第19章《二次根式》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级上册预习 第19章 二次根式 本章复习目标 掌握二次根式及其相关概念，能熟练化简并对二次根式进行综合计算，。 能运用二次根式相关性质，用二次根式解决实际生活中的相关问题。 体会转化思想、分类讨论思想、整体思想等数学方法，提升逻辑推理与数学建模的核心素养。 本章知识框架 知识点复习 19.1 二次根式及其性质 知识点 1：二次根式的定义 一般地，我们把形如 （a≥0） 的式子叫做二次根式，"" 称为 二次根号 。 二次根式的两个必备特征： 外貌特征：必须含有__根号____； 内在特征：被开方数必须是__非负数____。 注意：被开方数 a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但必须满足非负条件。 知识点 2：二次根式有意义的条件 单个二次根式 有意义的条件：___A≥0___； 多个二次根式相加 + + …有意义的条件：__各个被开方数都大于或等于 0____； 二次根式作为分式的分母 有意义的条件：___A＞0___； 二次根式与分式组合 + 有意义的条件：__A≥0且B≠0____。 知识点 3：二次根式的性质 性质 1：双重非负性 在 中，①被开方数 a≥0 ；② 二次根式的结果 ≥0 。 重要应用：若几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0。例如：若 +|y+2|=0，则 x= 1 ，y= -2 。 性质 2：（条件：__a≥0____） 文字表述： 一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身 。 性质 3： 文字表述: 一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值 。 易混辨析： 与 的区别 运算顺序不同： 先___开方___再___平方___；先___平方___再__开方____。 取值范围不同： 中 a≥0 ；中 a为任意实数 。 结果不同： ； 。 性质 4：积的算术平方根（条件：_ a≥0，b≥0_____） 文字表述： 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积 。 性质 5：商的算术平方根 （条件：_a≥0，b＞0_____） 文字表述： 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点 1：二次根式的乘法法则 法则：（条件：___a≥0，b≥0___） 文字表述： 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 。 推广： 多个二次根式相乘：.（条件： a≥0，b≥0，c≥0 ） 带系数的二次根式相乘：： (条件： a≥0，b≥0 ) 知识点 2：二次根式的除法法则 法则：（条件：_a≥0，b＞0_____） 文字表述： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 。 知识点 3：最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含___分母___； 被开方数中不含能开得尽方的___因数___或___因式___。 化简二次根式的一般步骤： 1.分解被开方数，找出其中的 完全平方因数（式） ； 2.利用 将平方因数（式）开出来； 3.若被开方数含有分母，进行分母有理化。 知识点 4：分母有理化 把分母中的 根号 化去，叫做分母有理化。 基本方法： (a＞0) 一般地， (a＞0) 19.3 二次根式的加法与减法 知识点 1：同类二次根式 几个二次根式化成___最简二次根式___后，如果___被开方数___相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 判断同类二次根式的前提：必须先 化为最简二次根式 ，再看 被开方数 是否相同。 知识点 2：二次根式的加减法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成___最简二次根式___，再将___同类___的二次根式进行合并。 加减运算步骤： 1.化—— 将每个二次根式化为最简二次根式 ； 2.找—— 找出其中的 同类二次根式 ； 3.合—— 合并 同类二次根式 （方法： 系数 相加减， 被开方数 不变）。 类比：合并同类二次根式与合并同类项类似，只合并系数，根号部分保持不变。 知识点 3：二次根式的混合运算 运算顺序：与整式的运算顺序一致，先算__乘方____，再算__乘除____，最后算___加减___；有括号的先算括号里面的。 运算律：整式的乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用。 结果要求：运算结果必须化为___最简二次根式___。 本章核心数学思想 整体思想：在二次根式化简求值中，有时需要将未知量整体代入求解。 转化思想：将二次根式有意义的探究转化为不等式或不等式组求解，将实际问题转化为数学问题。 分类讨论思想：根据被开方数的取值范围，分情况讨论化简或计算。 本章易错点提醒 忽略被开方数非负：判断二次根式或求取值范围时，务必保证被开方数为负分数，作为分母时还需要满足分母不为0。 混淆 与 ：前者有限制条a≥0，后者 a 为任意实数，结果为绝对值。 未化简到最简：运算结果必须是最简二次根式，注意检查是否还有可开方的因数或分母中的根号。 加减运算错误：不是同类二次根式不能合并，如。 除法法则条件记错：除法中分母 b＞0，不能等于 0。 知识点练习 一、 选择题 1.在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（       ） A. B.且 C. D.且 【答案】 B 【解析】 本题根据二次根式和分式有意义的条件求自变量取值范围，二次根式被开方数需为非负数，分式分母不能为0，据此列不等式组求解即可。 【解答】 解：要使函数 有意义，需同时满足两个条件： 解第一个不等式得 ， 解第二个不等式得 ， 自变量 的取值范围是 且 。 故选：B. 2.下列各式化成最简二次根式正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可. 【解答】 解：A、 ，未化简，故此选项不符合题意 B、 ，故此选项不符合题意； C、 分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、 ，是最简二次根式，故此选项符合题意. 故选：D. 3.若最简二次根式与可以合并，则的值是（       ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出的值，代入计算即可． 【解答】 解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选． 4.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（        ） A. B.0 C. D. 【答案】 A 【解析】 根据数轴可判断出a,b,a-b的符号，根据二次根式的性质化简即可求解. 【解答】 解：由数轴可得a<0， . 故选：A.  5.已知，那么可化简为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【解答】 解： ，， ， 原式， 故选：． 6.已知，，则用表示为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据题意将变形为，由此可得出答案． 【解答】 解：由题意得： ， 故选：． 