1.1.3 集合的基本运算 第一课时 交集与并集（讲义）高一数学人教B版必修第一册.zip

本高中数学讲义聚焦集合的交集与并集运算，系统梳理交集、并集的定义及性质，通过“想一想”问题引导概念深化，随学随练即时巩固，承接集合基本概念，为补集等后续内容搭建学习支架。 该资料以分题型教学为特色，含解题贴士、例题及变式训练，借助数轴与维恩图培养直观想象，参数问题强化数学运算与逻辑推理，分层练习覆盖基础与创新，助力课中教学增效，课后学生查漏补缺，充分体现数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算 第一课时 交集与并集 课标要点 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象、数学运算）. 学习重难点 重点： 理解交集、并集定义与符号，会用数轴、Venn 图表示；掌握A∩B取公共元素，A∪B取全部元素；熟记交集、并集基本性质，能求解数集交并运算。 难点： 利用数轴求解不等式集合的交并集易出错；混淆交集、并集符号；含参数集合运算易漏讨论边界，不会结合 Venn 图分析集合范围。 知识点一　交集 1.交集的相关概念 2.交集的性质 （1）A∩B＝　B∩A　；（2）A∩A＝　A　； （3）A∩∅＝∅∩A＝　∅　；（4）A⊆B⇒A∩B＝　A　. 【想一想】 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 2.若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？ 3.若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？ 随学随练 1．（25-26高二下·河北保定·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津津南·期末）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 3.（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 知识点二　并集 1.并集的相关概念 2.并集的性质 （1）A∪B＝　B∪A　；（2）A∪A＝　A　； （3）A∪∅＝∅∪A＝　A　；（4）A⊆B⇒A∪B＝　B　. 【想一想】 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 2.若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？ 随学随练 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 题型一 交集的运算 解题贴士：求两个集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 【例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津蓟州·阶段检测）设集合，，则（   ） A．{-1，1，2} B．{1} C．{2} D．{1，2} 【变式2】（25-26高二下·云南红河·期末）设集合，，则的元素个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海·模拟预测）若集合，自然数集为，则______． 题型二 并集的运算 解题贴士：求集合并集的2种基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【例2】（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 题型三 由集合的并集求参数 解题贴士：求集合运算中参数应注意的问题 解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： （1）由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； （2）对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 【例3】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 题型四 由集合的交集求参数 解题贴士：求集合运算中参数应注意的问题 解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： （1）由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； （2）对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 【例4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型五 用维恩图解决实际问题 解题贴士：用维恩图解决实际问题的步骤 （1）利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言； （2）通过解方程和限制条件的运用解决问题. 【例5】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【变式2】为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？ 【变式3】〔多选〕立德中学为了迎接国庆节的到来，在国庆节的前一周举办了“迎国庆，向未来”趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加拔河，有7人参加4人足球，有5人参加羽毛球，拔河和4人足球都参加的有4人，拔河和羽毛球都参加的有3人，4人足球和羽毛球都参加的有3人，则（　　） A.三项都参加的有1人 B.只参加拔河的有3人 C.只参加4人足球的有2人 D.只参加羽毛球的有4人 基础通关 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 7．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 10．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 11．（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 三、填空题 12．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 13．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合，，则________． 15．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 素养提升 16．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 20．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合.，求实数m的取值范围. 迁移创新 21．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 22．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算 第一课时 交集与并集 课标要点 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象、数学运算）. 学习重难点 重点： 理解交集、并集定义与符号，会用数轴、Venn 图表示；掌握A∩B取公共元素，A∪B取全部元素；熟记交集、并集基本性质，能求解数集交并运算。 难点： 利用数轴求解不等式集合的交并集易出错；混淆交集、并集符号；含参数集合运算易漏讨论边界，不会结合 Venn 图分析集合范围。 知识点一　交集 1.交集的相关概念 2.交集的性质 （1）A∩B＝　B∩A　；（2）A∩A＝　A　； （3）A∩∅＝∅∩A＝　∅　；（4）A⊆B⇒A∩B＝　A　. 【想一想】 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 【提示】有，交集为空集. 2.若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？ 【提示】A⊆B. 3.若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？ 【提示】不一定，如A＝{0}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}，满足A∩B＝A∩C＝∅，但是B≠C. 随学随练 1．（25-26高二下·河北保定·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得. 2．（25-26高二下·天津津南·期末）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 . 3.（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾；当时，可得，此时,满足故. 知识点二　并集 1.并集的相关概念 2.并集的性质 （1）A∪B＝　B∪A　；（2）A∪A＝　A　； （3）A∪∅＝∅∪A＝　A　；（4）A⊆B⇒A∪B＝　B　. 【想一想】 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 【提示】不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和. 2.若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？ 【提示】B⊆A. 随学随练 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以. 2．（25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的定义,，，可得. 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【解析】已知集合，若，所以，解得. 题型一 交集的运算 解题贴士：求两个集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 【例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 则.故选：C. 【变式1】（25-26高二下·天津蓟州·阶段检测）设集合，，则（   ） A．{-1，1，2} B．{1} C．{2} D．{1，2} 【答案】D 【解析】集合，，所以. 【变式2】（25-26高二下·云南红河·期末）设集合，，则的元素个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得或，即，故的元素个数为． 【变式3】（2026·上海·模拟预测）若集合，自然数集为，则______． 【答案】 【解析】因为集合，所以． 题型二 并集的运算 解题贴士：求集合并集的2种基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【例2】（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，，所以 【变式1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，所. 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以． 【变式3】（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 【答案】 【解析】已知集合，，． 题型三 由集合的并集求参数 解题贴士：求集合运算中参数应注意的问题 解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： （1）由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； （2）对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 【例3】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件 ，可知 ：，又由 ， ， 得：.故选：D 【变式1】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 【变式2】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，当时，，符合题意； 当时，则，因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值所组成的集合是.故选：D. 【变式4】（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【解析】因为集合，， 若，则，结合选项可知：ABD错误，C正确；故选：C. 题型四 由集合的交集求参数 解题贴士：求集合运算中参数应注意的问题 解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： （1）由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； （2）对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 【例4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【解析】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或.故选A. 【变式1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，. 【变式2】（2026·广西南宁·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，，且， 可得，所以a的取值范围是. 【变式3】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以，由，则，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C. 【变式4】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，，， 所以，即，解得. 题型五 用维恩图解决实际问题 解题贴士：用维恩图解决实际问题的步骤 （1）利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言； （2）通过解方程和限制条件的运用解决问题. 【例5】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，阴影部分为． 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知阴影部分表示的集合为， 由，可得，故选：B 【变式2】为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？ 【解】如图，不妨设参加计算的人为集合A，参加测量的人为集合B，参加绘图的人为集合C.设3项工作都参加的人数为x. 则测绘队总人数为（10－x）＋（8－x）＋（6－x）＋4＋6＋8＋x＝42－2x， 因为0＜x≤6，所以30≤42－2x＜42， 即测绘队人数最少为30人，此时x＝6. 故这个测绘队至少有30人. 【变式3】〔多选〕立德中学为了迎接国庆节的到来，在国庆节的前一周举办了“迎国庆，向未来”趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加拔河，有7人参加4人足球，有5人参加羽毛球，拔河和4人足球都参加的有4人，拔河和羽毛球都参加的有3人，4人足球和羽毛球都参加的有3人，则（　　） A.三项都参加的有1人 B.只参加拔河的有3人 C.只参加4人足球的有2人 D.只参加羽毛球的有4人 【答案】BC　 【解析】根据题意，设A＝{x｜x是参加拔河的同学}，B＝{x｜x是参加4人足球的同学}，C＝{x｜x是参加羽毛球的同学}，则card（A）＝8，card（B）＝7，card（C）＝5，又card（A∩B）＝4，card（A∩C）＝card（B∩C）＝3，所以card（A∩B∩C）＝12－[（8＋7＋5）－（4＋3＋3）]＝2， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人.故选B、C. 基础通关 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，因为，所以. 2．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由上图可得，． 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立不等式 解得 即. 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】已知，，说明只有是和的公共元素， 则，又因为，元素，因此. 6．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【答案】D 【解析】由，，， 所以，即，此时，，满足题设.故选：D 7．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合或，，且，则，故. 故选：A. 8．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知集合，因为，所以. 二、多选题 9．（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解析】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 10．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 11．（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 三、填空题 12．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】因为化简得，由于， 又因为且，即，得， 综上所述，实数的取值范围为. 13．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【解析】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合，，则________． 【答案】 【解析】把代入得， 解得或（舍），则，或，所以. 15．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【解析】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 素养提升 16．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 17．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 18．（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 19．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【解析】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 20．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【解析】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 迁移创新 21．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 22．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $