吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高一数学月考卷，涵盖复数、立体几何、向量等核心知识，通过基础题、创新题（如奔驰定理应用）和综合解答题（如折叠问题），梯度化考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、立体几何、向量等基础|结合奔驰定理考查创新应用| |多选题|3/18|概率、三角综合|互斥事件概率等逻辑推理| |填空题|3/15|向量夹角、解三角形、立体几何轨迹|渔船救援情境联系实际| |解答题|5/77|复数应用、统计分析、立体几何证明与体积、折叠问题|折叠问题综合空间角与二面角，考查空间观念与推理能力|

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 6. 若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 奔驰定理：已知是 内的一点，若、 、 的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是 的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知在 中，BC的长为2， 的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若 的内角满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则的夹角为______． 13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 如图①，已知等腰梯形 的外接圆圆心 在底边上，，， 是上半圆上的动点（不包含，两点），点 是线段上的动点，将半圆 所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面 所成角的正弦值； （3）若，平面平面 ，设与平面 所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. DCCBB BBB 9ABD 10BCD 11BCD 12## 13 ## 14 15【小问1详解】 由题意可知， 因为为纯虚数，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 ， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 解得或， 即的取值范围是． 16 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． 【小问2详解】 ，， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 17【小问1详解】 根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18【小问1详解】 因为为正三角形,所以,又,所以. 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以，由已知， 又，且平面，所以 平面， 又平面，所以，又， 所以就是二面角的平面角，所以 因为，则, 在中，因为是正三角形，则易知， 所以在中，， 因为底面,平面, 所以.知, 所以的面积. 因为,所以, 又因为为中点,所以. 设点到平面的距离为,由,得, 解得,即点到平面的距离为, 又,所以三棱锥的体积. 19【小问1详解】 连接交 于点M，连接， 因为，，所以， 则平面 平面， 依题意，平面，平面 ，所以， 所以，等腰梯形 中，， 所以； 【小问2详解】 因为等腰梯形 的外接圆圆心 在底边上，所以， 所以，又因为 ， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面 所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面 所成角的正弦值； 【小问3详解】 作 于，连接， 因为平面平面 ，平面 平面， 所以 平面 ，所以 是在平面 内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面 所成的角为，则， 过作 ，垂足为，连结 ， 又，，平面，所以 平面， 又平面，.所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. 学科网（北京）股份有限公司 $