2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件 第三章 章末总结

该高中数学课件聚焦圆锥曲线与直线和圆锥曲线的位置关系，系统梳理椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及应用，通过知识网络构建、真题体验与题型训练，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生建立完整知识脉络。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）为核心，通过典例解析（如用待定系数法求双曲线方程）、题组训练（结合高考真题）培养逻辑推理与模型构建能力，采用题型分类与方法总结（如定义法求离心率），助力学生提升解题能力与数学素养，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

章末总结 知识网络·构建概括 真题体验·素养升级 题型一　求圆锥曲线的方程 B (2)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　) B 题组训练 C B 在已知圆锥曲线的类型时,求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件,列出方程或者方程组,求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法).当动点随另一个在已知曲线上运动的点变化时,建立两个动点坐标之间的关系,代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法). 题型二　圆锥曲线的性质 A A 题组训练 A 2.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|等于(　 　) A.3 B.4 C.5 D.6 C D (1)圆锥曲线的主要性质有范围、对称性、焦点、顶点、离心率,另外椭圆还包括长短轴,双曲线还包括实虚轴、渐近线,抛物线还包括准线. (2)求离心率的主要方法. ②方程法:建立a与c的齐次关系式,求离心率e. ③几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系.通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观. 题型三　直线与圆锥曲线的综合应用 ABD 题组训练 A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) D (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 探究点三　函数零点个数问题 直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般采取“设而不求”的方法,即直线方程与圆锥曲线方程联立,利用根与系数的关系求解.注意判别式Δ、弦长公式、点差法等方法的应用. 题型四　圆锥曲线的综合问题 题组训练 (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.求证:点P在定直线上. 2.(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 探究点三　函数零点个数问题 与圆锥曲线有关的综合问题常用以下知识和方法 (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系. (2)不等式(组)求解法:根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围. (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. (4)利用基本不等式:基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思. (5)构造一个一元二次方程,利用判别式Δ来求解. 模拟演练 题型一　求圆锥曲线的标准方程 A 1.已知抛物线y2=24ax(a>0)上的点M(3,y0)到焦点的距离是5,则抛物线的方程为(　 　) A.y2=8x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=20x C B 题型二　圆锥曲线的性质 C 4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:(x+1)2+(y-2)2=9相切,则p等于(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 C D 题型三　直线与圆锥曲线的综合 B C B ±1 题型四　圆锥曲线的综合问题 (2)过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B,D两点,O为坐标原点.问椭圆C上是否存在点P,使线段BD和线段OP相互平分?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由. 感谢观看 [典例1] (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:(1)由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2, 椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3. 在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5. 故选B. A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:(2)不妨设|F2B|=m,故|F1B|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m. 由椭圆定义得|F1B|+|F2B|=2a=4m,故|F2B|=a,|BF1|=a, |AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a. 在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得 由二角互补可得=-,解得a2=3,故b2=2,方程为+=1. 故选B. 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　 　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:如图,不妨设A在B的上方,则A(c,),B(c,-). 其中的一条渐近线为bx-ay=0, 则d1+d2===2b=6,所以b=3. 又由e==2,知a2+b2=4a2,所以a=. 所以双曲线的方程为-=1.故选C. 2.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　 　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),· =-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2= a2-c2=8,即C的方程为+=1. [典例2] (1)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±x 解析:(1)由椭圆的离心率e==,可知==,所以=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A. (2)(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析: (2)法一　设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0), 所以kAP·kAQ=·==.(*) 因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=·(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==.故选A. 法二　设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以 e=.故选A. 1.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a等于(　 　) A. B. C. D. 解析:由e2=e1,得=3,因此=3×,而a>1,所以a=.故选A. 解析:对lBF:y=-2x+2,令y=0,则x=1, 所以F(1,0),p=2,即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x=-1, 故B(-1,4),则yA=4,代入抛物线C:y2=4x得xA=4. 所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5.故选C. 3.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|等于(　 　) A. B. C. D. 解析:由e=,得==1+=5,解得=2,所以双曲线的渐近线方程为y= ±2x,易知渐近线y=2x与圆相交,则圆心(2,3)到渐近线的距离为d==,所以弦长|AB|=2=2=.故选D. 4.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 　　　　.  解析:由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入-=1, 得y=±,即A(c,),B(c,-),故|AB|==10,|AF2|==5, 又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13, 解得a=4,代入=5得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===. ①定义法:利用平方关系以及e=,知道a,b,c中任意两个的值求e. [典例3] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 (　 　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 解析:(1)A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1, ☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于☉A的半径, 故准线l和☉A相切,A选项正确; B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4, 由=4xP,得xP=4,故P(4,4), 此时切线长|PQ|===,B选项正确; C选项,当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2), 当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2, 不满足kPAkAB=-1; 当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6, 不满足kPAkAB=-1; 于是PA⊥AB不成立,C选项错误; D选项, 法一(利用抛物线定义转化) 根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,于是|PA|=|PB|时点P的存在性问题转化成 |PA|=|PF|时点P的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF的中点坐标为(,2),AF中垂线的斜率为-=,于是AF的中垂线方程为y=,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0, Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点, 即存在两个P点,使得|PA|=|PF|,D选项正确. 法二(设点直接求解) 设P(,t),由PB⊥l可得B(-1,t), 又A(0,4),|PA|=|PB|, 根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2-16t+30=0, Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程t2-16t+30=0有两个解, 即存在两个点P,使得|PA|=|PB|,D选项正确.故选ABD. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为 　　　　　　　　　.  x+y-2=0 解析:(2)法一　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0), N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以即因为kAB=kMN,所以==-. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程, 得相减得+=0, 由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以·=-,即·(-)=-,整理得m2=2n2.① 又|MN|=2,所以由勾股定理,得m2+n2=12,② 由①②并结合m>0,n>0, 得所以直线l的方程为+=1,即x+y-2=0. 法二　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 设为Q,则Q(,), 则kAB==-,kOQ==. 由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即(-)·=-,以下同法一. 1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　 　) 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点 M(,), 可得kAB=,直线OM斜率k==, 因为A,B在双曲线上,则两式相减得(-)-=0,所以kAB·k==9. 由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x. 对于选项A,可得k=1,kAB=9,因为kAB=9>3, 所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误; 对于选项B,可得k=-2,kAB=-<-3, 所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误; 对于选项C,可得k=3,kAB=3,此时直线AB与渐近线y=3x平行, 所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误; 对于选项D,k=4,kAB=,则AB:y=x-, 联立方程消去y得63x2+126x-193=0, 此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确.故选D. 2.(2022·浙江卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若 |FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是　　　　.  解析:结合题意作出图象如图所示,由题意知,过左焦点F(-c,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+c),由解得所以B(,).因为|FB|= 3|FA|,所以=3,即(,)=3(x1+c,y1),得所以A(-,),将(-,)代入双曲线方程-=1,可得-=1,结合离心率e=得e2=,又e>1,所以双曲线的离心率为. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率; 解:(1)由题意得解得 所以e===. 解:(2)法一(利用点B到直线AP的距离)　由题意得,kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0,|AP|==, 由(1)知C:+=1,设点B到直线AP的距离为d,则d==, 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,该平行线的方程为x+2y+m=0,则=,解得m=6或m=-18. 当m=6时,联立解得或即B(0,-3)或(-3,-), 当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当B(-3,-)时,此时kl=,直线l的方程为 y=x,即x-2y=0, 当m=-18时,联立得2y2-27y+117=0, Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法二(直线与椭圆相交求交点)　当直线AB的斜率不存在时,此时B(0,-3), S△PAB=×6×3=9,符合题意,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3, 与椭圆方程联立得则(4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,即k≠-, 解得x=0或x=,k≠0,k≠-, 令x=,则y=,则B(,), 又直线AP的方程为x+2y-6=0,|AP|=且△ABP的面积为9,易得点B到直线AP的距离 d=,则=,解得k=, 此时B(-3,-),则得到此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0, 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法三(利用弦长公式)　当l的斜率不存在时,l:x=3,B(3,-),|PB|=3,A到直线PB的距离d=3,此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当l的斜率存在时,设直线PB:y-=k(x-3), 令P(x1,y1),B(x2,y2), 消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0, Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)=144(k2+3k+)>0,解得k≠-,且k≠kAP,即k≠-, |PB|==, A到直线PB的距离d=,S△PAB=··=9, 所以k=或,均满足题意,所以l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. [典例4] (2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; 解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB), 由得y2-4py+2p=0. 由Δ>0,得p>.所以yA+yB=4p,yAyB=2p, 所以|AB|=×=4,即2p2-p-6=0.因为p>,解得p=2. (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值. 解:(2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零, 设直线MN:x=my+n, M(x1,y1),N(x2,y2). 由得y2-4my-4n=0, y1+y2=4m,y1y2=-4n, Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0. 因为·=0, 所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0. 将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入上式,得 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1,且n2-6n+1≥0, 解得n≥3+2或n≤3-2. 设点F到直线MN的距离为d,所以d=, |MN|==|y1-y2|= ==2|n-1|, 所以△MFN的面积S=·|MN|·d=··2|n-1|=(n-1)2, 而n≥3+2或n≤3-2, 所以当n=3-2时,△MFN面积的最小值 Smin==12-8. 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (1)解:设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=2, 则由e==可得a=2,b==4, 所以双曲线方程为-=1. (2)证明:由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0), 设M(x1,y1),N(x2,y2), 直线MN的方程为x=my-4,且-<m<, 与-=1联立消去x可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)>0, 则y1+y2=,y1y2=, 直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2), 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 ======-, 由=-可得x=-1,即xP=-1, 据此可得点P在定直线x=-1上运动. 解:(1)当MD⊥x轴时,有|MF|=+p=3, 得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. 解:(2)如图,根据(1)知F(1,0),D(2,0). 当MN⊥x轴时,易得α=β=,此时α-β=0. 当MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 则直线MN的方程为y-y1=(x-x1),即y-y1=(x-x1)=(x-x1), 即y(y1+y2)-y1(y1+y2)=4(x-x1), 所以直线MN的方程为y(y1+y2)-y1y2=4x. 同理可得,直线AM的方程为y(y3+y1)-y3y1=4x,直线BN的方程为y(y4+y2)- y4y2=4x,直线AB的方程为y(y4+y3)-y4y3=4x. 因为F(1,0)在MN上,所以y1y2=-4. 因为D(2,0)在AM,BN上,所以y3y1=-8,y4y2=-8,所以y3=-,y4=-. 所以y3+y4=--=-=-=2(y1+y2),y3y4===-16, 所以直线AB的方程y(y4+y3)-y4y3=4x可化为(y1+y2)y+8=2x, 所以tan α=,tan β=,所以tan(α-β)===2×. 当y2+y1<0时,tan(α-β)<0,所以不符合题意. 当y2+y1>0时,(y2+y1)+≥4,tan(α-β)≤2×=, 当且仅当y2+y1=,即y2+y1=2时,取等号, 此时α-β取得最大值,直线AB的方程为x-y-4=0. 解析:由题意知3+6a=5,所以a=, 所以抛物线的方程为y2=8x. 故选A. 2.已知双曲线中心为原点,焦点在x轴上,过点(,2),且渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的方程为(　 　) A.x2-=1 B.x2-4y2=2 C.x2-=1 D.x2-2y2=1 解析:因为渐近线方程为2x±y=0,设双曲线方程为4x2-y2=λ,λ≠0, 将P(,2)的坐标代入方程得4()2-22=λ,求得λ=4, 则该双曲线的方程为x2-=1,故选C. 3.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式,设椭圆的长半轴长,短半轴长分别为a,b,则椭圆的面积公式为S=πab,若椭圆的离心率为,面积为2π,则椭圆的标准方程为(　 　) A.+y2=1或+x2=1 B.+=1或+=1 C.+=1或+=1 D.+=1或+=1 解析:根据题意=,S=πab=2π,a2=b2+c2,可得a2=4,b2=3,c2=1, 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.故选B. 解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-. 由题意x=-与圆C:(x+1)2+(y-2)2=9相切. 所以-=-1-3,解得p=8.故选C. 5.已知抛物线x2=-4y的焦点与双曲线+=1(a∈R)的一个焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为(　 　) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 解析:抛物线x2=-4y的焦点为(0,-), 则双曲线+=1(a∈R)的一个焦点为 (0,-), 则a<0,且该双曲线的焦点在y轴上, 所以4-a=5,解得a=-1, 所以,双曲线的标准方程为-x2=1, 该双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选C. 6.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形,则双曲线的离心率为(　 　) A. B.2+ C.2 D. 解析:以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 联立双曲线的方程b2x2-a2y2=a2b2,可得x2=, 以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形,可得x2=y2=c2,即有c4-4a2c2+2a4=0, 由e=,可得e4-4e2+2=0,解得e2=2+(2-舍去), 则e=.故选D. 7.斜率为k的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A,B两点,点P(x0,y0)为AB中点,则ky0为(　 　) A.定值 B.定值p C.定值2p D.与k有关的值 解析:显然直线的斜率不为零,抛物线的焦点(,0), 设直线l为x=my+,且k=, A(x,y),B(x′,y′), 直线与抛物线联立得y2-2pmy-p2=0,y+y′=2pm, 所以由题意得y0==pm, 所以ky0=·pm=p.故选B. 8.已知椭圆+=1,则以点A(2,)为中点的弦所在直线的方程为(　 　) A.8x-6y-7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y-12=0 D.4x-3y=0 解析:设以点A(2,)为中点的弦与椭圆交于M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=3, 分别把M(x1,y1),N(x2,y2)代入椭圆方程+=1,可得+=1,+=1, 再相减可得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0, 所以4(x1-x2)+(y1-y2)=0,所以k==-, 所以点A(2,)为中点的弦所在直线方程为 y-=-(x-2),整理,得3x+4y-12=0.故选C. 9.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是(　 　) A. B. C. D. 解析:由题意可知,抛物线的准线方程为 x=-1,A(-1,0), 过P作PN垂直直线x=-1于N, 由抛物线的定义可知PF=PN,连接PA,当PA是抛物线的切线时,有最小值,则∠APN最大,即∠PAF最大,就是直线PA的斜率最大, 设直线PA的方程为y=k(x+1),所以 解得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1, 所以∠NPA=45°,=cos∠NPA=.故选B. 10.已知直线x=my+2(m∈R)与椭圆+=1相交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　,若|AB|=,则实数m的值是　　　　.  解析:易知直线x=my+2恒过点(2,0),而点(2,0)恰为椭圆+=1的右焦点, 则|AB|的最小值即为通径长=,联立 消去x得(5m2+9)y2+20my-25=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-, 则|AB|===· =·=,解得m=±1. 11.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C. (1)求C的方程; 解:(1)因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2, 所以点M的轨迹C是以F1,F2分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则2a=2,c=, 得a=1,b2=c2-a2=16,所以点M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1). (2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 解:(2)设T(,t),由题意可知直线AB,PQ的斜率均存在,且不为0, 设直线AB的方程为y-t=k1(x-)(k1≠0),直线PQ的方程为y-t=k2(x-)(k2≠0), 由得(16-)x2-2k1(t-)x-(t-)2-16=0. 设A(xA,yA),B(xB,yB), 易知16-≠0,则xAxB=,xA+xB=, 所以|TA|=|xA-|=(xA-), |TB|=|xB-|=(xB-), 则|TA|·|TB|=(1+)(xA-)(xB-)=(1+)[xAxB-(xA+xB)+] =(1+)[-·+]=. 同理得|TP|·|TQ|=. 因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|, 所以=, 所以-16+-16=-16+-16,即=, 又k1≠k2,所以k1=-k2,即k1+k2=0. 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 12.椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),且过点A(1,). (1)求椭圆C的标准方程. 解:(1)由题意知c=1,+=1, a2=b2+c2, 解得a2=2,b2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. 解: (2)由(1)知F1(-1,0),假设存在点P(x0,y0),使线段BD和线段OP相互平分,由题意知直线l的斜率不为零时直线l的方程为x=my-1, 设D(x,y),B(x′,y′), 与椭圆的方程联立整理得(2+m2)y2-2my-1=0, y+y′=,x+x′=m(y+y′)-2=, 所以BD的中点坐标为(,). 由题意知P(,), 而P在椭圆上,所以+=1, 解得m2=2, 所以P(-1,±), 所以存在点P使线段BD和线段OP相互平分,且P的坐标是(-1,±). $