广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二期末考试 数学科答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A B C D 二、选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2 四、解答题 15．（1）证明：在四棱锥中， 因为底面，底面，所以， 2分 因为，，，，平面， 所以平面． 5分 又因为平面， 所以平面平面． 6分 （2）【法一】因为底面，，底面， 则，， 7分 又因为平面平面，平面，平面， 所以是平面与平面夹角的平面角． 9分 在四边形中，，，所以， 在中，，所以， 10分 所以， 12分 即平面与平面夹角的余弦值为． 13分 【法二】由（1）知，，，， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系 7分 因为， 所以，，，， 因为，，，，平面， 所以平面， 8分 所以是平面的一个法向量． 9分 设平面的法向量为， 因为，， 则， 则，令，则， 所以． 11分 设平面与平面夹角为， 则， 12分 所以平面与平面夹角的余弦值为． 13分 16．解：（1）设等差数列的公差为． 则有，解得， 2分 所以，即（）， 3分 在等比数列中， ① 当时， ② 由①-②得：， 所以，即等比数列的公比， 5分 在①中令得：，即， 所以， 6分 所以（）． 7分 （2）， 8分 则， 所以③ 9分 ④ 10分 ④-③得： 11分 13分 ， 14分 所以． 15分 17．解：（1）依题意：，则， 2分 又因为，所以， 3分 所以， 4分 所以双曲线的方程为． 5分 （2）设，， 6分 因为，为直线与双曲线的交点， 所以，由①-②得：， 7分 即， 因为点是弦的中点，所以，， 所以． 8分 此时直线的方程为，即， 9分 联立，消去得：， 则， 10分 所以存在直线：，使得点是弦的中点， 则由韦达定理：，， 11分 所以， 12分 点到直线的距离， 13分 所以． 15分 18．解：（1） 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 1分 零假设：球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关， 2分 则， 3分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球员射门方向偏好与球员的惯用脚有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． 4分 （2）（ⅰ）设“小明第次在点位进行射门练习”， “小明第次在点位进行射门练习”， 当时，， 5分 所以 6分 即， 7分 设，则， 即， 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 8分 所以． 9分 即． 10分 （ⅱ）的可能取值为2，3，4，5， 11分 “小明第一次在点位练习射门进球且第二次在点位练习射门进球或“小明第一次在点位练习射门进球且第二次在点位练习射门进球”， 则， 12分 “小明第一次在点位练习射门进球、第二次在点位练习射门不进球且第三次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门进球且第三次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门进球、第二次在点位练习射门不进球且第三次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门进球且第三次在点位练习射门进球”， 则 ， 13分 “小明第一次在点位练习射门进球、第二次在点位练习射门不进球、第三次在点位练习射门不进球、第四次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门进球、第三次在点位练习射门不进球、第四次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门不进球、第三次在点位练习射门进球、第四次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门进球、第二次在点位练习射门不进球、第三次在点位练习射门不进球、第四次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门进球、第三次在点位练习射门不进球、第四次在点位练习射门进球”或“小明第一次在点位练习射门不进球、第二次在点位练习射门不进球、第三次在点位练习射门进球、第四次在点位练习射门进球”， 则 ， 15分 所以， 16分 所以的分布列为 2 3 4 5 0.18 0.198 0.1674 0.4546 17分 19．解：（1）， 所以定义域为， 则． 1分 ①若，则恒成立， 此时在上单调递增． 2分 ②若，令，则， 当变化时，，变化如下 - 0 + 单调递减 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增． 3分 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增． 4分 （2）当时，，要证， 即证， 也即证明在上恒成立， 令，，， 5分 令，，则， 故在上单调递减， 所以，即， 6分 所以，故在上单调递减， 7分 ， 8分 故不等式在上恒成立． 9分 （3）若，则当时，， 且， 所以，此时没有零点．故只需考虑． 10分 设，则，，， 先讨论． 由，得， 11分 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，并且， 并且当从右侧趋近于0时，趋近于； 当时，． 12分 由此可得：当时，在上无解； 当时，在上只有一个解； 当时，在上有两个解； 当时，在上只有一个解，且该解在内． 下面同时检查的零点． 当时，由知在上单调递增，且， 所以，此时无零点，不符合题意． 13分 当时，，． 设，，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则， 则，当且仅当时取等号． 又，所以在上恒为正． 因此在上只有一个零点，符合题意． 14分 当时，在上已有两个解，所以至少有两个零点， 不符合题意． 15分 当时，在上有一个解． 另一方面，当从右侧趋近于0时，有， 而． 故由连续性可知，存在，使得．于是至少有两个零点，不符合题意． 16分 综上，的取值范围为．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二期末考试 数学科 试题 （满分150分．考试时间120分钟．） 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知一饭店近五年“十一”黄金周期间的利润如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 利润/万元 33 80 90 107 根据表中数据可知，具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A．2026年“十一”黄金周期间该饭店的利润一定为131万元 B． C．当时，残差为-6 D．点一定在经验回归直线上 4．若圆：与圆：交于，两点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 5．已知离散型随机变量的分布列如下表所示．则随机变量的数学期望是（ ） X 0 1 2 0.51 A．0.58 B．3.38 C．3.38或0.58 D．0.64 6．已知知识问答竞赛满分150分，甲乙两班各有50名学生参加考试，其中甲班成绩，乙班成绩，则下列说法正确的是（ ） A．甲班成绩在80分及以下的人数少于乙班 B．乙班成绩在110分及以上的人数少于甲班 C．甲、乙两班成绩在90~95分的人数占比相同 D．甲班成绩在80~100分与乙班成绩在85~105分的人数占比相同 7．已知函数，若对任意的（），都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（ ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．若，则（ ） A． B． C． D． 10．3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ） A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C．男生甲不站排头，女生乙不站排尾的站法有3720种 D．每名女生旁边都有男生的概率为 11．设函数，，则下列说法正确的是（ ） A．是偶函数 B．在处取得极小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，三点不共线，对空间任意一点，都满足．若，，，四点共面，则__________． 13．已知圆：，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点．则点的轨迹方程为__________． 14．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面，，． （1）证明：平面平面； （2）设，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且（）． （1）求数列，的通项公式． （2）若，求数列的前项和． 17．（15分） 已知双曲线：（，）的实轴长为4，离心率 （1）求双曲线的方程． （2）过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积．若不存在，请说明理由． 18．（17分） 2026年美加墨世界杯激战正酣，球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得到如下列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 右脚 70 合计 其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门左侧的有70人． （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联． （2）学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”，利用课余时间在，两个点位进行射门练习．第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复．已知小明在A位置练习进球的概率为0.6，在位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的． （ⅰ）求小明第次在点位进行射门练习的概率． （ⅱ）由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多进行5次射门练习．设表示小明结束训练时射门的次数．求的分布列． 参考公式与相关数据：． 临界值表 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19．（17分） 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性． （2）若，证明不等式在上恒成立； （3）若，且在上只有一个零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $