2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦等式的性质、恒等式、十字相乘法及方程的解集，通过回忆旧知引导学生用符号语言表示等式性质，搭建“尝试与发现”活动支架，梳理前后知识脉络。 此资料紧扣核心素养，通过类比推理培养逻辑推理能力（如探索解方程方法），十字相乘法建立数形联系发展直观想象，例3对常数a的分类讨论体现数据分析。采用讨论法与分层评价任务，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供清晰教学流程与实用评价工具。

课题 第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式与不等式的差异与共性,掌握基本不等式。 教学 目标 1.掌握等式的性质. 2.掌握几个重要的恒等式. 3.掌握因式分解中的十字相乘法. 4.规范方程的解集的书写. 核心 素养 数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。 逻辑推理: 通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。 直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解 数学运算: 掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。 数据分析: 例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。 重点 难点 教学重点：掌握等式的性质与与重要恒等式.会正确写出方程的解集. 教学难点：能利用十字相乘法正确写出式子的因式分解。 教法 教具 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决集合运算和逻辑推理中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1的达成 评价任务2检测目标2的达成 评价任务3检测目标3、4的达成 评价任务4检测目标1、2、3、4的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：任务一：通过回忆旧知，掌握等式的性质 设计意图与反思 教师 活动 一、等式的性质 【新课讲授】 我们已经学习过等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。 【尝试与发现】 用符号语言和量词表示上述等式的性质： （1）如果a=b，则对任意c，都有 ； （2）如果a=b，则对任意不为零的c，都有 . 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立. 通过探讨推理明确等式的基本性质。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1.分解因式a2＋8ab－33b2得（ ） A．（a＋11）（a－3） B．（a＋11b）（a－3b） C．（a－11b）（a－3b） D．（a－11b）（a＋3b） 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节2：任务二：通过探究发现几个常见的恒等式 设计意图与反思 教师 活动 2、 恒等式 【尝试与发现】 补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： (1) a2-b2= （平方差公式）； (2) (x+y)2= （两数和的平方公式）； (3) 3x-6=0； (4) (a+b)c=ac+bc； (5) m(m-1)=0； (6) t3+1=(t+1)(t2-t+1). 【新课讲授】 如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式 对任意实数都成立，而等式 只是存在实数使其成立.例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立. 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。 恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2， 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式. 【典型例题】 例1．化简(2x+1)2-(x-1)2. 解：（方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项,即(2x+1)2-(x-1)2 =4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x (方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即 (2x+1)2-(x-1)2 =[ (2x+1)+(x+1)][(2x+1)-(x+1)] =3x(x+2) =3x2+6x 下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有 (x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+ab. 这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习. 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b 的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C， 也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以 x2+5x+6= . 【尝试与发现】 证明恒等式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法. 上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。 据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+ 10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+ 10=(x+2)(3x+5). 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2.若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是（ ） A．1＋3x－4y B．－1－3x－4y C．1－3x－4y D．－1－3x＋4y 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务三：掌握因式分解中的十字相乘法和规范方程的解集的书写. 设计意图与反思 教师 活动 三、方程的解集 【新课讲授】 我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5， 然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}. 不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集. 从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如 果ab=0，则a=0或b=0.利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程(4x+1)(x-1)=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=- 1或x=1，因此方程(4x+1)(x-1)=0的解集为{- ,1 }. 【典型例题】 例2．求方程x2-5x+6=0的解集. 解：因为x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0， 从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}. 例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0 的形式,那么就能方便得得出原方程的解集了. 【思考与辨析】 一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 例3．求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数. 【尝试与发现】 能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=吗?为什么? 解：当a≠0时,在等式ax=2的两边同时乘以,得x=,此时解集为{}. 当a=0时,方程变为0x=2,这个方程无解,此时解集为∅. 综上,当a≠0时,解集为{};当a=0时,解集为∅. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 用因式分解法求下列方程的解集： （1）x{x-}=x； （2）（x－3）2＋2x－6＝0； （3）9（2x＋3）2－4（2x－5）2＝0． 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：任务四：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 因式分解 例1．把下列各式因式分解： （1）6x2＋11x－7； （2）x＋5－6y（x>0，y>0）； （3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2． 类型二 一元一次方程的解集 例2．求下列方程的解集： （1）4－3（10－y）＝5y； （1） ＝－1． （2） 类型三 因式分解法解一元二次方程 例3．求方程x2－5x＋6＝0的解集． 通过典型例题和类型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务4，并进行自我评价. 评价任务4. 1．把下列各式分解因式： （1）x2－3x＋2＝________； （2）x2＋37x＋36＝________； （3）（a－b）2＋11（a－b）＋28＝________； （4）4m2－12m＋9＝________． 2．如果方程－8＝－的解集与方程4x－（3a＋1）＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值． 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节5：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节6：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1．（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（ ） A．（a＋b＋10）（a＋b－2） B．（a＋b＋5）（a＋b－4） C．（a＋b＋2）（a＋b－10） D．（a＋b＋4）（a＋b－5） 2．方程2x－（x＋10）＝5x＋2（x＋1）的解集为（ ） A． B． C．{－2} D．{2} 3．方程3x（x－2）＝2－x的解集为________． 4．已知y＝1是方程2－13（m－y）＝2y的解，则关于x的方程m（x－3）－2＝m（2x－5）的解集为________． 5．因式分解： （1）x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y． （2）4xy＋1－4x2－y2． 6．用因式分解法求下列方程的解集： （1）x2－10x＋9＝0； （2）2（x－3）＝3x（x－3）； （3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3； （4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0； （5）2x2－16＝x2＋5x＋8； （6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0． 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节7：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节8：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1．若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（ ） A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2 C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2 2．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是（ ） A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．（x－1）2 3．若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝________． 4．已知方程（2018x）2－2017×2019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2018x－2019＝0的较小根为n．求m－n的值． 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . 学科网（北京）股份有限公司 $