江西南昌中学三经路校区2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

**基本信息** 南昌中学高一数学期末卷覆盖函数、几何、三角等模块，解答题以立体几何折叠（第19题）、解三角形（第16题）为载体，考查空间观念与推理能力，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆锥侧面积（2）、三角形形状判断（3）|基础概念辨析，注重几何直观| |多选题|3/18|复数性质（9）、向量运算（10）|多选项分层，考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数值域（12）、解三角形（13）|知识综合应用，强调数学语言表达| |解答题|5/77|立体几何证明与体积（18）、三角函数应用（16）|折叠问题（19）考查创新意识，体现数学应用|

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期末考试 高一数学 命题人：杨平涛 审题人：胡安居 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的最小值为1 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影为 C. D. 的最大值为2 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，，则此函数的值域是_______． 13. 在中，，，，且，则_______． 14. 在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则下列命题中，正确的命题共有_______个． (1)； (2)平面； (3)平面平面； (4)三棱锥的外接球表面积为． 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知复数. （1）实数m为何值时，复数z为纯虚数； （2）若，请计算. 16. 如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， 已知． （1）求角B的大小； （2）若D为BC边上一点，，求AB的长. 17. 已知，． （1）求； （2）若，求的值． 18.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点. （1）求证：； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 19. 如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置. （1）如图2，若M是BC中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM； （2）如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上. ①求证：平面PAD； ②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值. 2025—2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期末考试 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B A C C ABD CD 题号 11 答案 ACD 12. 13. 14. 4 15. 解：（1）欲使z为纯虚数， 则，解得； （2）当时，， 所以， 所以. 16.解：(1)由正弦定理，得， 即，即． ∵，则． ∴，即，又， ∴． (2)在中，，，， ∴，， ∴． 在中，，，， 由正弦定理，得，可得． 17. 解：(1)， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. (2)由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. 18. (1)取的中点为，连接，由分别是棱的中点， 可得：，， 由正方体的性质可得：平面，， 所以可得：平面，， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以. (2)在线段上取一点，使得，易证，所以为异面直线所成角，因为，， 所以. (3) 在上取点，使得，连接，易证． 则 ． 19. (1) 如图，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是的中位线， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形ENCM是平行四边形，所以， 又平面PAM，平面PAM， 所以平面PAM. (2) ①由平面AMCD，平面PFH，得， 又已知，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线， 所以平面PAD. ②，由①知平面PAD，又平面PAD， 所以，所以是， 由平面AMCD，平面AMCD， 所以，是. 如图，取PC的中点O，则点O到三棱锥各顶点的距离都相等， 所以O是三棱锥外接球的球心. 如图，过点P作于F，连HF和BF， 因为平面AMCD，平面AMCD， 所以，又PF，PH是平面PHF内两条相交直线， 所以平面PFH，又平面PFH，所以， 由和翻折关系知，所以B，F，H三点共线，且， 设，则，， 又，所以， ，， 由，得， 所以，， 所以， ， 因为在时单调递增， 所以时，有最大值， 此时，点M位于点的C位置， 所以，，. 所以点M位于点的C时，三棱锥外接球的体积的最大值为. 高一数学 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $