1.1.1 集合及其表示方法（讲义）高一数学人教B版必修第一册.zip

本讲义聚焦集合的核心知识点，从元素与集合的概念及特性（确定性、互异性等）切入，系统梳理元素与集合的关系、空集与常用数集，再到列举法、描述法、区间表示等集合表示方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，通过“随学随练”即时巩固知识，结合幼升小政策等实际问题情境培养数学抽象，题型分类及解题贴士强化逻辑推理。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 课标要点 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 学习重难点 重点： 掌握集合元素确定性、互异性、无序性； 分清“∈”“∉”；熟记常用数集； 会用列举法、描述法表示集合； 辨析0，∅，区分点集与数集。 难点： 运用元素互异性求参数需回代检验； 易混淆描述法的数集与点集； 易误用属于与包含符号， 含参数集合易漏讨论情况。 知识点一　元素与集合的概念 1.集合与元素 2.集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全　相同　，就称这两个集合相等，记作A＝B. 3.集合元素的特性 随学随练 1.下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 2.下列选项中能组成集合的是（　　） A.某电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.我市在2025年9月1日前注册的中学生 D.数学必修第一册课本中所有的难题 知识点二　元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a　∈　A a属于A 不属于 a不是集合 A的元素 a　∉　A a不属于A 随学随练 1.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 知识点三　空集、常用数集、集合的分类 1.空集 （1）定义：　不含任何元素　的集合； （2）符号：　∅　. 2.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3.集合的分类 （1）集合 （2）空集是　有限　集. 　　提醒：N与N*的区别：N中的元素是从0开始的非负整数，N*中的元素是从1开始的正整数. 随学随练 1.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点四　列举法 把集合中的元素　一一列举　出来（相邻元素之间用　逗号　分隔），并写在　大括号　内，以此来表示集合的方法称为列举法. 提醒：使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；②元素不重复，满足元素的互异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 随学随练 1.集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3.方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点五　描述法 这种表示集合的方法，称为　特征性质描述法　，简称为描述法. 随学随练 （25-26高一上·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·青海西宁·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 知识点六　区间的概念及表示 1.区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b） {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b） {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b] 2.无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤a} {x｜x＜a} 符号 （－∞，＋∞） [a，＋∞） （a，＋∞） （－∞，a] （－∞，a） 随学随练 1.（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·重庆·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 拓展 以实际问题为背景的集合问题 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策： （1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2019年8月31日以前出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人持有）的适龄儿童均须参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学. （2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学. 该市东城区2025年的入学顺位可以参考2024年公布的入学顺位说明： 第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”； 第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”. 【问题探究】 1.若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口（非本区），a是集合A的元素吗？ 2.某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？ 【迁移应用】 　给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合.判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x｜x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明. 题型一 集合的相关概念 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【变式2】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式3】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 题型二 元素与集合的关系 解题贴士：1.判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a∉A时，结论恰恰相反. 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 【例2】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【变式3】已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 集合中元素的特性及应用 解题贴士：根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤 【例3】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1】已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【变式2】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式3】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 题型四 用列举法表示集合 解题贴士：用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用大括号括起来. 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计顺序，且元素与元素间用“，”隔开. 【例4】集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 题型五 用描述法表示集合 解题贴士：选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 【例5】能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 题型六 区间及其表示 解题贴士：用区间表示数集的原则和方法 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错； （2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开. 【例6】集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】区间等于（    ） A． B． C． D． 题型七 集合与方程的综合问题 解题贴士：集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个实数根；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根. （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 【例7】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式1】如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【变式2】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【变式3】若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 2.设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 6．（16-17高一·全国·课后作业）由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 7．（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一·全国·课前预习）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 11．（25-26高一上·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 三、填空题 12.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 13．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则B集合中所有元素之和为______． 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 素养提升 16.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 19．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 20.（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 迁移创新 15．已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 16．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 课标要点 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 学习重难点 重点： 掌握集合元素确定性、互异性、无序性； 分清“∈”“∉”；熟记常用数集； 会用列举法、描述法表示集合； 辨析0，∅，区分点集与数集。 难点： 运用元素互异性求参数需回代检验； 易混淆描述法的数集与点集； 易误用属于与包含符号， 含参数集合易漏讨论情况。 知识点一　元素与集合的概念 1.集合与元素 2.集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全　相同　，就称这两个集合相等，记作A＝B. 3.集合元素的特性 随学随练 1.下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【解析】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 2.下列选项中能组成集合的是（　　） A.某电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.我市在2025年9月1日前注册的中学生 D.数学必修第一册课本中所有的难题 【答案】C　 【解析】∵组成集合的元素具有确定性，选项A、B、D中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选C. 知识点二　元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a　∈　A a属于A 不属于 a不是集合 A的元素 a　∉　A a不属于A 随学随练 1.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 2.（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【解析】，共5个元素． 知识点三　空集、常用数集、集合的分类 1.空集 （1）定义：　不含任何元素　的集合； （2）符号：　∅　. 2.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3.集合的分类 （1）集合 （2）空集是　有限　集. 　　提醒：N与N*的区别：N中的元素是从0开始的非负整数，N*中的元素是从1开始的正整数. 随学随练 1.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2.（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确；是有理数，故，故D错误.故选：C 知识点四　列举法 把集合中的元素　一一列举　出来（相邻元素之间用　逗号　分隔），并写在　大括号　内，以此来表示集合的方法称为列举法. 提醒：使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；②元素不重复，满足元素的互异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 随学随练 1.集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为，所以列举法表示为. 2．（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解方程，得或，所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为.故选：A． 方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，方程组解集为点集，即为. 知识点五　描述法 这种表示集合的方法，称为　特征性质描述法　，简称为描述法. 随学随练 （25-26高一上·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. （24-25高一上·青海西宁·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由，解得或，所以不等式的解集是或.故选：D. 知识点六　区间的概念及表示 1.区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b） {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b） {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b] 2.无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤a} {x｜x＜a} 符号 （－∞，＋∞） [a，＋∞） （a，＋∞） （－∞，a] （－∞，a） 随学随练 1.（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是，故选：A. 2.（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合用区间可表示为.故选：C 3.（23-24高一上·重庆·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，解得，所以不等式的解集为.故选D. 拓展 以实际问题为背景的集合问题 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策： （1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2019年8月31日以前出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人持有）的适龄儿童均须参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学. （2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学. 该市东城区2025年的入学顺位可以参考2024年公布的入学顺位说明： 第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”； 第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”. 【问题探究】 1.若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口（非本区），a是集合A的元素吗？ 提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母. 2.某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？ 提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口. 【迁移应用】 　给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合.判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x｜x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明. 解：因为4∈A，4＋4＝8∉A，所以A不是闭集合. 任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z， 则a＋b＝3m＋3n＝3（m＋n），且m＋n∈Z， 所以a＋b∈B，同理，a－b∈B，故B为闭集合. 题型一 集合的相关概念 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【解析】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 【变式2】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 【变式3】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【解析】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 题型二 元素与集合的关系 解题贴士：1.判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a∉A时，结论恰恰相反. 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 【例2】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【变式1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得，所以. 【变式2】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式3】已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 题型三 集合中元素的特性及应用 解题贴士：根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤 【例3】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式1】已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【解析】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1.故选：B. 【变式2】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解析】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意，则.故选：B. 【变式3】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去；当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，.故选：. 题型四 用列举法表示集合 解题贴士：用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用大括号括起来. 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计顺序，且元素与元素间用“，”隔开. 【例4】集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得或，又因为，所以该集合用列举法表示为.故选：B. 【变式1】用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合是大于且小于3的整数,故选：A. 【变式3】已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合；所以，故选：B. 题型五 用描述法表示集合 解题贴士：选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 【例5】能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确，故选：B. 【变式1】对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是.故选：D 【变式2】用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且. 故选：D. 【变式3】集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【答案】A 【解析】正偶数的全体为，故集合 “正偶数的全体”可描述为. 故选：A 题型六 区间及其表示 解题贴士：用区间表示数集的原则和方法 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错； （2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开. 【例6】集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的表示方法，集合用区间表示为.故选：D. 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故，故选：B. 【变式2】已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据区间的定义，可知，得.故选：A 【变式3】区间等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据区间的定义可知，而.故选：C 题型七 集合与方程的综合问题 解题贴士：集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个实数根；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根. （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 【例7】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【解析】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 【变式1】如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【解析】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或，故实数的所有可能值的和为4.故选：B． 【变式2】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【解析】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或，所以实数的所有可能值的乘积为3.故选：C 【变式3】若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得，所以或.故选：C 基础通关 1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【解析】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2.设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【解析】解方程，因式分解得，解得或故. 由得或. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，，所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】因为，则，且，，可得， 当时，；当时，；当时，； 即，所以中元素的个数为6. 5．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4.故选：B 6．（16-17高一·全国·课后作业）由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【解析】因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11． 即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．故选D． 7．（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 令，解得， 又，则，化简得.故选：B. 8．（21-22高一·全国·课前预习）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素. 故选:B. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 10．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【解析】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 11．（25-26高一上·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【解析】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 三、填空题 12.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 【答案】 【解析】由或，则区间为． 13．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【解析】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则B集合中所有元素之和为______． 【答案】13 【解析】当，当，故, 因此B集合中所有元素之和为. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 素养提升 16.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 17．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得，所以的取值范围为. 18．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】CD 【解析】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 19．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【解析】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 20.（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【解析】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 迁移创新 15．已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【解】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 16．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $