5.1.2等式的性质 课件+2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“等式的性质”核心知识点，通过对比可直接看出解的简单方程与难以直接求解的复杂方程，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解学习等式性质的必要性。 其亮点在于以天平实验为直观模型，结合分组操作与合作交流，培养学生几何直观和推理意识。通过“化归”思想将方程转化为“x=a”形式，强化模型意识，帮助学生理解性质本质，教师教学更具操作性，提升课堂效率。

5.1.2 等式的性质 第五章 一元一次方程 1. 了解等式的两条性质. 2.会用等式的性质解简单的一元一次方程. 3.培养学生的观察、分析、概括及逻辑思维能力. 4.渗透“化归”的思想.让学生体会数学的美. 三维 教学目标 课堂导入 （1）3x－5＝298； （2）0.28－0.13y＝0.27y＋1． 你能看出下列方程的解吗？ 发现是比较困难的. 因此，本节课我们还要讨论怎样解方程. 像2x=3，x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解. 问题1：仔细观察实验的演示过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律。 探究1 等式的性质1 天平与等式： 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等式成立就可看作是天平保持两边平衡. 等式的左边 等式的右边 a b 等 号 小组合作 1.独立思考，进行解释； 2.两人一组，交流思路. +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 合作交流 探索新知 等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式． 等式的性质1 用式子的形式怎样表示？ 归纳 如果a=b，那么a±c=b±c. +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 合作交流 探索新知 关于等式的两个基本事实： 1. 等式两边可以交换. 如果 a = b，那么 . 2. 相等关系可以传递. 如果 a = b，b = c，那么 . a = c b = a 你还记得哪些与等式相关的知识？ a b c 探究点1: 等式的基本性质 1. 在平衡的天平上同加或同减相同质量的砝码，观察天平是否仍然平衡. a b ＋ c － c a b c c 引入负数后结论还成立吗？ (-1)×2 = -2 (-1)×2 + 1 -2 + 1 (-1)×2 - 3 -2 - 3 = = 探究点1: 等式的基本性质 分组操作实验： 思考：观察如图所示的天平，你能发现什么规律？ 新知探究 实验一：天平两边同时增加砝码，等式会发生什么变化？ 结论：等式两边同时加上同一个数，左右两边仍然相等。这就如同天平两边同时增加相同质量的砝码，天平始终保持平衡的道理一样。 + 2 初始：5 = 5 天平左右两边重量相等，保持平衡 结果：5 + 2 = 5 + 2 两边同时加2g砝码，天平依旧平衡 1.7.2013 我们来做第一个想象实验。这里有一个平衡的天平，左边是一个5g的砝码，右边也是一个5g的砝码，我们可以写成等式：5 = 5。现在，如果我在天平的左边和右边，同时各放上一个2g的砝码，天平会怎么样？大家一起说！对，仍然平衡！这时，左边是5+2，右边也是5+2，所以等式变成了5+2 = 5+2。 ‹#› 新知探究 实验二：天平两边同时减少相同质量 初始状态天平平衡：左边 + 2 = 右边 + 2（即 5 + 2 = 5 + 2）。 操作过程：从天平的两边同时各拿走一个2g的砝码。此时天平依然保持平衡，等式回归为：左边 = 右边（即 5 = 5）。 天平两边同时减去相同质量的砝码 天平依然平衡 等式两边同时减去同一个数 等式依然成立 1.7.2013 好，我们继续第二个实验。如果我从刚才那个平衡的天平两边，同时各拿走一个2g的砝码，天平又会怎么样？没错！还是平衡。这时，左边是(5+2)-2，右边也是(5+2)-2，等式又变回了5 = 5。从这两个简单的实验中，大家发现了什么规律吗？是不是只要我们对天平两边‘公平’地进行操作，它就能一直保持平衡？ ‹#› +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 合作交流 探索新知 等式的性质2 用式子的形式怎样表示？ 归纳 等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac =bc； 如果a=b（c≠0）那么 . +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 应用新知 深化提高 依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 . (1) 怎样从等式 x－6= y－6 得到等式 x = y ? 依据等式的性质1两边同时加6. 依据等式的性质1两边同时减7. (2) 怎样从等式 7+x=3 得到等式 x =－4? (3) 怎样从等式 4x=32 得到等式 x =8? 依据等式的性质2两边同时除以 或同乘100. (4)怎样从等式 得到等式 a = b? 典型例题1 等式的性质1： 等式两边加(或减)同一个_____(或____)，结果仍相等. 请用自己的语言精炼归纳出等式的性质： 如果 a＝b，那么_________________. a ± c ＝ b ± c 数 式子 探究点1: 等式的基本性质 2. 如果将天平左右两边的物品同时三等分，天平仍然平衡吗？如果是同时扩大三倍呢，请动手操作. a b a a a b b b ×3 ÷3 引入负数后结论还成立吗？ (-1)×2×(-3) (-2)×(-3) (-1)×2 = -2 (-1)×2÷(-3) (-2)÷(-3) = = 探究点1: 等式的基本性质 天平实验观察 天平始终平衡 加入 拿去 相同质量的砝码 同一个数(或式子) 等式两边同时 加上 减去 等式仍然成立 通俗理解： 等式的性质1： 两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 数学语言：若a＝b，则a±c＝b±c；生活理解：如同分糖果，增减相同数量，差距永远不变，这就是数学的公平！ 等式性质探究 1.7.2013 刚刚我们通过天平发现的规律，就是等式的第一个性质。它的官方说法有点绕口，我们把它翻译一下：等式两边同时加，或者同时减，加上或减去的东西还得一模一样，那这个等式就永远成立。就像你和同桌分糖果，老师给你俩每人再发一颗，你俩的糖果差不变；老师从你俩手里各拿走一颗，你俩的糖果差也不变。这就是‘公平’！ ‹#› 新知探究 √ 核心数学表达 若 a = b，则 a ± c = b ± c。即等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 √ 实例验证：加减运算 例1：10=10，两边加3 → 10+3=10+3 (13=13)；例2：7=7，两边减5 →7-5=7-5 (2=2)。直观验证了等式性质的普适性。 归纳总结：等式性质1揭示了等式变形的基本规律——“同加同减，等式不变”。字母 a、b 代表等式两边的量，c 代表共同变化的量，这种代数表达让规律更简洁、更具一般性，是解方程的重要理论依据。 1.7.2013 我们用数学语言来表示这个性质就更简洁了。这里的字母a和b就代表天平两边的重量，c代表我们同时加上或减去的那个东西。只要a和b一开始是相等的，那么它们同时加上或减去c之后，依然相等。比如，10等于10，两边同时加3，得到13等于13，等式依然成立。 ‹#› +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 应用新知 深化提高 典型例题2 利用等式的性质解下列方程： (1) x + 7 = 26; 解: 得： 方程两边同时减去7， x + 7 = 26 -7 -7 = x 19. 小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式. +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 应用新知 深化提高 两边同时除以-5， 得 解: 方程 (2) -5x = 20; 思考：为使 (2) 中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质 ？ 化简得： x=-4. -5x÷(-5)= 20 ÷(-5). +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 应用新知 深化提高 解：方程两边同时加上5 得： 化简得： 方程两边同时 乘-3， 得： x = -27. 思考：对比(1)，(3)有什么新特点 ？ (3) . x=-27是原方程的解吗? 等式的性质2： 等式两边乘同一个___，或除以同一个不为___的____，结果仍____. 如果 a＝b，那么_____________； 如果 a＝b(c ≠ 0)，那么_________. 相等 数 数 0 ac ＝ bc 请用自己的语言精炼归纳出等式的性质： 探究点1: 等式的基本性质 例1 根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果 2x = 5 - x，那么 2x + = 5； （2）如果 m + 2n = 5 + 2n，那么 m = ； x 根据等式的性质 1，等式两边加 x，结果仍相等. 5 根据等式的性质 1，等式两边减 2n，结果仍相等. 探究点1: 等式的基本性质 （3）如果 x = -4，那么 x = 28； （4）如果 3m = 4n，那么 m = · n； -7 根据等式的性质 2，等式两边乘 -7，结果仍相等. 2 根据等式的性质 2，等式两边除以 2，结果仍相等. 利用等式的性质可以解方程. 探究点1: 等式的基本性质 新知探究 想象实验：探索等式两边同时扩大的规律 规律总结：等式两边同时乘同一个数（或同时扩大相同倍数），等式仍然成立。这就像天平两端同时增加相同重量的砝码，始终能保持平衡的状态。 操作：同时扩大2倍 初始状态：2 = 2 天平左右各2个苹果，完全平衡 变化结果：2×2 = 2×2 左右各4个苹果，天平依旧保持平衡 1.7.2013 加法和减法我们明白了，那乘法和除法呢？是不是也有类似的规律？我们再来想象一个实验：如果天平左边有2个苹果，右边也有2个苹果，天平是平衡的。现在，我们把两边的苹果数量都扩大2倍，左边变成4个，右边也变成4个，天平还平衡吗？当然平衡！ ‹#› 想象实验：等式两边同时缩小会怎样？ 初始状态：平衡的天平满足左边 × 2 = 右边 × 2（如 2×2 = 2×2）。 操作过程：将天平两边的物品都平均分成2份，各拿走1份，左边剩1份，右边也剩1份。 结果验证：天平依旧保持平衡，等式回归左边 = 右边（即 4 ÷ 2 = 4 ÷ 2）。 等式两边同时除以同一个非0数 等式依然成立 等式性质延伸：同乘同除（0除外） 平衡关系不变 新知探究 1.7.2013 如果我们把两边的苹果都平均分成2份，各拿走一份，左边剩下1个，右边也剩下1个，天平还平衡吗？还是平衡！所以，等式的第二个性质就是：等式两边可以同时乘以同一个数，或者同时除以同一个数，等式依然成立。 ‹#› +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 应用新知 深化提高 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 例如，将 x = －27 代入方程 的左边， 方程的左右两边相等，所以 x = －27 是原方程的解. 检验方程的解是否正确 例2 利用等式的性质解下列方程： 解： 两边减 7，得 x ＋ 7 ＝ 26 －7 －7. x ＝19. (1) x ＋ 7 ＝ 26； 分析： 解方程 转化成 x＝a 的形式 运用_______________. 等式的性质1 探究点2：利用等式的基本性质解方程 两边同时除以 －5，得 解： 方程 (2) －5x ＝ 20； 化简，得 x＝－4. -5x ＝ 20 . ÷(－5) ÷(－5) 运用_______________. 等式的性质2 探究点2：利用等式的基本性质解方程 解：两边加 5，得 化简，得 两边乘－3，得 x = -27. (3) 运用__________________. 等式的性质 1 和 2 解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步化为 x = a（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据. 探究点2：利用等式的基本性质解方程 等式两边同时 等式仍然成立 乘以 除以 同一个数（除数≠0） 同一个不为0的数 等式两边同时 乘上 除以 等式仍然成立 核心要点： 等式的性质2： 两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 若a＝b，则ac＝bc；若a＝b且c≠0，则a/c ＝ b/c。特别注意：除数不能为0！ 合作探究 1.7.2013 这就是等式的第二个性质。大家注意看，性质2里有一个非常重要的小尾巴——‘除以同一个不为0的数’。为什么除数不能是0呢？这个问题问得好！在数学里，0是不能做除数的，这是一个规定。大家可以简单理解为，把一个东西分成0份，是没有意义的。所以，我们在用除法的时候，一定要记住这个前提条件！ ‹#› 由天平看等式的性质2： 新知探究 【性质2的数学语言描述】 如果a = b，那么：① a × c = b × c； ② a ÷ c = b ÷ c（特别注意：其中 c ≠ 0，因为除数不能为0） ▍ 举例一：等式两边同时乘同一个数 已知基础等式 4 = 4，若两边同时乘以 5，则等式变为：4 × 5 = 4 × 5，计算后得到 20 = 20。等式两边依然保持相等，验证了性质2的乘法规律。 ▍ 举例二：等式两边同时除以同一个非零数 已知基础等式 12 = 12，若两边同时除以 3（3≠0），则等式变为：12 ÷ 3 = 12 ÷ 3，计算后得到 4 = 4。等式依然成立，验证了性质2的除法规律。 1.7.2013 同样，我们用数学语言来表示性质2。如果a等于b，那么a乘以c等于b乘以c。同时，a除以c也等于b除以c，但一定要记住，c不能等于0。比如，4等于4，两边同时乘以5，得到20等于20；12等于12，两边同时除以3，得到4等于4。等式都依然成立。 ‹#› +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 总结反思 情意发展 等式的 基本性质 基本性质1 基本性质2 应用 如果a=b，那么a±c=b±c. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么 . 运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式 x = a . A ＝ A $