,N分别是AD,CD的中点. (1)证明：BB1∥平面D,MN; (2)若BB,=√14，求平面ABB,A,与平面ACC,A1的夹角的余弦值 R 18.(17分) 某果园的精品苹果成箱包装，每箱100个.每箱苹果在交付客户之前要对苹果作检验，如 检验出坏果，则更换为好果.检验时，先从这箱苹果中任取10个作检验、再根据检验结果 决定是否对余下的所有苹果作检验.设每个苹果为坏果的概率都是0.2，且各个苹果是否 为坏果相互独立， (1)记10个苹果中检验出的坏果数量为Y,若k=k。时，P(Y=k)的值最大，求ko (2)现对一箱苹果检验了10个，结果恰有(1)中所得的k。个坏果.已知每个苹果的检验费 用为2元，岩有坏果流人市场，则果园要对每个坏果支付15元的赔偿费用 ()若不对该箱余下的苹果作检验，这一箱苹果的检验费用与赔偿费用的和记为X, 求E(X); （ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对该箱余下的所有苹果 作检验？ 19.(17分) 已知函数f(x)=e-alnx-a,aeR. (1)当a=e时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)在第(2)问的条件下，记f(x)的两个零点为x1,x2,证明：x1x2>1. 附：当x>0且x0时，xnx0. 数学第4页（共4页）HUN202607 高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案D 命题透析本题考查百分位数的概念 解析6×40%=2.4，所以第40百分位数为从小到大第3个数，即为4. 2.答案A 命题透析本题考查复数的四则运算 解析因为：=1-i,所以+三1=1- 1+i1+i=2 3.答案D 命题透析本题考查集合的表示与运算. 解析B={xx(x2-3x+2)=0={xlx(x-1)(x-2)=0={0,1,2},故A∩B={0,1,2. 4.答案C 命题透析本题考查分式不等式的解法， 解析由3≤3，可得2x+3】≥0，即 (x+3)(x+1)≥0， x+1 故x≤-3或x>-1,所以解集为xlx≤-3或x>-1 x+1 x+1≠0， 5.答案C 命题透析本题考查计数原理的应用 解析总的选法减去全为男生的选法：C-C=35-1=34(种). 6.答案B 命题透析本题考查等差数列的概念 解折设6，的公差为d,则6=4=1，d'=号=1，故6，=1+1×(a-）=n,故，=2026 7.答案C 命题透析本题考查三角函数的性质， 解析函数x)=5 sin wx+c0=2sin(or+石)}(w>0),设函数x)的最小正周期为T由x+2m)=fx) 可得k=2a(keN),所以T-2酒-(eN),即u=(keN),又存在e[0,],使得)=2.且当 e[0,8]时，r+石∈[g器+]，所以受+石≥受，即o≥综上，u的最小值为3. 6 一1 8.答案B 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系 解析如图，不妨设点A,B都在y轴右侧，因为(A+A1B成，所以IA1=A1,又由抛物线的定义可知1BF1= 1hAB1,所以△ABF是正三角形，面F(0,号)点A的纵坐标为-分，则点B的纵坐标为，IBA1=头- (-）=2,则3w=(2p)2=45,解得p=2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案CD 命题透析本题考查等比数列的基本运算， 解桥易知7.a-a-aa-D36.s50-0.所议，产30.化酒孢 1-9 1+g2=5(g-1),解得g=2或3. 10.答案ABC 命题透析本题考查函数的性质， 解析对于A,当x>0时，-x<0,因为f八x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[(-x+2)e*-2]= (x-2)e+2,故A正确； 对于B,因为(0+2)e°-2=(0-2)e°+2=0，所以f(x)的图象在x=0处是连续不断的，从而在R上是连续 不断的，故B正确： 对于C,对f八x)=(x-2)e+2(x>0)求导，得f'(x)=(x-1)e(x>0),所以f'(2)=e2f(2)=2,故所求的切 线方程为y-2=e2(x-2),即e2x-y-2e2+2=0,故C正确； 对于D,当x≥0时，令f'(x)=(x-1)e≤0，得f(x)在区间[0,1)上单调递减，由对称性，可知f(x)在(-1,0] 上单调递减，所以f(x)的单调递减区间为(-1,1)，故D错误 11.答案ABD 命题透析本题考查椭圆的性质、椭圆与直线的位置关系。 解析对于A,如图，在△PF,N和△PQN中，∠F,PN=∠QPN,PN=PN,∠PNF,=∠PNQ,则△PF,N≌ △PQN,所以IPF,I=IPQI,故A正确； —2 对于B,因为△PFN≌△PQN,所以F,N=QN,即N是F,Q的中点，又O是FF2的中点，所以ON是△F,QF2 的中位线，所以ON∥F2Q,即ON∥PQ,故B正确： 对于C,若Q与C的下顶点重合，则直线PQ的方程为y=3(x-1),且IQF,I=IQF2I=2,因为lPF,I=IPQ1, 1F,1+PF1=4,所以1PR,1=3,R,1=1,则0配=-2立可得点P(子》代入椭圈方程，不成立，故C 错误； IPF I IMFI 4-IPF2I 对于D,设1ME,1=(0<1<2),则1ME1=2-1,由角平分线的性质定理，得PF,-M,即1PF, 六商产高-1因为听11,2所以产=20113到.放13， 4 则2e(兮，即子-1e(兮，得子∈（侍，2）则1e(1,2)即IM,1e(1,2)故1ow1的取值范围 为(0,2)，故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案√89 命题透析本题考查平面向量的坐标运算。 解析由a·b=1,得(2,1)·(x,3)=2x+3=1,解得x=-1,所以b=(-1,3),所以a-3b=(2,1)-3(-1,3)= (5,-8),所以la-3b1=89. 13.答案(-∞，-4)U(-4,-1) 命题透析本题考查利用导数研究函数的极值， 解析f(x)=(x+4)2+2(x+4)(x+a)=(x+4)(3x+2a+4),令f(x=0,得x=-4或=-2a+4因为 3 x)的极小值点为x=-2,所以-2+4=-2，得a=1,所以代)=(x+1)(x+4)2,令(x+1)(x+4)2<0,得 3 x<-1且x≠-4，即解集为(-∞，-4)U(-4,-1). 14.答案10 命题透析本题考查多面体与球的综合计算。 解析如图，过B作BF∥CD,且BF=CD,过D作DE∥AB,且DE=AB,连接AE,AF,CF,CE,可得BD∥AE∥ —3 FC,BD=AE=FC因为BD⊥AB,BD⊥CD,BF∥CD,所以BD⊥BF,从而BD⊥平面ABF,即三棱柱ABF-EDC 为直三棱柱，则三棱锥A-BCD与直三棱柱ABF-EDC的外接球相同，设其半径为R.由S=4πR=13π，知R= 至，设△ABF的外接圆半径为，则=F+(),解得r=.又AB=BF=5,可知∠ABF=号，所以AF 2 3AB=3.AC=AF+CF=10 D 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.命题透析本题考查解三角形. 解析(1)由余弦定理得cosB=2+c2-. 2ac 2ac 当B=60时20e=7→k=ac.… …(3分) 由三角形面积公式，得S=0csmB=分csim60=分c·气= …(5分) 所以 4 …(6分) （2)因为2-年由(1)可知.公=60 (8分) 所以k=aC=40.… (9分) 由余弦定理得=a2+c2-c,又b=2/0,得a2+c2=80.…(10分) 所以a2+c2-2ac=(a-c)2=0, 所以a=C,… …(12分） 所以△ABC为等边三角形.… (13分) 16.命题透析本题考查轨迹方程、双曲线与直线的位置关系. 解析(1)因为C经过点A(0,2),所以a=2,…(1分) 又离心率为片=月.所以c=3a=25… (2分) 所以b2=c2-a2=8, 放C的方程为子-号=1 …(4分)》 —4 (2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l:y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.…(5分) 令x=-1,得E(-1,-2k+1).…(6分） y=kx-k+1, 联立得 消去y得(22-1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-8=0,…(7分) 4-8=1, 则2-1≠0,4=162(1-k)2-8(22-1)[(1-k)2-4]=8(9k2-2k-3)>0,得k<-27或k>1+2五 9 9 且号 设代名.0.则名=售二 (9分)》 由Ei=E+E或，得(2,2k)=(x1+1,1+2k-1)+(2+1,y2+2k-1), 2=x1+1+x2+1, 「x1+x2=0 即 化简得 2…(12分） 2k=y1+2k-1+y2+2k-1, y1+y2=2-2k, 由5+=0，得-4-2=0，解得k=0(舍去)或k=1, …(13分） 2k2-1 当k=1时，直线1的方程为y=x,其与C有两个交点，此时y1+y2=x1+x2=0,满足少，+y2=2-2k, …(14分）】 综上，直线1的方程为y=名…（15分) 17.命题透析本题考查线面平行的证明以及两平面夹角的计算。 解析(1)如图，连接BD,B,D1,设BD与MN相交于点E,连接D,E. 因为四棱台上下底面平行，且B,D,B,D,共面，所以BD∥B,D…(2分) 因为M,N分别是AD,CD的中点，所以DE=子8D,所以BE=子D, 易得BD=42,B,D1=3√2，所以BE=3√2=B,D1,… (3分) 所以四边形BED,B,是平行四边形，所以BB,∥ED, …(4分） 又BB,￠平面D,MN,ED,C平面D,MN, 所以BB,∥平面D,MN.… …(5分)） (2)如图所示，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.…(6分) 由题意及(1)可得ED,=BB,=√14，DE=2,所以DD,=√ED-DE=23, 所以A(4,0,0),B(4,4,0),A1(3,0,23),C(0,4,0),… …(8分) 则AB=(0,4,0),AA=(-1,0,23),AC=(-4,4,0). (9分) 设平面ABB,A,的法向量为m=(x,y,z), rm·A店=4y=0, 则 取m=(2√3,0,1). …（11分)） m·AA=-x+25z=0, 设平面ACC,A,的法向量为n=(a,b,c), rn·AA1=-a+23c=0, 则 取n=(25,25,1).…(13分） n·A元=-4a+4b=0, 则wa1-启x5零 所以平面ABB,A与平面ACCA,的夹角的余弦值为S (15分) 5 18.命题透析本题考查二项分布，随机变量的期望的运算性质及应用. 解析(1)由题意知Y~B(10,0.2), 即P(Y=k)=C。×0.2×0.80-,k=0,1,2,…,10. …(2分)】 所以0”00 k4=4k …(4分)》 令"”≥1，得1-6≥4-5≤1-6≤2.2 所以当k≤2时，P(Y=k)的值递增，当k≥2时，P(Y=k)的值递减，…(6分) 因此，当k=2时，P(Y=k)取得最大值，故k=2.…(7分) (2)(i)由(1)知，检验了10个，恰有2个坏果， 设余下的90个苹果中坏果的数量为Z,依题意知Z一B(90,0.2),…(9分) 则X=20+15Z, E(X)=E(20+15Z)=20+15E(Z)=20+15×18=290. …(13分)》 (ⅱ)若对该箱余下的所有苹果作检验，则这一箱苹果所需要的全部检验费用为200元. 因为200<290， 所以应对余下的所有苹果进行检验.…(17分) 19.命题透析本题考查导数相关知识， 解析（1)当a=e时)=e-eln-e,定义域为(0，+)f(x)）=e-,…（1分) 6 易知f'(x)在(0，+0)上单调递增，且f'(1)=0, 所以当xe(0,1)时f'(x)<0f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，…(3分)》 所以f八x）m=f1）=0.…(4分） (2)f'(x)=e-a=e-g 当a≤0时，∫'(x)>0f八x)单调递增，不可能存在两个零点.…(5分) 当a>0时，令g(x)=xe-a(x>0),则g'(x)=(x+1)e>0,g(x)单调递增， 又g(0)=-a<0,当x→+0时，g(x)→+0，故存在xo使得xoe0=a,当x∈(0，xo)时，g(x)<0,f'(x)<0, f(x)单调递减，当x∈(x0,+0)时，g(x）>0f(x)>0,f(x)单调递增，…(6分)》 所以f(x)的最小值为f(xo)=e0-aln xo-a=e0-xoe"(lnx+1)=e0(1-xlnx-x). 又当x0时，f八x)→+o,当x→+0时，f(x)→+0， 所以要使f八x)有两个零点，则f代xo）=e0(1-xlnx-x)<0.…（7分) 令h(x)=1-xnx-x,则h'(x)=-2-lnx,令h'(x)=0,得x=e2, 当xe(0,e2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(e-2,+∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)ms= h(e2）=1+e-2>0,…(8分） 又当x0+时，h(x)1>0,h(1)=0, 所以当x>1时，h(x)<0,所以xo>1,a=xe">e 综上，a的取值范围为(e,+o).… …(10分） (3)由(2)知，当a>e时f(x)有两个零点x1,x2,又f1)=e-a<0,所以x1<1<x2 由e-an+1)=0,可得a=n因为a>e>0,所以n+1>0,h>-1 In a =x In(In x +1),u=In x,u>-1,In a e"In(u+1). 令F(u)=e“-ln(w+1)-lna,w1,2为F(u)=0的两个根，山1=lnx1<0,42=lnx2>0,所以要证x1x2>1,即 证nx1+n2=山1+山2>0，即证山2>-山1>0.…(12分) Fa)e-中F(a)e+十>0.Fa)在(-1，+x)上单调递增， 又因为F(0)=0,所以当u∈(0，+∞)时，F(u)>0,F(u)在(0，+∞)上单调递增，所以只需证F(u2)>F(-u,), 又因为F(山，)=F(山2)，所以即证F(山，）>F(-山，）.…(14分) 令H(u)=F(u)-F(-u)(-1<u<0), 则w)=f)+F(-w)=e+e-hd(e-(e…-} 易知心>+10)则e。< 1 ,e“= ,1,所以P()<0,H(u)单调递减，所以H(u)>H0)=0. 。<1+ 所以F(山，)>F(-山，)，从而原命题得证.… (17分)》 -7