4.3　4.3.1　对数的概念-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦对数的概念、指数式与对数式互化、对数性质及恒等式，通过细胞分裂问题链导入，搭建从指数到对数的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于借助思维导图梳理知识框架，结合数学抽象与数学运算素养，通过典例解析与定向训练，引导学生从具体问题抽象对数概念，掌握互化及运算。助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 素养目标 思维导图 1.理解对数的概念(数学抽象). 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数(数学运算). 课前自主学习 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……以此类推.回答下列问题: 问题1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x次得到多少个细胞? 提示:分裂2次得到4个细胞,分裂x次得到2x个细胞. 问题2.分裂多少次可得到8个,16个呢?如何求解? 提示:设分裂x次可得到8个,即2x=8=23,故x=3,所以分裂3次可得到8个,同理由2x=16可得x=4…… 问题3.若ax=N,如何表示x呢? 提示:x=logaN. 【核心概念】 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做________________,记作________,其中a叫做 ____________,N叫做______. 2.常用对数 以10为底的对数叫做__________,log10N可简记为_____.  3.自然对数 以e为底的对数叫做自然对数,记为:_____.  以a为底N的对数 x=logaN 对数的底数 真数 常用对数 lg N ln N 4.对数的性质 (1)__________没有对数,即logaN中N必须大于零. (2)1的对数为0,即________. (3)底数的对数为1,即________. 5.对数恒等式是=N(a>0,a≠1). 负数和零 loga1=0 logaa=1 课堂合作探究 探究点一　对数的概念及指数、对数的互化 【典例1】(1)对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞) (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式: ①2-7=;②32=-5;③lg 1 000=3;④ln x=2. 【思维导引】(1)根据对数真数和底数的性质进行求解即可. (2)根据ax=N⇔x=logaN(a>0且a≠1)求解即可. 【解析】(1)选C.因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数,真数为正实数, 所以有⇒⇒a∈(-3,-2)∪(-2,5). (2)①由2-7=,可得log2=-7;②由32=-5,可得=32; ③由lg 1 000=3,可得103=1 000;④由ln x=2,可得e2=x. 【类题通法】指数式与对数式互化的方法技巧 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 指数式和对数式的关系如图所示:   提醒:互化时应注意的问题 (1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变. (2)对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下角,真数正常表示. 【定向训练】 将下列指数式与对数式互化: (1)log216=4;(2)27=-3;(3)ln 10=2.303;(4)43=64;(5)3-2=;(6)10-3=0.001. 【解析】(1)24=16.(2)()-3=27.(3)e2.303=10.(4)log464=3.(5)log3=-2.(6)lg 0.001=-3. 探究点二　对数的计算 【典例2】(1)设a=log 94,则3a的值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.9 (2)求下列各式中x的值: ①logx27=;②log2x=-;③x=log27. 【思维导引】利用指数式与对数式的互化求值. 【解析】(1)选B.由a=log 94,得9a=4,32a=4,所以3a=2. (2)①因为logx27=,所以=27,即x=2=32=9. ②因为log2x=-,所以=x,即x==. ③因为x=log27,所以27x=,即33x=3-2,所以x=-. 【类题通法】求对数值的一般步骤 (1)设:设出所求对数值. (2)化:把对数式转化为指数式. (3)解:解有关方程求得结果. 【定向训练】 求下列各式中x的值: (1)-lg x=2;(2)logx=-3;(3)log2x=-;(4)log3[log4(log5x)]=0. 【解析】(1)由题意得,lg x=-2,所以x=10-2=. (2)由logx=-3,得x-3=,所以x=4. (3)由log2x=-,得=x,所以x=. (4)易得log4(log5x)=1,所以log5x=4,所以x=54=625. 探究点三　对数恒等式与对数性质的应用 【典例3】已知log2[(log2x)]=log3[(log3y)]=log5[(log5z)]=0,试比较x,y,z的大小. 【思维导引】对于形如loga[logbf(x)]=0的方程,由外向内逐层求解,即逐步脱去对数符号, 从而建立关于x的方程,求出x的值,即可得到x=,y=,z=,再根据幂函数的性质判断可 得. 【解析】由log2[(log2x)]=0,得(log2x)=1,log2x=,即x=;同理y=,z=. 因为y===,x===,所以y>x.又x===,z===,所以x>z, 所以y>x>z. 【类题通法】 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式=N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可. (2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解. 【定向训练】 1.化简-log100.01+log223=(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 【解析】选B.由题意可得:-log100.01+log223 =-(33-log1010-2+log223=4-32-(-2)+3=0. 2.(多选题)下列命题正确的是 (　　) A.若x=3,则x=2 B.若logx=-,则x=64 C.若=,则x=4 D.若b2=1,则a=b 【解析】选AB.对于选项A:若x=3,则x=()3=2,故A正确; 对于选项B:若logx=-,则==2-4,所以x=(2-4=26=64,故B正确; 对于选项C:因为log3=-2,则=x-2==,可得x2=4,即x=±2,故C错误; 对于选项D:例如a=2,b=-2,则a2=b2=4,可得b2=1,符合题意,但a=-b,故D错误. 课堂练习 1.下列说法中错误的是 (　　) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式 C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数 【解析】选B.由对数的概念知,指数式ax中,只有a>0,且a≠1的指数式才可以化为对数式,因此零和负数没有对数,把以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数. √ 2.式子的值是(　　) A. B. C. D.3 【解析】选D.由对数恒等式知D正确. √ 3.对数式log(a-2)(5-a)=b中,实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 【解析】选C.由得2<a<5且a≠3. √ 4.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　　　.  【解析】原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 答案:0 5.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)()-2=16.(2)lo27=-3.(3)lo64=-6. 【解析】(1)因为()-2=16,所以lo16=-2. (2)因为lo27=-3,所以()-3=27. (3)因为lo64=-6,所以()-6=64. 谢 谢 $