7.计算：等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】 解： ， 故选：． 8.估计的值应在（        ） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【答案】 D 【解析】 先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数 的范围，即可得到原式的取值范围. 【解答】 首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ， 又 ， ， 即 ， 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间. 故选：D. 9.若，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简，的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【解答】 解：，， ，， ， 故选：． 10.例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数，满足，则．其中说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【解答】 解：①， ， 的整数部分为， 小数部分． ． ①正确． ② ， ②错误． ③，， ． ，， ． ． ③错误． ④：， ． ． ， ． ． ． ． ④正确． 综上，正确结论为①和④，共个． 选：． 二、 填空题 11.已知，则________． 【答案】 -1 【解析】 根据代入计算，继而求得结果. 【解答】 解：，， ， . 故答案为：.  12.若，则x取值范围是________． 【答案】 【解析】 先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【解答】 解： 由题意得 解得 故答案为：.  13.计算：________． 【答案】 【解析】 本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的乘除即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键. 【解答】 解： 故答案为： . 14.已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为___4_____． 【答案】 4 【解析】 根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解a即可. 【解答】 解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得a-1=3 解得a=4. 故答案为： . 15.已知：，则的值为__2026______． 【答案】 2026 【解析】 本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键. 首先将 a 分母有理化，得到 , 然后计算 , 展开得到 的值，再代入表达式 ，即可求解. 【解答】 解： , , , , , , . 故答案为：2026.  16.若，则______________． 【答案】 【解析】 本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【解答】 解：， ， ， 整理得， ， 故答案为：． 三、 解答题 17.计算（1） （2） （3） 【答案】 10 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：原式 . （2）解：原式 . （3）解：原式 .  18.二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 【答案】 【解析】 （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【解答】 （1）解：二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ． 是的立方根， ， ， 的平方根； （2）解：，， ， ．  19.已知： （1）求 的值： （2）求 的值 【答案】 96 【解析】 （1）先求出m-n,m+n的值，再根据代值计算即可； （2）根据代值计算即可. 【解答】 （1）解： （2）解： .  20.下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是____，_________； （2）从第____一_________步开始出错，错误的原因是________去括号时，括号内的第二项没有改变符号_____________________； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】 ， 一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号 ，过程见解析 【解析】 （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可; （2）根据去括号法则分析即可; （3）根据去括号的依据解答即可. 【解答】 （1）解：，，， 故答案为：，; （2） 故答案为：一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号; （3）原式 .   21.定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． （1）与________是关于2的“美好数”； （2）化简：； （3）若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】 5 2062 【解析】 （1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得m的值，得出m-1=，再代入代数式求解即可求解。 【解答】 （1）解：由“美好数”的定义可得，1+关于2的“美好数”是 ， 答案为：. （2） （3）关于9的“美好数” ， .  22.阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴ ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数最小值为     8     ，已知，则函数的最小值为    5     ； （2）已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】 8; 5 当x=2取到最大值，最大值为 49 【解析】 （1）仿照例题求解即可； （2）根据题意得出y=，仿照例题求得分母的最小值，进而求得函数的最大值； （3）设S=y,S=x，则S四边形ABCD=4+25+x+y，结合题意得到S≥29+2，所以此时x=y=10，由此即可求解。 【解答】 （1）解：函数y=2x+=2(x+), 令a=x,b=, ∴ y=2(x+)≥2×2=8, ∴ 当且仅当x=，即x=2时，函数取到最小值，最小值为8; ∴ x>3, ∴ x-3>0 ∴ y=x+=x-3++3 令a=x-3,b=, ∴ y=x-3++3≥2+3=5 ∴ 当且仅当x-3=, ∴ x>3, ∴ x=4时，函数取到最小值，最小值为5; （2）解：∵ y===, 又∵ x+≥2=4, 当且仅当x=时,x+有最小值, ∴ x>0, ∴ 当x=2时,x+有最小值，最小值为4, ∴ 此时y有最大值，最大值为y===; （3）解：设S=y,S=x，则S四边形ABCD=4+25+x+y, ∴ ()^2≥0, ∴ x+y≥2, ∴ S≥29+2; 当且仅当x=y时,S最小=29+2; 此时x=y==10, 故S最小=29+2×10=49. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册预习 第19章 二次根式 本章复习目标 掌握二次根式及其相关概念，能熟练化简并对二次根式进行综合计算，。 能运用二次根式相关性质，用二次根式解决实际生活中的相关问题。 体会转化思想、分类讨论思想、整体思想等数学方法，提升逻辑推理与数学建模的核心素养。 本章知识框架 知识点复习 19.1 二次根式及其性质 知识点 1：二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，"" 称为 。 二次根式的两个必备特征： 外貌特征：必须含有______； 内在特征：被开方数必须是______。 注意：被开方数 a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但必须满足非负条件。 知识点 2：二次根式有意义的条件 单个二次根式 有意义的条件：______； 多个二次根式相加 + + …有意义的条件：______； 二次根式作为分式的分母 有意义的条件：______； 二次根式与分式组合 + 有意义的条件：______。 知识点 3：二次根式的性质 性质 1：双重非负性 在 中，①被开方数 ；② 二次根式的结果 。 重要应用：若几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0。例如：若 +|y+2|=0，则 x= ，y= 。 性质 2：（条件：______） 文字表述： 。 性质 3： 文字表述: 。 易混辨析： 与 的区别 运算顺序不同： 先______再______；先______再______。 取值范围不同： 中 ；中 。 结果不同： ； 。 性质 4：积的算术平方根（条件：_ _____） 文字表述： 。 性质 5：商的算术平方根 （条件：______） 文字表述： 。 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点 1：二次根式的乘法法则 法则：（条件：______） 文字表述： 。 推广： 多个二次根式相乘：.（条件： ） 带系数的二次根式相乘：： (条件： ) 知识点 2：二次根式的除法法则 法则：（条件：______） 文字表述： 。 知识点 3：最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含______； 被开方数中不含能开得尽方的______或______。 化简二次根式的一般步骤： 1.分解被开方数，找出其中的 ； 2.利用 将平方因数（式）开出来； 3.若被开方数含有分母，进行分母有理化。 知识点 4：分母有理化 把分母中的 化去，叫做分母有理化。 基本方法： (a＞0) 一般地， (a＞0) 19.3 二次根式的加法与减法 知识点 1：同类二次根式 几个二次根式化成______后，如果______相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 判断同类二次根式的前提：必须先 ，再看 是否相同。 知识点 2：二次根式的加减法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成______，再将______的二次根式进行合并。 加减运算步骤： 1.化—— ； 2.找—— 找出其中的 ； 3.合—— 合并 （方法： 相加减， 不变）。 类比：合并同类二次根式与合并同类项类似，只合并系数，根号部分保持不变。 知识点 3：二次根式的混合运算 运算顺序：与整式的运算顺序一致，先算______，再算______，最后算______；有括号的先算括号里面的。 运算律：整式的乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用。 结果要求：运算结果必须化为_____。 本章核心数学思想 整体思想：在二次根式化简求值中，有时需要将未知量整体代入求解。 转化思想：将二次根式有意义的探究转化为不等式或不等式组求解，将实际问题转化为数学问题。 分类讨论思想：根据被开方数的取值范围，分情况讨论化简或计算。 本章易错点提醒 忽略被开方数非负：判断二次根式或求取值范围时，务必保证被开方数为负分数，作为分母时还需要满足分母不为0。 混淆 与 ：前者有限制条a≥0，后者 a 为任意实数，结果为绝对值。 未化简到最简：运算结果必须是最简二次根式，注意检查是否还有可开方的因数或分母中的根号。 加减运算错误：不是同类二次根式不能合并，如。 除法法则条件记错：除法中分母 b＞0，不能等于 0。 知识点练习 一、 选择题 1.在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（       ） A. B.且 C. D.且 2.下列各式化成最简二次根式正确的是（       ） A. B. C. D. 3.若最简二次根式与可以合并，则的值是（       ）． A. B. C. D. 4.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（        ） A. B.0 C. D. 5.已知，那么可化简为（       ） A. B. C. D. 6.已知，，则用表示为（       ） A. B. C. D. 7.计算：等于（       ） A. B. C. D. 8.估计的值应在（        ） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 9.若，则的值为（       ） A. B. C. D. 10.例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数，满足，则．其中说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题 11.已知，则________． 12.若，则x取值范围是________． 13.计算：________． 14.已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为______． 15.已知：，则的值为________． 16.若，则_____________． 三、 解答题 17.计算（1） （2） （3） 18.二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 19.已知： （1）求 的值： （2）求 的值 20.下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是____________； （2）从第____________步开始出错，错误的原因是_____________________________； （3）请写出正确的计算过程． 21.定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． （1）与_______是关于2的“美好数”； （2）化简：； （3）若与是关于9的“美好数”，求的值．  22.阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴ ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数最小值为          ，已知，则函数的最小值为        ； （2）已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $