2.2.2　直线的两点式方程 2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过斜拉桥情境导入，以桥面和桥塔建立坐标系提出问题，衔接确定直线的几何要素，从点斜式自然过渡到两点式，构建知识学习支架。 其亮点在于情境化设计培养直观想象，对比辨析两点式与截距式适用范围发展逻辑推理，典型例题结合三角形面积等问题强化数学运算。分层训练助力学生提升解题能力，教师可高效落实课标核心素养要求。

2.2.2　 直线的两点式方程 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线的两点式方程 逻辑推理、数学 运算 2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式 方程 直观想象、数学 运算 目录 数学·选择性必修第一册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　 　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线 为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看 成过桥塔上一点与桥面上一点的直线. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　（1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？ （2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 经过两点 P1（ x1， y1） 和 P2（ x2， y2），其中 x1≠ x2， y1≠ y2 在 x 轴上截距为 a ， 在 y 轴上截距为 b 图形 目录 数学·选择性必修第一册 两点式 截距式 方程 适用 范围 不能表示 ⁠坐 标轴的直线 不能表示 ⁠坐标轴的 直线及过 ⁠的直线 　 垂直于　 垂直于　 原点　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 　方程 ＝ 和方程（ y － y1）（ x2－ x1）＝（ x － x1）（ y2－ y1）的适用范围相同吗？ 提示：不同.前者为分式形式，要求 x1≠ x2， y1≠ y2，后者为整式形 式，适用于过任何两点的直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. （　√　） （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示. （　√　） （3）直线 y ＝ x 在 x 轴和 y 轴上的截距均为0. （　√　） √ √ √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为－4和5的直线的方程是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025秋·淮北月考) 经过点，的直线的两点式方程为（ ） A. B.  C. D.  解析：因为直线经过点-3, 2)，，所以由方程的两点式可得直线方程为，即. 目录 数学·选择性必修第一册   解析：直线方程为 ＝ ＋ ＝1，则在 x 轴 上的截距为－ . － 　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的两点式方程 【例1】　（2024·泉州质检）已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （0， 4）， B （－2，6）， C （－8，0）. （1）求边 AC 和 AB 所在直线的方程； 解： 由已知得直线 AC 的方程为 ＋ ＝1，整理得 x －2 y ＋8＝0.直线 AB 的方程为 ＝ ，整理得 x ＋ y －4＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程. 解： 由已知得 xD ＝ ＝－4， yD ＝ ＝2，即 D （－ 4，2），所以直线 BD 的方程为 ＝ ，整理得2 x － y ＋10 ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 已知两点求直线方程的方法（思路） （1）已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的 适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化 简即得； （2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点 斜式求方程. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·镇江月考）经过 M （3，2）与 N （6，2）两点的直线的方 程为（　　） A. x ＝2 B. y ＝2 C. x ＝3 D. x ＝6 解析： 　由 M ， N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直 线 MN 的方程为 y ＝2，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若点 P （3， m ）在过点 A （2，－1）， B （－3，4）的直线上，则 m ＝ ⁠. 解析：由直线方程的两点式得 ＝ ＝ .∴直 线 AB 的方程为 y ＋1＝－ x ＋2，∵点 P （3， m ）在直线 AB 上，则 m ＋1＝－3＋2，得 m ＝－2. －2　 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 直线的截距式方程 【例2】　求过点 A （3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的 直线 l 的方程. 解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线 l 的方程为 ＋ ＝1. 又 l 过点 A （3，4），所以 ＋ ＝1，解得 a ＝－1. 所以直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x － y ＋1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 ②当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线 l 过原点 时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，因为 l 过点（3，4），所以4＝ k ·3，解 得 k ＝ ，直线 l 的方程为 y ＝ x ，即4 x －3 y ＝0. 综上，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0或4 x －3 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：（1）当截距不为0时，设直线 l 的方程为 ＋ ＝1， 又 l 过点（3，4），所以 ＋ ＝1，解得 a ＝7， 所以直线 l 的方程为 x ＋ y －7＝0. （2）当截距为0时，由例可得直线 l 的方程为4 x －3 y ＝0. 综上，直线 l 的方程为 x ＋ y －7＝0或4 x －3 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求直线的截距式方程的方法（思路） （1）由已知条件确定横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距 不为零，则代入公式 ＋ ＝1，可得所求的直线方程. 提醒　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互 为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少 倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截 距”的情况. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （2024·潮州月考）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之和等于5的 直线方程是 ⁠. 解析：设直线方程为 ＋ ＝1，则解得 a ＝2， b ＝3，则 直线方程为 ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0. 3 x ＋2 y －6＝0　 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 直线方程的综合应用 【例3】　（2024·新乡月考）求过点（1，2）且与两坐标轴正半轴围 成的三角形面积为 的直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：∵直线与坐标轴可以围成三角形，故其在 x 轴和 y 轴上的截距均 存在，∴设直线方程为 ＋ ＝1.∵其过点（1，2），故 ＋ ＝1.又 ∵其面积为 ，故｜ a ｜｜ b ｜＝9.由以上两式可得 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，即 x ＋ y －3＝0或4 x ＋ y －6＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 　　解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直 线方程的截距式，若设直线在 x 轴， y 轴上的截距分别为 a ， b ，则直 线与坐标轴所围成的三角形的面积为 S ＝ ｜ a ｜｜ b ｜，周长 C ＝｜ a ｜＋｜ b ｜＋ . 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·湛江月考）已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （2，8）， B （－4，0）， C （6，0），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线方 程为（　　） A. 2 x － y ＋4＝0 B. x ＋2 y ＋4＝0 C. 2 x ＋ y －4＝0 D. x －2 y ＋4＝0 解析： 　由 A （2，8）， C （6，0），得 AC 的中点坐标为 D （4，4），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线过点 D （4，4）， 则所求直线方程为 ＝ ，即 x －2 y ＋4＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直 线方程可以是（　　） A. x ＋ y －3＝0 B. x ＋ y ＋3＝0 C. x － y －1＝0 D. x － y ＋1＝0 解析： 　由题意设直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，把点 （2，1）代入直线方程得 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，解得 a ＝3或 a ＝ 1，所以所求直线的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，即 x ＋ y －3＝0或 x － y －1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 过 P1（2，0）， P2（0，3）两点的直线方程是（　　） 解析： 　由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 过点（1，2），（5，3）的直线方程是（　　） 解析： 　∵所求直线过点（1，2），（5，3），∴所求直线方程 是 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. 如图，直线 l 的截距式方程是 ＋ ＝1，则（　　） A. a ＞0， b ＞0 B. a ＞0， b ＜0 C. a ＜0， b ＞0 D. a ＜0， b ＜0 解析： 　 M （ a ，0）， N （0， b ），由题图知 M 在 x 轴正半轴 上， N 在 y 轴负半轴上，所以 a ＞0， b ＜0.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知直线 l 经过点 P （2，3）. （1）若 A （1，1）在直线 l 上，求 l 的方程； 解： ∵直线 l 经过点 P （2，3），且 A （1，1）在直 线 l 上，则由两点式求得直线的方程为 ＝ ，即2 x － y －1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若直线 l 与直线2 x －3 y ＋1＝0垂直，求直线 l 的方程. 解： ∵直线 l 与直线2 x －3 y ＋1＝0垂直，则直线 l 的斜 率为－ .又直线 l 经过点 P （2，3），故直线 l 的方程为 y －3 ＝－ （ x －2），即3 x ＋2 y －12＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 直线 － ＝1在 y 轴上的截距为（　　） A. ｜ b ｜ B. － b C. b D. ± b 解析： 　直线 － ＝1，令 x ＝0，解得 y ＝－ b ，∴直线 － ＝1 在 y 轴上的截距为－ b .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l 的两点式方程为 ＝ ，则 l 的斜率为（　　） 解析： 　由两点式方程 ＝ ，知直线 l 过点（－5， 0），（3，－3），所以 l 的斜率为 ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·宁波月考）过点（－2，0）且在两坐标轴上的截距之差为3 的直线的方程是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意得，直线在 x 轴上的截距为－2.因为直线在两坐标 轴上的截距之差为3，所以直线在 y 轴上的截距为1或－5，所以所求 的直线的方程为 ＋ y ＝1或 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·滨州月考）两条直线 l1： － ＝1和 l2： － ＝1在同一直 角坐标系中的图象可以是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　将两方程化为截距式 l1： ＋ ＝1， l2： ＋ ＝1.假 定 l1的位置，判断 a ， b 的正负，从而确定 l2的位置，知A项符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）下列说法正确的是（　　） C. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 x ＋ y ＝ a （ a ∈R）表 示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误； 因为线段 AB 的中点为（4，1），所以直线 l 过点（8，0），（0， 2），所以直线 l 的方程为 ＋ ＝1，故B正确；直线 x － y ＝0在两 坐标轴上的截距相等，但不能用 x ＋ y ＝ a （ a ∈R）表示，故C错 误；方程3 x －2 y ＝4可化为 ＋ ＝1，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）光线自点（2，4）射入，经 y 轴反射后经过点（5，0）， 则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　） A. （－9，8） B. （3，1） C. （7，－1） D. （12，－4） 解析： 　点（2，4）关于 y 轴的对称点为（－2，4），则反射光 线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直 线的方程为 ＝ ，即4 x ＋7 y －20＝0.将四个选项中的点的坐 标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 过点（1，3）且在 x 轴上的截距为2的直线方程是 ⁠ ⁠. 解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点 式可得， ＝ ，整理得3 x ＋ y －6＝0. 3 x ＋ y －6＝ 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·淮安月考）已知 A （2，－1）， B （6，1），则在 y 轴上的 截距是－3，且经过线段 AB 中点的直线方程为 ⁠. 解析：由于 A （2，－1）， B （6，1），故线段 AB 中点的坐标为 （4，0），又直线在 y 轴上的截距是－3，∴直线方程为 － ＝1， 即3 x －4 y －12＝0. 3 x －4 y －12＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 已知直线 l 过点 P （2，3），且与 x ， y 轴的正半轴分别交于 A ， B 两点.若△ AOB 的面积为12（ O 为坐标原点），则直线 l 的方程为 ⁠ ⁠. 解析：设直线 l 的方程为 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0），则△ AOB 的面 积为 ab ＝12　①.因为直线 l 过点 P （2，3），所以 ＋ ＝1　②. 联立①②，解得 a ＝4， b ＝6，故直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即3 x ＋ 2 y －12＝0. 3 x ＋2 y －12＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·日照月考）已知△ ABC 中， A （1，－4）， B （6，6）， C （－2，0）.求： （1）△ ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距 式方程； 解： 平行于 BC 边的中位线就是 AB ， AC 中点的连线. 因为线段 AB ， AC 的中点坐标分别为（ ，1），（－ ，－2），所以平行于 BC 边的中位线所在直线的方程为 ＝ ，整理得，6 x －8 y －13＝0，化为截距式方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2） BC 边的中线所在直线的方程并化为斜截式方程. 解： 因为 BC 边的中点为（2，3），所以 BC 边上的中 线所在直线的方程为 ＝ ，即7 x － y －11＝0，化为斜 截式方程为 y ＝7 x －11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超 过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y （元）与行李重量 x （kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为 （　　） A. 20 kg B. 25 kg C. 30 kg D. 80 kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由图知点 A （60，6）， B （80，10），由直线方程的 两点式，得直线 AB 的方程是 ＝ ，即 y ＝ x －6.依题意， 令 y ＝0，得 x ＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）直线 l 经过点 A （1，2），在 x 轴上的截距的取值范围是 （－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　） B. （－∞，－1） 解析：BD　设直线的斜率为 k ，如图，过定点 A 的直线经过点 B （3，0）时，直线 l 在 x 轴上 的截距为3，此时 k ＝－1；过定点 A 的直线经 过点 C （－3，0）时，直线 l 在 x 轴的截距为－3，此时 k ＝ ，满足条件的直线 l 的斜率范围是（－∞，－1）∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 已知 A （3，0）， B （0，4），直线 AB 上一动点 P （ x ， y ），则 xy 的最大值是 ⁠. 解析：直线 AB 的方程为 ＋ ＝1， P （ x ， y ）在直线 AB 上，则 x ＝3－ y ，∴ xy ＝3 y － y2＝ （－ y2＋4 y ）＝ [－（ y －2）2＋ 4]≤3.即当 P 点坐标为 时， xy 取得最大值3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知直线 l 过点 P （4，1）. （1）若直线 l 过点 Q （－1，6），求直线 l 的方程； 解： 因为直线 l 过点 P （4，1）， Q （－1，6），所以 直线 l 的方程为 ＝ ，即 x ＋ y －5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的2倍，求直线 l 的 方程. 解： 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为0，所以设直 线 l 的斜率为 k ，则其方程为 y －1＝ k （ x －4）. 令 x ＝0，得 y ＝1－4 k ；令 y ＝0，得 x ＝4－ . 所以1－4 k ＝2（4－ ），解得 k ＝ 或 k ＝－2. 所以直线 l 的方程为 y －1＝ （ x －4）或 y －1＝－2（ x － 4），即 x －4 y ＝0或2 x ＋ y －9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·珠海质检）过点（1，3）作直线 l ，若 l 经过点（ a ，0）和 （0， b ），且 a ， b ∈N*，则可作出的直线 l 的条数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： ∵ l 过点（ a ，0）和（0， b ），且 a ， b ∈N*，∴可设 l ： ＋ ＝1.又 l 过点（1，3），∴ ＋ ＝1，整理得 ＝ .当 a ＝1， b ∈N*时，等式显然不成立；当 a ≥2且 a ∈N*时， b ＝ ＝ ＝3＋ .∵ b ∈N*，∴ a －1＝1或 a －1＝3，解得 a ＝ 2或 a ＝4.当 a ＝2时， b ＝6；当 a ＝4时， b ＝4.∴满足题意的直线 l 的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，∴满足题意的直线 l 有2条.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·青岛月考）已知直线 l 经过点 P （－1，2）. （1）若 l 在两坐标轴上截距之和为零，求 l 的点斜式方程； 解： 由题意知， l 的斜率存在且不为0，设斜率为 k ， 则 l 的点斜式方程为 y －2＝ k （ x ＋1）， 所以它在两坐标轴上的截距分别为－1－ 和 k ＋2， 所以－1－ ＋ k ＋2＝0，解得 k ＝－2或 k ＝1， 所以 l 的点斜式方程为 y －2＝－2（ x ＋1）或 y －2＝ x ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）设 l 的斜率 k ＞0， l 与两坐标轴的交点分别为 A ， B ，当△ AOB 的面积最小时，求 l 的斜截式方程. 解： 由（1）知， A （－ －1，0）， B （0， k ＋2）， 所以△ AOB 的面积 S ＝ ｜－ －1｜·｜ k ＋2｜＝ ＝ ＋2＋ ≥2 ＋2＝4，当且仅当 k ＝2时，等号成立， 所以当△ AOB 的面积最小时， l 的斜截式方程为 y ＝2 x ＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $