湖南郴州市2025-2026学年下学期期末数学质量监测高二数学

2026年上学期期末教学质量监测 高二数学参考答案 一、单项选择题：1-4BDCB 5-8 DDCA 二、多项选择题：9.CD 10.AB 11.BCD 三、填空题：12.10 13. 14.2+V5 四、解答题 15.解：(1)当n=1时，有4=S=2-1=1 当n≥2时，有a,=S,-S1=2m2-n-[2n-2-m-1)]=4n-3 又因为4×1-3=1，所以n=1时0，=4n-3也成立， 因此数列的通项公式为0=4n-3 (5分) 因为01-4，=4(n+l)-3-(4n-3)=4,所以{a,}是等差数列. (6分) (2)由(1)知0，=4n-3.bn=2 由b,=am+3,得2-=4m (8分) 由题知1≤m≤500，所以4≤4m≤2000， 所以k=3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个数， 即集合k6.=a+3,1≤m≤50}=3,45,67,89,10,1中元素的个数为9. 所有元素的和为63. (13分) 16.(1)证明：取PD的中点E,连接AE :△PAD是正三角形，AE⊥PD 又：平面PAD⊥平面PCD,且平面PADA平面PCD=PD,AEC平面PAD, ∴AE⊥平面PCD」 CDC平面PCD,·AE⊥CD 又四边形ABCD是正方形，.CD⊥AD, :AD,AEC平面PAD,且AD∩AE=A, ·.CD⊥平面PAD.又CDC平面ABCD. ∴.平面PAD⊥平面ABCD (6分) (2)由(1)知平面PADL平面ABCD,可建立如图所示的空间直角坐标系， :AB=2,∴PA=AD=PD=2」 ·A(2,0,0),B(2,2,0).C(0,2,0).P1,05 则4B=(0,20）,4=(105).Bc=(-2,00).Bm-（←1-2,5) (8分) 设平面PAB的法向量为m=(:,片，名).平面PBC的法向量为”=(：，2,2)， m·AB=0 2y=0 则m=0,即-g+5=0,取=5，则=1，m=(5,0 (10分) n.BC=0 -2x2=0 又由n:BF=0,即-5-2y,+3a,=0, 取5=5，则3=2.n=(0,5,2 (12分) cos(m,n)= mn_万 7, (14分) V42 所以平面PAB与平面PBC所成角的正弦值为7· (15分) 17.解：(1)依题意，a=l时，函数f()=e-(c+1)lnx f()的定义域为(0，+∞) /(x)=e*-Inr-x+ ,f'(0)=e-2 所以切线方程为y-e=(e-2(x-l),即(e-2)x-y+2=0 (6分) af60.心-+jr≥0e e (x+1).Inx 「(x+)lnx a≥ a≥ 当x≥3时， e恒成立，则 (8分) s8)任+ar 1+1-x e* g'(x)=-x e 令)=1+x)=- X -lnx-1 3. 2-lnr-1< 恒成立，即(<0恒成立， 函数h(y)在B,+)上单调递减， )≤(3)=1+写3h3<0 ∴8()<0在3，+∞)上恒成立，函数8()在3，+o)上单调递减， 所以函数8(？)的最大值为 (3)=4n3 e3 4ln3 4ln3 ,∴.a2 e 即a的取值范围为e,+o (15分) 3 y= 18.解：设这组平行直线的方程为 2x+m 把2+m x2.y2 y= =1 代入椭圆方程49 得9x2+6mx+2m2-18=0. (3分) 这个方程的根的判别式△=36m-36(2m2-18)=36(-m2+18) (4分) 1)由△>0，得-3W5<m<32,所以m的取值范周为32,32) (5分) (2)设直线与椭圆的交点A(,片)，B(3,乃)，并设M(x,), +5s-2m x=龙+龙=-m 则 3 2 3 (6分) 3 因为点M在直线2x+m V= 上，所以2， (7分) xs、n 与3联立，消去m,得3x+2y=0, (8分) 又由1)可知-32<m<32,所以xe(2,N2) 所以M的轨迹方程 3x+2y=0(x∈(-2，V2)》 (10分) (3)由韦达定理， =2m-18 +5-2m 9 =+e+r---)-42,8 则 3 .18-m (12分) mm M 由(2)知， 3’2 m 2 2 x+ m 所以线段AB的垂直平分线的方程为 3 3 所以点P的坐标为12,0 (14分) (15分) 三角形PAB的面积 ae4Wr-2a08-m)m 39 可知当m2=9,即m=3时，三角形PAB的面积有最大值，最大值为8. (17分) 元=1+2+3+4+5=3 19.解：(1)由己知可得 万=142+186+229+275+313=229 5 又22(c-x)0y-)=(-2)(-87)+(-1)-(-43)+0+46+2-84=431 ∑1(x,-x)2=4+1+0+1+4=10 6-2(c-0y-_431-43.1 所以(-) 10 所以a=-b=229-43.1×3=99.7. 所以以=43.1x+99.7 (4分) 当x=6时，)=43.1x+99.7=358.3 所以预测第6季度该高精度零件一次性加工合格批次数大约为358批. (5分) (2)(i)由题知X的所有可能取值为0,1,2 =0-3-8 (6分) 0x=08 (7分) 1.21,1.1.12 P(X=2)=2x5x22*3*39, (8分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 11 2 6 18 E(X)=0×2+1xL+2x2=19 所 6 18 918 (10分) (i)记第”次挑战后桃战权在甲组的概率为P(”） 则第”-1次挑战后挑战权在甲组的概率为P(-), 开始时球在甲手中，则P()=0 若第n次挑战后挑战权在甲组，则第n-1次挑战后挑战权不在甲组， 即第n-1次挑战后挑战权在乙组或丙组， 所以第”-1次挑战后挑战权不在甲组的概率为-P(m-), 2 又乙组或丙组在第”次挑战甲组的概率为3， 于是有 --P-yPa)=Pe-小号. (13分) 所以 o引Pa-引 、2 2 所以 Pm首内5，花韧 所以 号 o号(eN) (17分) 2026年上学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．已知，且，则 A． B． C． D． 5．若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 6．已知直线与：交于，两点，当面积为时， A． B． C．或 D．或 7．“米斗”古时候常作为一种称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈，米行及地主家里必备的用具，有一种米斗，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为10，下底面边长为4，该米斗盛满米可盛一斗米，现往该米斗里加米，当米的高度是米斗高度的时，米的体积为 A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 8．已知及其导函数的定义域均为，为偶函数，的图象关于点对称，则 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知一组大小不全相等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是 A．标准差为 B．极差为 C．平均数为 D．方差为 10．在中，角，，所对的边长分别为，，且，，，则 A． B．的面积 C．的外接圆半径 D．是钝角三角形 11．在棱长为的正方体中，点是上靠近点的三等分点，点是的中点，是四边形内一点（不包括边界），且满足，则下列选项中正确的是 A．过点、、的平面截正方体的截面为四边形 B．平面与平面所成二面角的平面角的正切值为 C．点的轨迹长度为 D．的取值范围为 三、填空题（本题共小题，每小题分，共分．） 12．的展开式中的系数为________． 13．已知等差数列中，，公差为，若该数列的前项和仅在时取得最大值，则公差的取值范围是________． 14．已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； （2）求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形．是正三角形，且平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 17．（15分）已知函数，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）求直线在轴截距的取值范围； （2）求点的轨迹方程； （3）线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 19．（17分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等．通过改善生产工艺、加强过程质量检测、优化生产流程，可以有效提升一次性加工合格率，降低返工与报废风险，推动高质量发展． （1）某航空制造企业为鼓励生产车间积极优化生产流程，提升零件一次性加工合格率，开展“精益生产，质量为先”活动．下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计： 季度 1 2 3 4 5 一次性加工合格批次数 142 186 229 275 313 若该高精度零件一次性加工合格批次数与季度变量（季度变量依次为1，2，3，4，5，）具有较好的线性相关关系，请根据表中数据建立关于的线性回归方程，并预测第6季度该高精度零件一次性加工合格批次数？（保留整数） （2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，．假设挑战权在各组的转移只取决于当前拥有挑战权的组，与之前的挑战结果无关． （ⅰ）经过3次挑战后，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）经过次挑战后，求挑战权在甲组的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 学科网（北京）股份有限公司 $