吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 4

2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（   ）

A. 若 ，则  B. 若，则a，b，c共面

C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面

3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（    ）

A. 1 B. -1 C.  D. -

4. 已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（  ）

A. 9 B. 11 C. 13 D. 15

6. 若 ， ，则（     ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 奔驰定理：已知是 内的一点，若、 、 的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是 的垂心，且，则（   ）

 

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（   ）

A.  B. 若，则

C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立

10. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知在 中，BC的长为2， 的面积为2，则下列命题正确的是（   ）

A. 外接圆面积的最小值为

B. 的最大值为

C. 内切圆的半径的最大值为

D. 若 的内角满足，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知单位向量满足，则的夹角为______．

13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．

14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数．

（1）若复数为纯虚数，求的值；

（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．

16. 已知平面向量，，且．

（1）求在上的投影向量的坐标；

（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．

17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．

18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.