1.1.2 集合的基本关系（讲义）高一数学人教B版必修第一册.zip

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义与性质，明确空集与其他集合的关系，介绍维恩图表达集合关系的方法，探究含n个元素集合的子集个数公式，承接集合概念，为常用逻辑用语学习搭建基础支架。 该资料以“知识点-思考-随练-拓展-题型”结构化设计，通过表格归纳子集个数规律培养数学抽象，维恩图应用强化直观想象，题型分类附解题贴士提升数学思维。课中辅助教师系统授课，课后真题练习助学生查漏补缺，巩固知识。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课标要点 1.理解集合之间包含与相等的含义（数学抽象）. 2.能识别给定集合的子集（数学抽象）. 3.了解空集与其他集合的关系（数学抽象）. 4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）.. 学习重难点 重点： 掌握子集、真子集、集合相等的定义与符号；空集是任意集合的子集、任意非空集合的真子集；熟记含n个元素集合的子集、真子集个数公式，区分元素与集合、集合间的关系符号。 难点： 区分元素与集合、集合与集合的符号，易混用∈与⊆；解题易遗漏空集情况；准确区分子集、真子集，熟练运用有限集合子集个数公式，规避概念混淆错误。 知识点一　子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 3.性质：A⊆A；∅⊆A. 【想一想】 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 2.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 随学随练 1.（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 知识点二　真子集 1.真子集的有关概念与性质 （1）概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）； （2）性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⫋C，则A⫋C；②如果A⫋B，B⫋C，则A　⫋　C. 2.维恩图 （1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的　内部　来表示集合，这种示意图通常称为维恩图； （2）维恩图的优点及其表示 ①优点：形象直观； ②表示：通常用　封闭曲线　的　内部　代表集合. 【想一想】 1.任何集合A是其本身的真子集吗？ 2.空集是任何集合的真子集吗？ 3.你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？ 随学随练 1.（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 2.（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 知识点三　集合的相等与子集的关系 性质：由集合相等的定义可知：如果　A⊆B　且　B⊆A　，则A＝B；反之，如果A＝B，则　A⊆B　且　B⊆A　. 随学随练 1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 3．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 拓展 子集个数的探究 通过教材第8页例1与练习1题，我们知道可用列举法写出集合的子集，那么求集合的子集是否还有其他方法呢？ 　　阅读下表，找出规律并填空： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1个 ⌀，{a} 　2　个 {a，b} 2个 ⌀，{a}，{b}，{a，b} 　4　个 {a，b，c} 3个 ⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 　8　个 【问题探究】 1.你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 2.如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非空真子集数目的公式吗（用n表达）？ 【迁移应用】 1.已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.已知集合A＝{（x，y）｜4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为（　　） A.3 B.4 C.7 D.8 题型一 集合间关系的判断 解题贴士：判断集合间关系的常用方法 【例1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数 解题贴士：1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的真子集的个数为2n－1个； （3）A的非空真子集的个数为2n－2个. 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1】（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【变式2】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【变式3】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 空集的性质及其应用 【例3】设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 韦恩图的应用 【例4】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 题型五 由集合相等求参数 解题贴士：由集合相等求参数的方法 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性. 【例5】（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 题型六 已知包含关系求参数 解题贴士：应用集合关系求参数的4个步骤 【例6】（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【变式4】（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 基础通关 一、单选题 1．新高一年级数学人教A版）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（2026·陕西安康·三模）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 二、多选题 7．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 9．（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则下列四个结论正确的是（   ） A． B． C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 三、填空题 11．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 12．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 13．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 14．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 素养提升 16．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 18．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 20.设集合U＝{2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　{3，5，9}　. 迁移创新 21.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}. （1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由； （2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）. 22.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设4∈{－a，，a2}，则满足条件的所有a组成的集合为A，集合B＝. （1）求集合A； （2）若A，B两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数b的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课标要点 1.理解集合之间包含与相等的含义（数学抽象）. 2.能识别给定集合的子集（数学抽象）. 3.了解空集与其他集合的关系（数学抽象）. 4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）.. 学习重难点 重点： 掌握子集、真子集、集合相等的定义与符号；空集是任意集合的子集、任意非空集合的真子集；熟记含n个元素集合的子集、真子集个数公式，区分元素与集合、集合间的关系符号。 难点： 区分元素与集合、集合与集合的符号，易混用∈与⊆；解题易遗漏空集情况；准确区分子集、真子集，熟练运用有限集合子集个数公式，规避概念混淆错误。 知识点一　子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 3.性质：A⊆A；∅⊆A. 【想一想】 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系. 2.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. （2）“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. （3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合. 随学随练 1.（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】由已知，其子集为，，，，，，，，共计8个. 2．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误.故选：A. 知识点二　真子集 1.真子集的有关概念与性质 （1）概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）； （2）性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⫋C，则A⫋C；②如果A⫋B，B⫋C，则A　⫋　C. 2.维恩图 （1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的　内部　来表示集合，这种示意图通常称为维恩图； （2）维恩图的优点及其表示 ①优点：形象直观； ②表示：通常用　封闭曲线　的　内部　代表集合. 【想一想】 1.任何集合A是其本身的真子集吗？ 提示：任何集合A不可能是其本身的真子集. 2.空集是任何集合的真子集吗？ 提示：空集是任何非空集合的真子集. 3.你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？ 提示：（1）“⊆”和“⫋”均表示集合与集合之间的关系. （2）“⊆”表示子集关系，“⫋”表示真子集关系. （3）若A⫋B，则A⊆B.但是，若A⊆B，则A⫋B不一定成立. 随学随练 1.（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，所以的真子集个数为个 2.（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 3.（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为. 知识点三　集合的相等与子集的关系 性质：由集合相等的定义可知：如果　A⊆B　且　B⊆A　，则A＝B；反之，如果A＝B，则　A⊆B　且　B⊆A　. 随学随练 1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【解析】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误；故选C. 3．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；故选：B 4．（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可知，解得.此时，符合要求.所以. 5．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，符合； 当时，，，又，， 综上，． 拓展 子集个数的探究 通过教材第8页例1与练习1题，我们知道可用列举法写出集合的子集，那么求集合的子集是否还有其他方法呢？ 　　阅读下表，找出规律并填空： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1个 ⌀，{a} 　2　个 {a，b} 2个 ⌀，{a}，{b}，{a，b} 　4　个 {a，b，c} 3个 ⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 　8　个 【问题探究】 1.你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 【提示】“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有n个元素，则该集合的子集个数为2n. 2.如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非空真子集数目的公式吗（用n表达）？ 【提示】子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 【迁移应用】 1.已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】A 【解析】根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3.故选A. 2.已知集合A＝{（x，y）｜4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为（　　） A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】D 【解析】用列举法表示集合A，得A＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，则集合A的子集的个数为23＝8. 题型一 集合间关系的判断 解题贴士：判断集合间关系的常用方法 【例1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 【变式2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【变式3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得.故选D. 题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数 解题贴士：1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的真子集的个数为2n－1个； （3）A的非空真子集的个数为2n－2个. 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为集合，则， 所以集合的子集个数为.故选：B. 【变式1】（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 【变式2】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或，即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 【变式3】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即，故选B 题型三 空集的性质及其应用 【例3】设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，原不等式为，A为空集； 当时，因为A为空集所以无解， 只需满足，解得，综上实数的取值范围是，故选D 【变式1】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解析】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确.故选：A. 【变式2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得．故选：C． 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得.故选：D 题型四 韦恩图的应用 【例4】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B. 【变式】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．∵M＝{﹣1，0，1}，∴N⊊M， 题型五 由集合相等求参数 解题贴士：由集合相等求参数的方法 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性. 【例5】（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去）所以. 【变式1】（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以.故选：B 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为.故选：B. 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【解析】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）.由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 题型六 已知包含关系求参数 解题贴士：应用集合关系求参数的4个步骤 【例6】（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【变式2】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知集合，，， 则需要满足集合中元素都在中,可得，故C正确． 故选：C． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 【变式4】（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】， 因为， 当，即时，，满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 基础通关 一、单选题 1．新高一年级数学人教A版）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【解析】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，解得.故选：D. 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 6．（2026·陕西安康·三模）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以的真子集个数为． 二、多选题 7．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 8．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解， 故是空集，故D正确，故选BCD. 9．（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【解析】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则下列四个结论正确的是（   ） A． B． C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 【答案】ABD 【解析】， ∴，，∴ A正确，B正确； 集合有7个元素，C错误； 集合B的真子集的个数为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【解析】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则，则. 12．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【解析】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 13．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【解析】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 14．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【解析】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 素养提升 16．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， ，所以. 17．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 18．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是.故选：C. 19．（25-26高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【解析】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 20.设集合U＝{2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　{3，5，9}　. 【答案】{3，5，9} 【解析】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1＋5＋10＋10＝26＞23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为{3，5，9}. 迁移创新 21.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}. （1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由； （2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）. 【解】（1）对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1，2时成立. ∵A＝{a－4，a＋4}， ∴或 解方程组可知无解. ∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B. （2）由（1）易知，若A⊆B， 则或 或或 解得或或或 则所求实数对为（5，9）或（6，10）或（－3，－7）或（－2，－6）. 22.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设4∈{－a，，a2}，则满足条件的所有a组成的集合为A，集合B＝. （1）求集合A； （2）若A，B两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数b的值. 【解】（1）由题意可知，＝｜a｜≠－a，故a＞0， 所以＝4或a2＝4，解得a＝4或a＝2， 故A＝{4，2}. （2）当b＝0时，B＝∅，则满足B是A的真子集，此时A与B构成“全食”； 当b＞0时，B＝，此时A与B无法构成“全食”，可构成“偏食”， 则＝4或＝2，解得b＝1或b＝2. 故b的值为0或1或2. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $